27 多元波动率模型
参考：
- (Tsay 2014) 第7章。
27.1 介绍
设\(\boldsymbol z_t\)是多元平稳序列， 令\(\mathscr F_t = \sigma(\boldsymbol z_t, \boldsymbol z_{t-1}, \dots)\)。 令\(\Sigma_t = \text{Var}(\boldsymbol z_t | \mathscr F_{t-1})\)， 称为\(\{\boldsymbol z_t \}\)序列的波动率矩阵。 多元波动率建模困难有：维数增长过快， \(k\)维的序列， \(\Sigma_t\)有\(k(k+1)/2\)个自由参数； 需要保证\(\Sigma_t\)正定， 这就不能将\(\Sigma_t\)看成一个普通向量建模。
将\(\boldsymbol z_t\)分解为 \[ \boldsymbol z_t = \boldsymbol \mu_t + \boldsymbol a_t, \] 其中\(\boldsymbol\mu_t = E(\boldsymbol z_t | \mathscr F_{t-1})\)， \(\boldsymbol a_t\)是新息列。 \(\boldsymbol a_t\)是序列不相关的， 但并不一定是独立的。
设 \[ \boldsymbol a_t = \Sigma_t^{1/2} \boldsymbol\epsilon_t, \] 其中\(\{\epsilon_t\}\)独立同\((\boldsymbol 0, I)\)分布， 设其四阶矩有限。
可以将\(\Sigma_t\)用其特征值分解\(\Sigma_t = P_t \Lambda_t P_t^T\)表示， 其中\(\Lambda_t\)是\(\Sigma_t\)特征值组成的对角阵， \(P_t\)是各个单位特征向量组成的正交阵； 也可以用Cholesky分解\(\Sigma_t = L_t L_t^T\)或者LDL分解\(\Sigma_t = L_t D_t L_t^T\)表示。
仍用均值方程表示\(\boldsymbol\mu_t\)的模型， 用波动率方程表示\(\Sigma_t\)的模型。
27.2 ARCH效应检验
设\(\boldsymbol a_t\)为\(k\)维的新息序列。 类似于一元情形， 可以检验\(\boldsymbol a_t^2\)是否白噪声。 可以用Ljung-Box统计量 \[ Q_k^*(m) = T^2 \sum_{i=1}^m \frac{1}{T-i} \boldsymbol b_i^T (\hat{\boldsymbol\rho}_0^{-1} \otimes \hat{\boldsymbol\rho}_0^{-1}) \boldsymbol b_i, \] 其中\(m\)是滞后阶数， \(\hat{\boldsymbol\rho}_j\)是\(\boldsymbol a_t^2\)的滞后\(j\)的互相关系数矩阵估计， \(\boldsymbol b_i = \text{vec}(\hat{\boldsymbol\rho}_i^T)\)， vec表示将矩阵按列拉直为向量， \(\otimes\)是矩阵的Kronecher积。 如果没有ARCH效应， \(Q_k^*(m)\)渐近服从\(\chi^2(k^2 m)\)分布。
另一种类似方法是定义 \[ e_t = \boldsymbol a_t^T \Sigma^{-1} \boldsymbol a_t - k, \] 检验\(e_t\)是否白噪声。 \(\Sigma\)用估计值代替， 计算\(e_t\)的自相关系数\(\hat\rho_i\)， 令 \[ Q^*(m) = T(T+2) \sum_{i=1}^m \frac{1}{T-i} \hat\rho_i^2 , \] 无ARCH效应时\(Q^*(m)\)渐近服从\(\chi^2(m)\)分布。
因为金融数据经常有厚尾分布， 使得上述近似在中小样本效果不好， 可以计算\(e_t\)序列的秩统计量\(R_t\)， 然后计算\(R_t\)的自相关系数\(\tilde\rho_i\)， 使用统计量 \[ Q_R(m) = \sum_{i=1}^m \frac{[\tilde\rho_i - E \tilde\rho_i]^2}{ \text{Var}(\tilde\rho_i)}, \] 其中 \[\begin{aligned} E \tilde\rho_i =& -(T-i)[T(T-1)], \\ \text{Var}(\tilde\rho_i) =& \frac{5T^4 - (5i+9)T^3 + 9(i-2)T^2 + 2i(5i+8)T + 16i^2}{ 5(T-1)^2 T^2 (T+1)}, \end{aligned}\] 无ARCH效应时\(Q_R(m)\)渐近服从\(\chi^2(m)\)分布。
模拟研究发现基于\(e_t\)的秩统计量的分布近似较好。
MTS包的MarchTest()函数进行多元的ARCH效应检验。
27.3 模型最大似然估计
