B Julia语言入门

B.1 Julia的安装和运行

B.1.1 Julia程序语言介绍

Julia程序语言是一种计算机编程语言，就像C、C++、Fortran、Java、R、Python、Matlab等程序语言一样。 Julia语言历史比较短，发布于2012年，是MIT的几位作者和全世界的参与者共同制作的。主网站在https://julialang.org/。

Julia与R、Python等一样是动态类型语言，程序与R、Python一样简单，但是它先进的设计使得Julia程序的效率基本达到和C、Fortran等强类型语言同样的高效率。尤其适用于数值计算，在现今的大数据应用中也是特别合适的语言，排在Python、R之后，已经获得广泛的关注，现在用户较少只是因为历史还太短。

B.1.2 Julia软件安装和运行

从Julia网站下载安装Julia的命令行程序，称为REPL界面。

运行方式是在一个字符型窗口中，在提示行julia>后面键入命令，回车后在下面显示结果。

在MS Windows操作系统中，设存放Julia源程序和数据文件的目录为c:\work, 将安装后显示在桌面上的Julia图标复制到目录中，从右键选“属性”，将“起始位置”栏改为空白。这样读写数据和程序文件的默认位置就是图标所在的目录。

Julia源程序用.jl作为扩展名，为了运行当前目录中的“myprog.jl”文件，在命令行用命令

julia> include("myprog.jl")

(其中julia>是自动显示的提示)。

B.1.3 Julia的其它运行方式

安装REPL界面后，下载安装Atom编辑器，从Atom编辑器中再安装其IJulia插件，然后在Atom编辑器中编辑并运行Julia程序。这称为Juno集成环境。
安装Anaconda软件，并安装Julia的IJulia模块，将IJulia所需要的Python和Jupyter可执行程序的路径指定为安装的Anaconda软件的位置。这可以同时获得Python语言和一些科学计算、数据整理、统计建模、机器学习等软件。

参见http://www.math.pku.edu.cn/teachers/lidf/docs/Julia/JuliaIntro.html。

B.2 Julia的基本数据和相应运算

B.2.1 整数与浮点数

Julia程序中的整数值可以直接写成如123或者-123这样。虽然整数有多种类型，一般程序中不必特别关心整数常量的具体类型。 Julia允许使用特别长的整数，这时其类型为BigInt。

Julia的浮点数可以写成带点的形式如123.0, 1.23, 也可以写成带有10的幂次如1.23e3(表示\(1.23\times 10^3\)), 1.23e-3(表示\(1.23\times 10^{-3}\))。这些写法都属于Float64类型的浮点数。 Julia还有其他类型的浮点数，但是科学计算中主要使用Float64类型，在别的语言中这称为双精度浮点数。

B.2.2 四则运算

表示加、减、乘、除、乘方的运算符分别为：

+  -   *  /  ^

浮点数的四则运算遵循传统的算数运算规则和优先级规定。如

1.3 + 2.5*2.0 - 3.6/1.2 + 1.2^2

4.74

表示 \[1.3 + 2.5 \times 2.0 - 3.6 \div 1.2 + 1.2^2\]

B.2.3 整数的四则运算

整数加法、减法、乘法结果仍为整数，这样因为整数的表示范围有限，有可能发生溢出。如

10 + 2*3 - 3*4

整数用“/”作的除法总是返回浮点数，即使结果是整数也是一样：

10/2

5.0

整数用a % b表示a整除b的余数，结果符号总是取a的符号。如

10 % 3

整数与浮点数的混合运算会将整数转换成浮点数再计算。

B.2.4 字符串

单个字符在两边用单撇号界定，如'A'，'囧'。字符都是用Unicode编码存储，具体使用UTF-8编码。

零到多个字符组成字符串，程序中的字符串在两边用双撇号界定，如 "A cat"，"泰囧"。

对于占据多行的字符串，可以在两侧分别用三个双撇号界定。如

"""
这是第一行
这是第二行
三个双撇号界定的字符串中间的单个双撇号"不需要转义
"""

