25 R中的近似计算函数

25.1 多项式

R用扩展包polynom提供了一元多项式类, 用多项式系数表示一个多项式, 提供了多项式运算、微分、积分等功能。

polynomial(coef)生成一个多项式, 自变量coef是多项式的0次、1次、2次、……项系数的向量。 例如,\(P(x)= -3 + 2x + x^2\)可表示为:

library(polynom)
P2 = polynomial(c(-3,2,1))

也可以利用多项式的根定义多项式, 如\((x+1)(x-1)\):

poly.from.roots(c(-1, 1))
## -1 + x^2

as.character(p)可以将多项式p转换成R的表达式字符串,如:

as.character(P2)
## [1] "-3 + 2*x + x^2"

coef(p)可以提取多项式的升幂表示的各个系数为一个向量,如

coef(P2)
## [1] -3  2  1

as.function(p)可以将多项式转换成一个R函数, 这时它才能对自变量值求函数值, 如

curve(as.function(P2)(x), -4, 2, ylab="P(x)"); abline(h=0, lty=3)

实际上, 可以直接对多项式作图, 如

plot(P2, xlim=c(-5, 5))

多项式可以进行通常的加、减、乘法,如

P1 <- polynomial(c(-2, 1))
print(P1 + P2)
## -5 + 3*x + x^2
print(P1 * P2)
## 6 - 7*x + x^3

多项式除法比较特殊。 除尽时:

P2 / polynomial(c(3,1))
## -1 + x

除不尽时:

P3 = P2 / polynomial(c(1,1)); print(P3)
## 1 + x
P4 = P2 - P3*polynomial(c(1,1)); print(P4)
## -4

这说明 \[ \frac{-3 + 2x + x^2}{1 + x} = 1 + x + \frac{-4}{1+x} \]

可以用函数GCD()求多项式的最大公因式, 用LCM()求多项式的最小公倍式。

deriv(p)求多项式p的一阶导数,如

deriv(P2)
## 2 + 2*x

integral(p)求多项式p的不定积分, 看成是\(\int_0^x p(t) \,dt\)integral(p, limits)则可求定积分, 其中limits是表示积分上界和下界的两个元素的向量。如

integral(P2)
## -3*x + x^2 + 0.3333333*x^3
integral(P2, c(-3, 1))
## [1] -10.66667

poly.calc(x, y)可以从给定的x值和y值的组合计算相应的Lagrange插值多项式, 阶数由点数决定。

例25.1 \(h(x)=\sqrt(x)\)\(x=1/16\), \(1/4\), \(1\)用抛物线插值。

ph <- poly.calc(x=c(1/16, 1/4, 1), y=sqrt(c(1/16, 1/4, 1)))
print(ph)
## 0.1555556 + 1.555556*x - 0.7111111*x^2

可以用MASS包的fractions()函数得到分数表示:

MASS::fractions(coef(ph))
## [1]   7/45   14/9 -32/45

即此插值多项式的理论值是 \[ \frac{1}{45} \left( 7 + 70x - 32 x^2 \right) . \]

polylist()可以生成若干个多项式的列表, 可以用sum()函数求多项式的和, 用prod()求多项式乘积, 用deriv()对其中每个微分, 用integral()对其中每个积分。

25.2 插值

R函数approx(x, y)对给定的x和y坐标计算线性插值, 输出格子点上的x, y坐标的列表。 可以用n=指定输出的格子点的个数, 可以用xout=指定需要计算的x坐标。

approx.fun(x, y)计算插值函数, 结果是类型为R函数的插值函数。

25.3 样条插值

R函数spline(x, y)对给定的x和y坐标计算样条插值, 输出格子点上的x, y坐标的列表。 可以用n=指定输出的格子点的个数, 可以用xout=指定需要计算的x坐标。 默认使用fmm样条, 这时在两端用各自最边缘处的4格点分别拟合三次多项式。 选method="natural"用自然样条。

splinefun(x, y)计算样条插值函数, 结果是类型为R函数的插值函数, 得到的插值函数可以用来计算x处的插值函数值及导数值, 在调用生成的插值函数时加选项deriv=可以指定导数阶数, 最多3阶。

函数spline.smooth()可以计算样条曲线拟合。

在用lm()模型, 可以用bs()函数计算给定的自变量\(x\)的若干阶的样条基函数值作为非线性项。

25.4 积分

R函数integrate()用自适应方法计算一元定积分。 但是,当被积函数在大部分区域为常数时, 自适应算法的收敛判断可能会误判, 得到完全错误的结果。

25.5 Gauss-Legendre积分

R的gss包的gauss.quad()函数可以对给定点数和区间端点计算高斯-勒让德积分的节点位置和相应积分权重。 用法为

gauss.quad(size, interval)

25.6 微分

R的deriv()函数计算表达式的导数, 有符号显示表示时用符号计算得到结果, 否则计算数值导数。 如 {rapprox-rlang-deriv01, cache=TRUE} deriv(~ sin(x)^2, "x")