设模型的参数为\(\boldsymbol\theta\)。 如果\(\boldsymbol\epsilon_t\)为标准多元正态分布， 则似然函数为(相差一个常数项) \[ \ell(\boldsymbol\theta) = \sum_{t=1}^T \ell_t(\boldsymbol\theta), \quad \ell_t(\boldsymbol\theta) = -\frac{1}{2}[\log(|\Sigma_t|) + \boldsymbol a_t^T \Sigma_t^{-1} \boldsymbol a_t] . \] 其中\(\Sigma_t\)的形式依赖于具体的多元条件异方差模型。
也可以针对\(\boldsymbol\epsilon_t\)的其它分布计算似然函数， 另一种方法是， 即使\(\boldsymbol\epsilon_t\)不服从标准多元正态分布， 但似然函数仍按上面正态情形计算， 这种方法属于拟最大似然估计(QMLE, quasi MLE)。 在适当正则性条件下， QMLE估计服从中心极限定理， 收敛到真实参数值。
27.4 指数加权平均模型
考虑\(\Sigma_t\)的如下简单模型： \[ \hat\Sigma_t = \lambda \hat\Sigma_{t-1} + (1-\lambda) \hat{\boldsymbol a}_{t-1} \hat{\boldsymbol a}_{t-1}^T . \] 称其为多元条件异方差的指数加权平均(EWMA)模型。 \(0 < \lambda < 1\)代表了\(\hat\Sigma_t\)的持续性。 \(\lambda\)可以预先取定， 对金融数据\(\hat\lambda \approx 0.96\)常常比较合适， 也可以用QMLE方法估计\(\lambda\)值。 \(\hat\Sigma_t\)的初值\(\hat\Sigma_0\)可以采用\(\hat{\boldsymbol a}_t\)的样本协方差阵。 这种模型很简单， 能保证\(\hat\Sigma_t\)正定， 但是模型拟合效果不够好。
例27.1 考虑CRSP百分之一，百分之二，百分之五资产组合从1961年1月到2011年9月的对数收益率建模。
读入数据：
##
## ── Column specification ────────────────────────────────────────────────────────
## cols(
## date = col_double(),
## dec1 = col_double(),
## dec2 = col_double(),
## dec5 = col_double(),
## dec9 = col_double(),
## dec10 = col_double()
## )用VAR(1)作为均值模型：
## Constant term:
## Estimates: 0.006376978 0.007034631 0.007342962
## Std.Error: 0.001759562 0.001950008 0.002237004
## AR coefficient matrix
## AR( 1 )-matrix
## [,1] [,2] [,3]
## [1,] -0.194 0.224 0.00836
## [2,] -0.232 0.366 -0.04186
## [3,] -0.313 0.452 0.00238
## standard error
## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 0.108 0.160 0.101
## [2,] 0.120 0.177 0.111
## [3,] 0.138 0.204 0.128
##
## Residuals cov-mtx:
## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 0.001814678 0.001859113 0.001962277
## [2,] 0.001859113 0.002228760 0.002420858
## [3,] 0.001962277 0.002420858 0.002933081
##
## det(SSE) = 1.712927e-10
## AIC = -22.45809
## BIC = -22.39289
## HQ = -22.43273对VAR(1)的多元残差序列作多元条件异方差检验：
## Q(m) of squared series(LM test):
## Test statistic: 244.7878 p-value: 0
## Rank-based Test:
## Test statistic: 215.215 p-value: 0
## Q_k(m) of squared series:
## Test statistic: 176.9811 p-value: 1.252294e-07
## Robust Test(5%) : 155.2633 p-value: 2.347499e-05结果表明存在条件异方差性。
建立多元条件异方差的EWMA模型，