"这是第一行\n这是第二行\n三个双撇号界定的字符串中间的单个双撇号\"不需要转义\n"

B.2.5 字符串连接

用星号“*”连接两个字符串，如

"过去的" * "历史" * "不能忘记"

"过去的历史不能忘记"

B.3 变量

B.3.1 变量

变量名是一个标识符，用来指向某个值在计算机内存中的存储位置。变量名可以用英文大小写字母、下划线、数字、允许的Unicode字符。变量名不允许使用空格、句点以及其它标点符号和井号之类的特殊字符。

给变量赋值，即将变量名与一个内存中的内容联系起来，也称为绑定（binding），使用等号“=”，等号左边写变量名，右边写要保存到变量中的值。如

x = 123

y = 1+3/2

2.5

addr100871 = "北京市海淀区颐和园路5号"

"北京市海淀区颐和园路5号"

变量的类型是由它保存的（指向的内存中的）值的类型决定的，不需要说明变量类型（Julia允许说明变量类型，但一般不需要）。

变量赋值后，就可以参与运算，如：

x = 123
y = 1+3/2
x + y*2

128.0

B.3.2 简单的输出

在Julia命令行，键入变量名或者计算表达式直接在下面显示结果。可以用println()函数显示指定的变量和结果。如

println(x + y*2)

128.0

println("x=", x, " y=", y, " x + y*2 =", x+y*2)

x=123 y=2.5 x + y*2 =128.0

B.4 向量

B.4.1 向量

在程序中直接定义一个向量，用方括号内写多个逗号分隔的数值，如

v1 = [1, 3, 4, 9, 13]

5-element Array{Int64,1}:
  1
  3
  4
  9
 13

v2 = [1.5, 3, 4, 9.12]

4-element Array{Float64,1}:
 1.5 
 3.0 
 4.0 
 9.12

其中v1是整数型的向量， v2是浮点型Float64的向量。

向量实际上是一维数组。

可以用1:5定义一个范围，在仅使用其中的元素值而不改写时作用与[1, 2, 3, 4, 5]类似。 1:2:9定义带有跨度的范围，与[1, 3, 5, 7, 9]类似。

1:5

1:5

1:2:9

1:2:9

B.4.2 向量下标

若x是向量，i是正整数，x[i]表示向量的第i个元素。如

v1[2]

对元素赋值将在原地修改元素的值，如

v1[2] = -999; v1

5-element Array{Int64,1}:
    1
 -999
    4
    9
   13

B.4.3 用范围作为下标

下标可以是一个范围，如

v1[2:4]

3-element Array{Int64,1}:
 -999
    4
    9

熟悉Python语言的读者要注意，这里下标范围的终点是包含在内的，而Python用这种方法取子集时不包括范围的终点。

用end表示最后一个下标，如

v1[4:end]

2-element Array{Int64,1}:
  9
 13

v1[1:(end-1)]

4-element Array{Int64,1}:
    1
 -999
    4
    9

B.4.4 数组作为下标

向量的下标也可以是一个下标数组，如

v1[[1, 3, 5]]

