9 Julia语言中的随机数发生器与分布类介绍

9.1 与分布有关的函数

Julia语言的Base部分提供了rand函数和randn函数。 rand(n)返回n个标准均匀分布U(0,1)随机数, 类型是Float64的一维数组, 无自变量的rand()调用返回一个U(0,1)随机数。 randn(n)randn()产生标准正态分布的随机数。

加载Distributions包后可以生成其它分布的随机数, 为Base的rand函数增加了方法, 还提供了各种与分布的有关函数。

产生随机数的函数调用格式为 rand(distribution, n)rand(distribution), 其中distribution是一个分布,用函数调用表示, 比如标准正态分布用Normal()表示,\(\text{N}(10, 2^2)\)Normal(10,2)表示。 用srand(k)设定一个随机数种子序号, 这样可以在模拟时获得可重复的结果。 比如,生成100个Possion(2)分布随机数:

结果是Int64型的一维数组。作其直方图:

Distributions包不仅包含了R软件中提供的密度函数、对数密度函数、分布函数、分位数函数、随机数函数等与分布有关的函数, 还可以输出每个参数分布的各种矩的理论值, 计算矩母函数和特征函数, 给定观测样本后计算参数的最大似然估计, 用共轭先验计算后验分布,对参数作最大后验密度估计等。 分布类型包括一元随机变量(Univariate)、随机向量(Multivariate)、随机矩阵(Matrixvariate), 又可分为离散型(Discrete)和连续型(Continuous)。 分布类型的大类名称包括:

  • DiscreteUnivariateDistribution
  • ContinuousUnivariateDistribution
  • DiscreteMultivariateDistribution
  • ContinuousMultivariateDistribution
  • DiscreteMatrixDistribution
  • ContinuousMatrixDistribution

Distributions包中定义了各种概率分布。 例如, Binomial(n, p)表示二项分布, Normal(μ, σ)表示正态分布分布, Multinomial(n, p)表示多项分布, Wishart(nu, S)表示Wishart分布。

可以从一元分布生成截断分布(truncated), 如Truncated(Normal(mu, sigma), l, u)

params(distribution)返回一个分布的参数,如

rand(distribution, n)生成n个指定分布的随机数, 对一元分布,结果是一维数组, 连续型分布的元素类型是Float64, 离散型分布的元素类型是Int。 对多元分布, 结果是矩阵,每列为一个抽样。 对随机矩阵分布, 结果是元素为矩阵的数组。

有一些函数用来返回分布的特征量, 对一元分布,有:

  • maximum() 分布的定义域上界
  • minimum() 分布的定义域下界
  • mean() 期望值
  • var() 方差
  • std() 标准差,
  • median() 中位数
  • modes() 众数(可有多个)
  • mode() 第一个众数
  • skewness() 偏度
  • kurtosis() 峰度,正态为0
  • entropy() 分布的熵

mgf(distribution, t)计算矩母函数在t处的值, 用cf(distribution, t)计算特征函数在t处的值。

pdf(distribution, x)计算分布密度(概率质量)函数在x处的值, 如果x是数组,结果返回数组; 如果x是数组且函数写成pdf!(distribution, x),则结果保存在x中返回。 logpdf()计算其密度函数的自然对数值。

cdf(distribution, x)计算分布函数在x处的值, logcdf计算其对数值, ccdf计算1减分布函数值, logccdf计算其对数值。

quantile(distribution, p)计算分位数函数在p处的值。

类似于pdf,这些函数一般支持向量化, 输入x为向量时返回向量, 写成以叹号结尾的函数名时, 输入为向量则结果保存在输入向量的存储中返回。 可这样向量化的函数包括 pdf, logpdf, cdf, logcdf, ccdf, logccdf, quantile, cquantile, invlogcdf, invlogccdf

比如,计算\(\text{N}(10,2^2)\)的0.5和0.975分位数:

比如,计算标准正态分布密度并作曲线图:

rand(distrbution)生成指定分布的一个抽样, 用rand(distrbution, n)生成指定分布的n个抽样, 用rand!(distribution, x)生成指定分布的多个抽样保存在数组x中返回。

fit(distribution, x)作最大似然估计, 比如模拟生成\(\text{N}(10,2^2)\)样本,然后做最大似然估计:

9.2 支持的分布

这里列举出Julia的Distributions包支持的分布。

9.2.1 连续型一元分布

  • Arcsine(a,b)
  • Beta(α,β)
  • BetaPrime(α,β)
  • Biweight(μ, σ)
  • Chi(ν)
  • Chisq(ν)
  • Cosine(μ, σ)
  • Epanechnikov(μ, σ)
  • Erlang(α,θ)
  • Exponential(θ)
  • FDist(ν1, ν2)
  • Frechet(α,θ)
  • Gamma(α,θ)
  • GeneralizedExtremeValue(μ, σ, ξ)
  • GeneralizedPareto(μ, σ, ξ)
  • Gumbel(μ, θ)
  • InverseGamma(α, θ)
  • InverseGaussian(μ,λ)
  • Kolmogorov()
  • KSDist(n)
  • KSOneSided(n)
  • Laplace(μ,θ)
  • Levy(μ, σ)
  • Logistic(μ,θ)
  • LogNormal(μ,σ)
  • NoncentralBeta(α, β, λ)
  • NoncentralChisq(ν, λ)
  • NoncentralF(ν1, ν2, λ)
  • NoncentralT(ν, λ)
  • Normal(μ,σ)
  • NormalCanon(η, λ)
  • NormalInverseGaussian(μ,α,β,δ)
  • Pareto(α,θ)
  • Rayleigh(σ)
  • SymTriangularDist(μ,σ)
  • TDist(ν)
  • TriangularDist(a,b,c)
  • Triweight(μ, σ)
  • Uniform(a,b)
  • VonMises(μ, κ)
  • Weibull(α,θ)

9.2.2 离散型一元分布

  • Bernoulli(p)
  • BetaBinomial(n,α,β)
  • Binomial(n,p)
  • Categorical(p)
  • DiscreteUniform(a,b)
  • Geometric(p)
  • Hypergeometric(s, f, n)
  • NegativeBinomial(r,p)
  • Poisson(λ)
  • PoissonBinomial(p)
  • Skellam(μ1, μ2)

9.2.3 截断分布

distribution为一个一元分布, 用

可以返回一个截断分布,其中l为下界, u为上界。

特别地, TruncatedNormal(mu, sigma, l, u)表示截断正态分布。

9.2.4 多元分布

  • Multinomial
  • MvNormal
  • MvNormalCanon
  • MvLogNormal
  • Dirichlet

9.2.5 随机矩阵分布

  • Wishart(nu, S)
  • InverseWishart(nu, P)

9.2.6 混合分布

通过MixtureModel()函数构造。