参数lambda取负值表示用QMLE估计\(\lambda\)值：
##
## Coefficient(s):
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## lambda 0.96427 0.00549 175.6 <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1提取估计的\(\hat\Sigma_t\)序列， 并进行模型诊断：
## Test results:
## Q(m) of et:
## Test and p-value: 59.5436 4.421175e-09
## Rank-based test:
## Test and p-value: 125.0929 0
## Qk(m) of epsilon_t:
## Test and p-value: 189.5403 4.518401e-09
## Robust Qk(m):
## Test and p-value: 228.234 5.57332e-14模型诊断结果说明多元条件异方差EWMA模型并不合适。
27.5 DCC模型
27.5.1 模型分解
直接对\(\Sigma_t\)建模有参数个数过多问题。 一种简化模型是动态条件相关(DCC, dynamic conditional correlation)模型。 设\(\Sigma_t = (\sigma_{ij,t})_{k \times k}\)。 令\(D_t\)是\(\Sigma_t\)对应的标准差组成的对角阵， 即\(D_t = \text{diag}(\sqrt{\sigma_{11,t}}, \sqrt{\sigma_{22,t}}, \dots, \sqrt{\sigma_{kk,t}})\)， 则\(\Sigma_t\)对应的相关系数矩阵为 \[ \rho_t = D_t^{-1} \Sigma_t D_t^{-1} . \] \(\rho_t\)有\(k(k-1)/2\)个自由参数。 DCC将条件方差阵的建模分解为关于方差\(\sigma_{ii,t}\)的建模， 与关于相关系数的建模两步。 \(\sigma_{ii,t}\)的部分可以用一元的GARCH模型建模， 这样得到的基于第\(i\)分量的历史的条件方差， 而不是基于所有历史的条件方差， 会有细微的理论差别。
令\(\boldsymbol\eta_t = (\eta_{1t}, \dots, \eta_{kt})^T\), 其中\(\eta_{it} = a_{it} / \sqrt{\sigma_{ii,t}}\)是新息各个分量的标准化。 则\(\rho_t\)是\(\boldsymbol\eta_t\)的条件方差阵。 考虑\(\rho_t\)的模型。
27.5.2 两种条件相关系数模型
Engle(2002)提出了\(\rho_t\)的如下模型： \[\begin{aligned} \rho_t =& J_t Q_t J_t, \\ Q_t =& (1 - \theta_1 - \theta_2) \bar Q + \theta_1 Q_{t-1} + \theta_2 \boldsymbol\eta_{t-1} \boldsymbol\eta_{t-1}^T, \\ J_t =& \text{diag}(q_{11,t}^{-1/2}, \dots, q_{kk,t}^{-1/2}) . \end{aligned}\] 其中\(\bar Q\)是\(\boldsymbol\eta_t\)的无条件方差阵， \(\theta_1>0\), \(\theta_2>0\)，\(\theta_1 + \theta_2 < 1\)。 模型决定了\(Q_t\)是正定阵。 \(J_t\)仅用于将\(Q_t\)转换成相关系数矩阵。 模型仅有两个参数\(\theta_1\)和\(\theta_2\)。
Tse和Tsui(2002)提出了\(\rho_t\)的另一种模型： \[ \rho_t = (1 - \theta_1 - \theta_2) \bar\rho + \theta_1 \rho_{t-1} + \theta_2 \psi_{t-1}, \] 其中\(\psi_{t-1}\)是\(\hat{\boldsymbol\eta}_{t-1}, \dots, \hat{\boldsymbol\eta}_{t-m}\)的样本相关系数矩阵。 Engle的模型相当于\(m=1\)的情形。 Tse和Cui的模型不需要关于\(\rho_t\)重新转换为相关系数矩阵， 其做法保证了模型得到\(\rho_t\)是相关系数矩阵， 但需要选择\(m\)的取值。\(m\)越大， \(\rho_t\)的变化越光滑。
DCC模型的\(\rho_t\)部分仅包含两个未知参数， 这既是其优点， 也是一个弱点。 优点是模型容易估计； 弱点是模型的局限性较大， 而且也不容易验证数据是否满足这种模型。
27.5.3 建模步骤
一种实用的DCC建模步骤如下：