3-element Array{Int64,1}:
  1
  4
 13

取出的多个元素可以修改，可以赋值为同一个标量，如：

v1[1:3] = 0; v1

5-element Array{Int64,1}:
  0
  0
  0
  9
 13

也可以分别赋值，如

v1[[1, 3, 5]] = [101, 303, 505]; v1

5-element Array{Int64,1}:
 101
   0
 303
   9
 505

B.4.5 向量与标量的运算

向量与一个标量作四则运算，将运算符前面加句点“.”：

.+   .-   .*   ./   .^

表示向量的每个元素分别与该标量作四则运算，结果仍是向量。如

v1 = [1, 3, 4, 9, 13]
v1 .+ 100

5-element Array{Int64,1}:
 101
 103
 104
 109
 113

100 .- v1

5-element Array{Int64,1}:
 99
 97
 96
 91
 87

v1 .* 2

5-element Array{Int64,1}:
  2
  6
  8
 18
 26

v1 ./ 10

5-element Array{Float64,1}:
 0.1
 0.3
 0.4
 0.9
 1.3

v1 .^ 2

5-element Array{Int64,1}:
   1
   9
  16
  81
 169

B.4.6 向量与向量的四则运算

两个等长的向量之间作加点的四则运算，表示对应元素作相应的运算。如

v1 = [1, 3, 4, 9, 13]
v3 = [2, 5, 6, 7, 10]
v1 .+ v3

5-element Array{Int64,1}:
  3
  8
 10
 16
 23

v1 .- v3

5-element Array{Int64,1}:
 -1
 -2
 -2
  2
  3

v1 .* v3

5-element Array{Int64,1}:
   2
  15
  24
  63
 130

v1 ./ v3

5-element Array{Float64,1}:
 0.5     
 0.6     
 0.666667
 1.28571 
 1.3

B.4.7 向量初始化

用zeros(n)可以生成元素类型为Float64、元素值为0、长度为n的向量，如

zeros(5)

5-element Array{Float64,1}:
 0.0
 0.0
 0.0
 0.0
 0.0

用Vector{Float64}(undef, n)可以生成元素类型为Float64的长度为n的向量，元素值未初始化，如

Vector{Float64}(undef, 3)

3-element Array{Float64,1}:
 1.114676523e-315
 1.92399178e-315
 1.5759804e-315

类似可以生成其它元素类型的向量，如

Vector{Int}(undef, 3)

3-element Array{Int64,1}:
 378739344
 378739376
 155525920

用这样的办法为向量分配存储空间后可以随后再填入元素值。

B.4.8 向量复制

定义一个向量后，此向量的变量名就“绑定”在某个内存地址上。修改变量元素实际是修改了变量名所绑定的地址中某个位置的值。如

v = [2, 3, 5, 7, 11]
v[3] = 0
v

5-element Array{Int64,1}:
  2
  3
  0
  7
 11

将向量赋给另外一个向量，并不能实现复制；两个向量实际上是绑定到了相同的内存地址。如

w = v
w

5-element Array{Int64,1}:
  2
  3
  0
  7
 11

v[1] = 97
w

5-element Array{Int64,1}:
 97
  3
  0
  7
 11

可以看出修改了v的元素值，w的元素值也被修改了，因为这两个变量名指向的是相同的内存地址。为了制作一个向量的副本，不能使用直接赋值的方法，而是使用copy()函数。如

v = [2, 3, 5, 7, 11]
w = copy(v)
v[3] = 0
w

5-element Array{Int64,1}:
  2
  3
  5
  7
 11

v被修改后，其副本w未受影响。另外，给w另外赋值，相当于解除了w原来的绑定，并将w绑定到了将v的内容复制到另一内存地址的副本地址上。

B.4.9 向量的循环遍历

可以用for循环对向量的每个元素遍历访问。格式如

for i in eachindex(v1)
  println("v1[", i, "] = ", v1[i])
end

v1[1] = 1
v1[2] = 3
v1[3] = 4
v1[4] = 9
v1[5] = 13

这里i是循环产生的向量下标。

B.4.10 向量的输出

设v2 = [1.5, 3, 4, 9.12], 为了将其按显示格式保存到文件“tmp1.txt”中，可用如下代码：

using DelimitedFiles
writedlm("tmp1.txt", v2, ' ')

结果文件中每个数占一行。

B.4.11 向量的输入

假设文件“vecstore.txt”中包含如下的内容：

1.2 -5  3.6
7.8 9.12 4.11

可以用如下代码将文件中的数据读入到一个向量v4中：

using DelimitedFiles
v4 = readdlm("vecstore.txt")[:]; v4

B.5 矩阵

B.5.1 矩阵

前面讲的向量是一维数组，不区分行向量还是列向量。

矩阵是二维数组，有两个下标：行下标和列下标。

在方括号内两个同行的元素之间用空格分隔，两行之间用分号分隔，可以在程序中输入矩阵，如

A1 = [1 2 3; 4 5 6]

2×3 Array{Int64,2}:
 1  2  3
 4  5  6

也可以直接用换行符分隔不同行，例如

A1 = [1 2 3
      4 5 6]

B.5.2 矩阵下标

设A是矩阵，则A[i,j]表示A的第i行第j列元素，如:

A1[2,3]

给元素赋值可以在矩阵中修改元素值，如：

A1[2,3] = -6; A1

2×3 Array{Int64,2}:
 1  2   3
 4  5  -6

B.5.3 矩阵列和行

设A是矩阵，则A[:, j]表示A的第j列元素组成的向量（一维数组），如

A1[:, 2]

2-element Array{Int64,1}:
 2
 5

A[i, :]表示A的第i行元素组成的向量（一维数组），如

A1[2, :]

3-element Array{Int64,1}:
  4
  5
 -6

取出后的列或者行不分行向量和列向量。

B.5.4 子矩阵

如果A是矩阵，I和J是范围或者向量，则A[I,J]表示A的行号在I中的行与列号在J中的列交叉所得的子矩阵，如

A1[1:2, 2:3]

2×2 Array{Int64,2}:
 2   3
 5  -6

用冒号“:”作为行下标或列下标表示取该维的全部下标。

B.5.5 子矩阵赋值

可以给子矩阵赋值，赋值为一个标量使得对应元素都改为该标量值；如

A1[1:2, 2:3] = 0; A1

2×3 Array{Int64,2}:
 1  0  0
 4  0  0

给子矩阵赋值为一个同样大小的子矩阵给对应元素赋值，如

A1[1:2, 2:3] = [102 103; 202 203]; A1

2×3 Array{Int64,2}:
 1  102  103
 4  202  203

B.5.6 矩阵初始化

用zeros(m, n)可以生成元素类型为Float64、元素值为0的\(m\times n\)矩阵，如

zeros(2, 3)

2×3 Array{Float64,2}:
 0.0  0.0  0.0
 0.0  0.0  0.0

用Array{Float64}(undef, m, n)可以生成元素类型为Float64的\(m \times n\)矩阵，元素值未初始化，如

Array{Float64}(undef, 2, 3)

2×3 Array{Float64,2}:
 3.90752e-316  6.78756e-316  5.18128e-316
 6.61297e-316  6.81373e-316  3.87102e-316

类似可以生成其它元素类型的矩阵，如

Array{Int}(undef, 2, 3)

2×3 Array{Int64,2}:
 386423696  78323216  78323216
  79156592  78323216  78331944

用这样的办法先为矩阵分配存储空间，然后可以再填入元素值。

B.5.7 矩阵元素遍历

对行下标和列下标分别循环，行下标变化最快，如

A1 = [1 2 3; 4 5 6]

2×3 Array{Int64,2}:
 1  2  3
 4  5  6

for j = 1:size(A1,2), i = 1:size(A1,1)
  println("A1[", i, ", ", j, "] = ", A1[i, j])
end

A1[1, 1] = 1
A1[2, 1] = 4
A1[1, 2] = 2
A1[2, 2] = 5
A1[1, 3] = 3
A1[2, 3] = 6

另一种办法是用类似于向量遍历的方法，如：

for i in eachindex(A1)
  println("A1[", i, "] = ", A1[i])
end

A1[1] = 1
A1[2] = 4
A1[3] = 2
A1[4] = 5
A1[5] = 3
A1[6] = 6

B.5.8 矩阵读入

设当前目录中文件“vecstore.txt”中包含如下内容：

1.2 -5  3.6
7.8 9.12 4.11

将文件中的内容每一行看作矩阵的一行，文件中保存了一个\(2 \times 3\)矩阵。读入方法如下:

using DelimitedFiles
Ain = readdlm("vecstore.txt"); Ain

2×3 Array{Float64,2}:
 1.2  -5.0   3.6
 7.8   9.12  4.11

B.5.9 保存矩阵到文件中

考虑上面的Ain矩阵，为了将其按文本文件格式保存到“tmp2.txt”中，用如下程序：

using DelimitedFiles
writedlm("tmp2.txt", Ain, ' ')