- 用VAR(\(p\))作为均值模型建模， 获得残差\(\hat{\boldsymbol a}_t\)作为条件方差模型的输入。
- 用一元GARCH模型对\(\boldsymbol a_t\)的每一个分量分别建立条件方差模型。 设估计的条件方差为\(\hat h_{it}\)， 令\(\hat\sigma_{ii,t} = \hat h_{it}\)。
- 计算标准化残差\(\hat\eta_{it} = \hat a_{it} / \sqrt{\hat\sigma_{ii,t}}\)， 然后对\(\hat{\boldsymbol\eta}_t\)建立关于\(\hat\rho_t\)的DCC模型。
\(\boldsymbol\eta_t\)的条件分布可以是标准多元正态分布， 也可以是标准多元t分布。
27.5.4 例子
考虑1961年到2011年IBM股票、标普指数、可口可乐股票的月度对数收益率序列。 设\(\boldsymbol z_t\)为此3元时间序列。 均值方程取为常数，\(\hat{\boldsymbol\mu}_t = \hat{\boldsymbol\mu}\)。 信息序列为\(\hat{\boldsymbol a}_t = \boldsymbol z_t - \hat{\boldsymbol\mu}_t\)。
##
## ── Column specification ────────────────────────────────────────────────────────
## cols(
## date = col_double(),
## ibm = col_double(),
## sp = col_double(),
## ko = col_double()
## )## ibm sp ko
## 0.007727740 0.005023909 0.010595213使用MTS包建模，
首先用dccPre建立各个分量的一元GARCH(1,1)条件方差模型，
条件分布取为正态分布：
## Sample mean of the returns: 0.00772774 0.005023909 0.01059521
## Component: 1
## Estimates: 0.000419 0.126738 0.788309
## se.coef : 0.000162 0.035404 0.055645
## t-value : 2.593451 3.579734 14.16673
## Component: 2
## Estimates: 9e-05 0.127725 0.836053
## se.coef : 4.1e-05 0.03084 0.031723
## t-value : 2.20126 4.141593 26.35484
## Component: 3
## Estimates: 0.000256 0.098706 0.830358
## se.coef : 8.5e-05 0.022361 0.03344
## t-value : 3.015323 4.414111 24.83091结果相当于 \[\begin{aligned} \sigma_{11,t} =& 0.000419 + 0.1267 a_{1,t-1}^2 + 0.7883 \sigma_{11,t-1}; \\ \sigma_{22,t} =& 0.00009 + 0.1277 a_{2,t-1}^2 + 0.8361 \sigma_{22,t-1}; \\ \sigma_{33,t} =& 0.000256 + 0.0987 a_{3,t-1}^2 + 0.8304 \sigma_{33,t-1} . \end{aligned}\]
然后， 计算标准化的\(\hat{\boldsymbol\eta}_t = (\hat\eta_{1t}, \hat\eta_{2t}, \hat\eta_{3t})^T\)序列， \(\hat\eta_{jt} = \hat a_{jt} / \sqrt{\sigma_{ii,t}}\)， 以及一元的条件方差估计：
用dccFit()函数以标准化\(\hat{\boldsymbol\eta}_t\)序列为输入估计关乎\(\hat\rho_t\)的DCC模型，
采用Tse和Tsui的模型，
取\(m=k+1=4\)，
条件分布取多元t分布：
## Estimates: 0.8087993 0.04027417 7.959072
## st.errors: 0.1491731 0.02259899 1.135866
## t-values: 5.421883 1.782122 7.007054估计的模型公式为：
\[ \hat\rho_t = (1 - 0.8088 - 0.0403) \bar\rho + 0.8088 \hat\rho_{t-1} + 0.0403 \psi_{t-1} . \] t分布自由度估计为\(7.96\)。
mod1b$rho.t给出了拟合的\(\hat\rho_t\)序列，
用一个\(T \times k^2\)矩阵存放，