B.5.10 矩阵与标量的四则运算

矩阵与一个标量之间用加点的四则运算符号进行运算，与向量和标量之间的运算类似，表示矩阵的每个元素和该变量的四则运算，结果仍为矩阵。如

A1 = [1 2 3; 4 5 6]

2×3 Array{Int64,2}:
 1  2  3
 4  5  6

A1 .+ 100

2×3 Array{Int64,2}:
 101  102  103
 104  105  106

100 .- A1

2×3 Array{Int64,2}:
 99  98  97
 96  95  94

A1 .* 2

2×3 Array{Int64,2}:
 2   4   6
 8  10  12

A1 ./ 10

2×3 Array{Float64,2}:
 0.1  0.2  0.3
 0.4  0.5  0.6

A1 .^ 2

2×3 Array{Int64,2}:
  1   4   9
 16  25  36

B.5.11 两个矩阵之间的四则运算

两个同样大小的矩阵之间用加点的四则运算符号进行运算，表示两个矩阵的对应元素的运算。如

A2 = A1 .* 100

2×3 Array{Int64,2}:
 100  200  300
 400  500  600

A1 .+ A2

2×3 Array{Int64,2}:
 101  202  303
 404  505  606

A2 .- A1

2×3 Array{Int64,2}:
  99  198  297
 396  495  594

A1 .* A2

2×3 Array{Int64,2}:
  100   400   900
 1600  2500  3600

A2 ./ A1

2×3 Array{Float64,2}:
 100.0  100.0  100.0
 100.0  100.0  100.0

B.5.12 矩阵乘法

用A * B表示矩阵乘法。如

A3 = [11 12; 21 22]

2×2 Array{Int64,2}:
 11  12
 21  22

A3 * A1

2×3 Array{Int64,2}:
  59   82  105
 109  152  195

一个矩阵与一个向量（一维数组）作矩阵乘法，向量自动变成列向量，如:

A3 * [1, -1]

2-element Array{Int64,1}:
 -1
 -1

注意结果是向量（一维数组），而不是\(2 \times 1\)矩阵（二维数组）。

行向量可以直接表示成方括号内多个数值之间用空格分隔的格式，如

[1,  -1] * [1  -1]

2×2 Array{Int64,2}:
  1  -1
 -1   1

又如

[1  -1] * A3

1×2 Array{Int64,2}:
 -10  -10

注意结果是\(1 \times 2\)矩阵，即行向量，而不是向量。向量是一维数组，行向量是二维数组。

从以上例子可以看出在矩阵运算中向量可以看成是列向量，矩阵乘法结果如果是列向量，也会表示成向量（一维数组）。

B.5.13 矩阵转置

用A.’表示矩阵A的转置；用A’表示矩阵A的共轭转置。如

A1

2×3 Array{Int64,2}:
 1  2  3
 4  5  6

A1.'