每一行是一个\(\hat\rho_t\)的按列拉直向量。
27.6 BEKK模型
Engle and Kroner(1995) 提出了BEKK模型， 此模型参数个数较多所以比较灵活。 设\(\boldsymbol a_t\)为\(k\)元的新息列， \(\Sigma_t\)的BEKK(1,1)波动率模型为 \[ \Sigma_t = A_0 A_0^T + A_1 \boldsymbol a_{t-1} \boldsymbol a_{t-1}^T A_1^T + B_1 \Sigma_{t-1} B_1, \] 其中\(A_0\)是下三角阵使得\(A_0 A_0^T\)正定， \(A_1\)和\(B_1\)是\(k\)阶方阵。 此模型包含\(2k^2 + \frac{1}{2}k(k+1)\)个参数， 保证\(\Sigma_t\)正定。 当参数矩阵\(A_0, A_1, B_1\)满足一定条件时模型平稳且\(\boldsymbol a_t\)有无条件方差阵。
例27.2 考虑IBM股票和标普指数月对数收益率， 时间从1961年1月到2011年12月。
读入数据：
估计BEKK(1,1)模型：
library(MTS)
mod3a <- BEKK11(
rtn, include.mean=TRUE,
ini.estimates = c(
0, 0,
0.01, 0.01, 0.01,
0.1, 0.02, 0.02, 0.1,
0.9, 0.01, 0.01, 0.9
))Initial estimates: 0.00772774 0.005023909 ...
Lower limits: ...
Upper limits: ...
Log likelihood function: 2003.801
Coefficient(s):
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
mu1 0.00789936 0.00253413 3.11719 0.00182585 **
mu2 0.00567206 0.00154833 3.66335 0.00024894 ***
A011 0.01395530 0.00414066 3.37031 0.00075084 ***
A021 0.00786456 0.00240824 3.26568 0.00109201 **
A022 0.00700592 0.00185071 3.78553 0.00015338 ***
A11 0.17749121 0.06341185 2.79902 0.00512575 **
A21 -0.04544205 0.03203754 -1.41840 0.15607403
A12 0.20272882 0.08670987 2.33801 0.01938657 *
A22 0.38911355 0.05346647 7.27771 3.3951e-13 ***
B11 0.97064393 0.02568654 37.78804 < 2.22e-16 ***
B21 0.01109264 0.01184700 0.93633 0.34910580
B12 -0.07812127 0.03118842 -2.50482 0.01225149 *
B22 0.90034700 0.02156710 41.74632 < 2.22e-16 ***
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1MTS的BEKK11函数设计较差，
很可能不收敛或者结果依赖于初值。
模型诊断，检验残差是否多元白噪声：
Test results:
Q(m) of et:
Test and p-value: 5.049123 0.8878725
Rank-based test:
Test and p-value: 17.30134 0.0679564
Qk(m) of epsilon_t:
Test and p-value: 30.91185 0.8482728
Robust Qk(m):
Test and p-value: 49.71055 0.1396908 从模型诊断看拟合效果较好。
BEKK模型有较好的理论性质，
能保证\(\Sigma_t\)正定。
但是，
因为其参数个数较多，
当\(k\)较大时往往效果不好，
仅\(k=2,3\)时有较好效果。
参数中可能有些元素与0没有显著差异，
也没有办法合理地剔除。
MTS包的BEKK11函数运行也不够稳定。
27.7 基于Cholesky分解的模型
27.7.1 基本思路
这里用的是Cholesky分解的思想而不是直接利用\(\Sigma_t\)的Cholesky分解。 设新息\(\boldsymbol a_t\)为\(k\)元时间序列， 有\(E\boldsymbol a_t = \boldsymbol 0\)， 对各个分量进行正交化： \[\begin{equation} \begin{aligned} b_{1t} =& a_{1t}, \\ b_{2t} =& a_{2t} - \beta_{21,t} b_{1t}, \\ b_{3t} =& a_{3t} - \beta_{31,t} b_{1t} - \beta_{32,t} b_{2t} , \\ & \vdots \\ b_{kt} =& a_{kt} - \beta_{k1,t} b_{1t} - \dots - \beta_{k,k-1,t} b_{k-1,t} \end{aligned} \tag{27.1} \end{equation}\]