3×2 Array{Int64,2}:
 1  4
 2  5
 3  6

两个向量x和y的内积用dot(x, y)表示，而不要写成x.’ * y。如

dot([1, -1], [2, 3])

B.5.14 矩阵求逆和解线性方程组

inv(A)表示\(A^{-1}\)。如

A4 = [1 3; 3 1]

2×2 Array{Int64,2}:
 1  3
 3  1

inv(A4)

2×2 Array{Float64,2}:
 -0.125   0.375
  0.375  -0.125

用A \ B表示\(A^{-1} B\)，当B是向量或者列向量时，就是求解线性方程组\(A x = B\)中的\(x\)。如

A4 \ [-2, 2]

2-element Array{Float64,1}:
  1.0
 -1.0

B.6 自定义函数

B.6.1 介绍

Julia语言支持自定义函数。在计算机程序语言中，函数是代码模块化、代码复用的基础。将常用的计算或者操作写成函数以后，每次要进行这样的计算或者操作，只要简单地调用函数即可。将复杂的任务分解成一个个函数，可以使得任务流程更加明晰，任务的不同阶段之间减少互相干扰。另外，用自定义函数表示的算法才能充分利用Julia的即时编译优势。

B.6.2 自定义函数的单行格式

类似于\(f(x) = x^2 + 3 x + 1\)这样的简单函数，可以用一行代码写成

f(x) = x^2 + 3*x + 1

f (generic function with 1 method)

调用如

f(2)

f(1.1)

5.510000000000001

B.6.3 自定义函数的多行格式

需要用多行才能完成的计算或者操作，就需要写成多行的形式。格式如

function funcname(x, y, z)
  ...
end

其中funcname是函数名称， x, y, z等是自变量名， ...是函数内的语句或表达式，函数以最后一个表达式为返回值（结果）。

例如，写一个函数，以向量的形式输入一个变量的样本值，计算样本标准差： \[ s = \sqrt{ \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar x)^2 } \] 自定义函数如

function mysd(x)
  n = length(x)
  mx = 0.0
  for z in x
    mx += z
  end
  mx /= n
  s = 0.0
  for z in x
    s += (z - mx)^2
  end
  sqrt(s / (n-1))
end

mysd (generic function with 1 method)

调用如

mysd([1, 2, 3, 4, 5])

1.5811388300841898

事实上，上面的函数定义可以用已有的一些函数进行简化。比如，sum(x)对向量x的元素求和，于是以上的函数可以写成：

function mysd_simple(x)
  n = length(x)
  mx = sum(x)/n
  sqrt( sum(x .- mx) / (n-1) )
end

mysd_simple (generic function with 1 method)

第二个版本只是利用了向量化和已有函数，在Julia中其运行效率并不比第一个版本更好，甚至于不如第一个版本。 Julia语言与R、Matlab等语言不同，显式的循环一般有更高的执行效率，向量化写法仅仅是可以使得程序比较简洁。

均值、标准差这些基本统计函数已经在Julia的Statistics标准库中有定义。

B.7 程序控制结构

B.7.1 复合表达式

用begin ... end可以将多行的多个表达式组合起来当作一个表达式，复合表达式的值是其中最后一个表达式的值。如

z = begin
  x = 1
  y = 2
  x + y
end
z

多个表达式也可以用分号分隔后写在圆括号中，作为一个复合表达式，如

z = (x = 1; y = 2; x + y)
z

B.7.2 比较运算

两个数值之间用如下的比较运算符进行比较：

==   !=   <   <=   >   >=

分别表示等于、不等于、小于、小于等于、大于、大于等于。要特别注意“等于”比较用两个等号表示。

比较的结果是true(真值)或者false(假值)。结果类型为Bool类型（布尔型）。

如

1 == 1.0

true

2 != 2.0001

true

3.5 > -1

true

3.5 > -1.5

true

-3.5 < 1.2

true

-3.5 <= 1.2

true

-3.5 > 1.2

false

-3.5 >= 1.2

false

两个字符串之间也可以比较，比较时按字典序比较，两个字符的次序按照其Unicode编码值比较。如

"abc" == "ABC"

false

"ab" < "abc"

true

"陕西省" != "山西省"

true

B.7.3 逻辑运算

比较通常有变量参与。如

age = 35; sex="F"
age < 18

false

sex == "F"

true

有时需要构造复合的条件，如“年龄不足18岁且性别为女”， “年龄在18岁以上或者性别为男”等。

用&&表示要求两个条件同时成立，用||表示只要两个条件之一成立则结果为真，用!cond表示cond的反面。如

age < 18 && sex == "F"

false

age >= 18 || sex == "M"

true

B.7.4 短路与运算和分支

&& 是一种短路运算，表达式cond && expr 仅当cond为true时才计算（运行）expr，所以这种写法经常用作程序分支的简写：条件cond为真时执行expr，否则不执行。