除了第一个方程以外其他方程中的\(\beta\)都是取\(Eb_{it}^2\)最小的估计值， 这使得\(b_{1t}, b_{2t}, \dots, b_{kt}\)正交。 这种做法类似于线性代数中线性无关向量组的Gram-Schmidt正交化过程。
记\(\boldsymbol b_t = (b_{1t}, \dots, b_{kt})^T\)， 以上的正交化过程可以写成 \[ \boldsymbol b_t = \beta_t \boldsymbol a_t, \] 其中\(\beta_t\)是一个单位下三角阵（主对角线元素都等于1的下三角阵）， 从而\(\boldsymbol a_t = \beta_t^{-1} \boldsymbol b_t\)。
设\(\boldsymbol b_t\)的条件方差阵为\(\Sigma_{b,t}\)， 则\(\Sigma_{b,t}\)是对角阵， 且 \[\begin{equation} \Sigma_t = \beta_t^{-1} \Sigma_{b,t} \beta_t^{-T} . \tag{27.2} \end{equation}\] 这实际是正定阵\(\Sigma_t\)的LDL分解， 有些教材也LDL分解称为Cholesky分解。 因为\(\Sigma_{b,t}\)是对角阵， 且\(\text{det}(\Sigma_t) = \prod_{i=1}^k \sigma_{b,i,t}\)， 其中\(\sigma_{b,i,t} = \text{Var}(b_{it} | F_{t-1})\)， 所以分解后的似然函数也比较容易计算。
Cholesky方法的多元波动率模型做法如下：
- 对系数\(\beta_{ij,t}\)， 使用变系数回归方法估计（比如建立状态空间模型）， 得\(\beta_t\)序列， 以及\(\boldsymbol b_t\)序列；
- 对\(\boldsymbol b_t\)的每个分量使用一元的波动率模型如一元GARCH模型；
- 用(27.2)得到\(\Sigma_t\)序列。
27.7.2 一种具体做法
下面给出一种具体的做法步骤。
- 对模型(27.1)， 利用递推最小二乘法进行参数估计， 设第\(i\)个方程的参数估计记为\(\hat{\boldsymbol\beta}_{i,t}\)， 是\(i-1\)维向量（\(i=2,\dots,k\)）。 递推最小二乘估计是随着时间\(t\)增加利用新观测值更新\(\hat{\boldsymbol\beta}_{i,t}\)估计值的算法， 需要利用开始的若干个时间点的数据计算初始估计。
- 对\(\hat{\boldsymbol\beta}_{i,t}\)， 利用EWMA方法取\(\lambda=0.96\)进行平滑估计。 具体说来， 设\(\hat{\boldsymbol\beta}_{i,t}\)关于\(t\)的均值为\(\hat{\boldsymbol\mu}_i\)， 令\(\hat{\boldsymbol\beta}_{i,t}^* = \hat{\boldsymbol\beta}_{i,t} - \hat{\boldsymbol\mu}_i\)， 然后取 \[ \tilde{\boldsymbol\beta}_{it}^* = \lambda \tilde{\boldsymbol\beta}_{i,t-1}^* + (1-\lambda) \hat{\boldsymbol\beta}_{i,t-1}^*, \ t=2,3,\dots, \] 初值取\(\tilde{\boldsymbol\beta}_{i,1}^* = \hat{\boldsymbol\beta}_{i,1}^*\)， 取平滑结果为\(\tilde{\boldsymbol\beta}_{it} = \tilde{\boldsymbol\beta}_{it}^* + \hat{\boldsymbol\mu}_i\)。
- 令\(\hat b_{1t}=a_{1t}\)， 用上一步获得的\(\tilde{\boldsymbol\beta}_{it}\)计算\(\hat b_{it}\)。
- 对每个\(\hat b_{it}\)序列拟合一元GARCH模型， 记拟合值为\(\hat\sigma^2_{b,i,t}\)。
- 用估计的\(\tilde{\boldsymbol\beta}_{it}\)和\(\hat\sigma^2_{b,i,t}\)计算\(\hat\Sigma_t\)。
27.7.3 计算实例
考虑27.5.4中使用的IBM、标普、可口可乐数据建模。