比如，在计算x的平方根之前，先判断其非负：

x = -1.44
x < 0 && println("平方根计算：自变量定义域错误，x=", x)

平方根计算：自变量定义域错误，x=-1.44

B.7.5 短路或运算与分支

||是一种短路或运算，表达式cond || expr 仅当cond为false时才计算（运行）expr，所以这种写法经常作为程序分支的缩写：条件cond为假时才执行expr，否则不执行。

比如，求平方根时当自变量不为负时才计算平方根：

x < 0 || (y = sqrt(x))

true

B.7.6 if–end结构

可以用if cond ... end结构在条件cond成立时才执行某些语句，如

x = 1.44
if x >= 0
  y = sqrt(x)
  println("√", x, " = ", y)
end

√1.44 = 1.2

注意条件不需要用括号包围，结构以end语句结尾。

B.7.7 if–else–end结构

if cond ... else ... end结构当条件成立时执行第一个分支中的语句，当条件不成立时执行第二个分支中的语句。如

x = -1.44
if x >= 0
  y = sqrt(x)
  println("√", x, " = ", y)
else
  y = sqrt(-x)
  println("√", x, " = ", y, "i")
end

√-1.44 = 1.2i

B.7.8 if-elseif-else-end结构

if cond1 ... elseif cond2 ... else ... end可以有多个分支，有多个条件cond1, cond2, ……，依次判断各个条件，那个条件成立就执行对应分支的语句，所有条件都不成立则执行else分支的语句。条件cond2隐含条件cond1不成立， cond3隐含cond1和cond2都不成立，依此类推。例如

age = 35
if age < 18
  println("未成年")
elseif age < 60
  println("中青年")
elseif age < 100
  println("老年")
else
  println("老寿星！")
end

中青年

B.7.9 三元运算符

可以用cond ? expr1 : expr2表示比较简单的两分支选择，当cond成立时结果为expr1的结果，当cond不成立时结果为expr2的结果。如

x = -1.44
y = x >= 0 ? sqrt(x) : sqrt(-x)

1.2

B.7.10 for循环

for循环一般是沿着某个范围进行计算或处理，格式如下：

for loopvar = a:b
  expr1
  expr2
  ...
end

其中loopvar是自己命名的循环变量名， for结构块内的语句（表达式）先对loopvar=a运行，再对loopvar=a+1运行, 最后对loopvar=b运行，然后结束。如

for i=1:3
  y = i^3
  println(i, "^3 = ", y)
end

1^3 = 1
2^3 = 8
3^3 = 27

范围也可以是1:2:9, 0:0.1:1这样的带有跨度（增量）的，可以是倒数的如3:-1:1表示3, 2, 1。

B.7.11 对向量元素循环

用in关键字，可以使得循环变量遍历某个向量的元素，如：

x = [2, 3, 5, 7, 11]
for i in x
  y = i^3
  println(i, "^3 = ", y)
end

2^3 = 8
3^3 = 27
5^3 = 125
7^3 = 343
11^3 = 1331

B.7.12 向量元素按下标循环

设x是一个向量，上面的做法可以遍历x每个元素。有时还需要按照向量的下标遍历，这时使用eachindex(x)，如

x = [2, 3, 5, 7, 11]
for i in eachindex(x)
  println("Prime No. ", i, " = ", x[i])
end

Prime No. 1 = 2
Prime No. 2 = 3
Prime No. 3 = 5
Prime No. 4 = 7
Prime No. 5 = 11

B.7.13 理解(Comprehension)