##
## ── Column specification ────────────────────────────────────────────────────────
## cols(
## date = col_double(),
## ibm = col_double(),
## sp = col_double(),
## ko = col_double()
## )## ibm sp ko
## 0.007727740 0.005023909 0.010595213利用前三年的数据作为递推最小二乘法的初始数据。
## NOTE: Packages 'fBasics', 'timeDate', and 'timeSeries' are no longer
## attached to the search() path when 'fGarch' is attached.
##
## If needed attach them yourself in your R script by e.g.,
## require("timeSeries")##
## Attaching package: 'fGarch'## The following object is masked from 'package:TTR':
##
## volatility## Sample means: 0.007728 0.005024 0.010595
## Estimation of the first component
## Estimate (alpha0, alpha1, beta1): 0.000356 0.117514 0.810289
## s.e. : 0.000157 0.037004 0.057991
## t-value : 2.262887 3.175751 13.97267
## Component 2 Estimation Results (residual series):
## Estimate (alpha0, alpha1, beta1): 6.4e-05 0.099156 0.858354
## s.e. : 3.1e-05 0.027785 0.037238
## t-value : 2.034528 3.568616 23.05076
## Component 3 Estimation Results (residual series):
## Estimate (alpha0, alpha1, beta1): 0.000173 0.117506 0.818722
## s.e. : 6.2e-05 0.028651 0.038664
## t-value : 2.808075 4.101297 21.17521上面仅显示了三个正交化的\(\hat b_{it}\)序列的分别的GARCH(1,1)模型估计结果，
但保存的mod4中包含变量Sigma.t是估计的\(\hat\Sigma_t\)。
保存为\(T' \times 9\)矩阵，
\(T'\)是扣除了用于RLS标准化以后\(T\)剩余的观测时间点个数。
进行模型诊断：
## Test results:
## Q(m) of et:
## Test and p-value: 15.94979 0.1010789
## Rank-based test:
## Test and p-value: 21.99727 0.01511849
## Qk(m) of epsilon_t:
## Test and p-value: 123.7687 0.01057302
## Robust Qk(m):
## Test and p-value: 95.49625 0.3259657## Test results:
## Q(m) of et:
## Test and p-value: 5.717053 0.3347315
## Rank-based test:
## Test and p-value: 5.579834 0.3492711
## Qk(m) of epsilon_t:
## Test and p-value: 59.83697 0.06842153
## Robust Qk(m):
## Test and p-value: 58.97872 0.07891491虽然有一些结果显著， 但是相对于其它参数太少的模型拟合效果还是好得多。
27.8 其它多元波动率模型介绍
一类方法是考虑对\(\boldsymbol a_t\)正交化， 求\(M\)使得\(\boldsymbol b_t = M \boldsymbol a_t\)的各个分量正交， 这样可以对\(\boldsymbol b_t\)每个分量使用一元波动率模型， 再利用\(\boldsymbol a_t\)和\(\boldsymbol b_t\)的方差阵关系获得\(\Sigma_t\)估计。
另一类方法基于Copula， 分别描述各分量的边缘变化， 并用Copula表示各分量之间的关系。
Hu and Tsay(2014) 提出了Principal Volatility Components模型。