对向量的循环，经常可以表达成一种称为comprehension的语法。例如，为了生成1, 2, 3的立方的向量，可以写成

xcube = [i^3 for i=1:3]

3-element Array{Int64,1}:
  1
  8
 27

对前5个素数作立方，可以写成

x = [2, 3, 5, 7, 11]
y = [z^3 for z in x]

5-element Array{Int64,1}:
    8
   27
  125
  343
 1331

B.7.14 两重for循环

for循环可以嵌套，如

for i=1:9
  for j=1:i
    print(i, "×", j, " = ", i*j, "  ")
  end
  println()
end

1×1 = 1  
2×1 = 2  2×2 = 4  
3×1 = 3  3×2 = 6  3×3 = 9  
4×1 = 4  4×2 = 8  4×3 = 12  4×4 = 16  
5×1 = 5  5×2 = 10  5×3 = 15  5×4 = 20  5×5 = 25  
6×1 = 6  6×2 = 12  6×3 = 18  6×4 = 24  6×5 = 30  6×6 = 36  
7×1 = 7  7×2 = 14  7×3 = 21  7×4 = 28  7×5 = 35  7×6 = 42  7×7 = 49  
8×1 = 8  8×2 = 16  8×3 = 24  8×4 = 32  8×5 = 40  8×6 = 48  8×7 = 56  8×8 = 64  
9×1 = 9  9×2 = 18  9×3 = 27  9×4 = 36  9×5 = 45  9×6 = 54  9×7 = 63  9×8 = 72  9×9 = 81

这种两重循环可以简写为一个for语句，外层循环先写，内层循环后写，中间用逗号分隔。如

for i=1:9, j=1:i
  print(i, "×", j, " = ", i*j, "  ")
  j==i && println()
end

1×1 = 1  
2×1 = 2  2×2 = 4  
3×1 = 3  3×2 = 6  3×3 = 9  
4×1 = 4  4×2 = 8  4×3 = 12  4×4 = 16  
5×1 = 5  5×2 = 10  5×3 = 15  5×4 = 20  5×5 = 25  
6×1 = 6  6×2 = 12  6×3 = 18  6×4 = 24  6×5 = 30  6×6 = 36  
7×1 = 7  7×2 = 14  7×3 = 21  7×4 = 28  7×5 = 35  7×6 = 42  7×7 = 49  
8×1 = 8  8×2 = 16  8×3 = 24  8×4 = 32  8×5 = 40  8×6 = 48  8×7 = 56  8×8 = 64  
9×1 = 9  9×2 = 18  9×3 = 27  9×4 = 36  9×5 = 45  9×6 = 54  9×7 = 63  9×8 = 72  9×9 = 81

B.7.15 矩阵元素遍历

矩阵元素按照行列下标遍历，可以写成两重循环的形式。 Julia的矩阵是按列存储的，所以循环时先对第一列各个元素循环，再对第二列各个元素循环， ……，按这样的次序遍历是比较有效的。如

A1 = [1 2 3; 4 5 6]
for j=1:3, i=1:2
  println("A1[", i, ", ", j, "] = ", A1[i,j])
end

A1[1, 1] = 1
A1[2, 1] = 4
A1[1, 2] = 2
A1[2, 2] = 5
A1[1, 3] = 3
A1[2, 3] = 6

for结构的两重循环中写在前面的是外层循环, 循环变量变化较慢，写在后面的是内层循环，循环变量变化较快。上例中列下标j写在前面，行下标i写在后面，所以关于列的循环j是外层循环，关于行的循环i是内层循环，这样的矩阵元素遍历方式是按列次序遍历。

B.7.16 矩阵的comprehension

在方括号内用两重的循环变量遍历可以定义矩阵。如

Ac = [i*100 + j for i=1:2, j=1:3]

2×3 Array{Int64,2}:
 101  102  103
 201  202  203

这里写在前面的循环变量i对应于行下标，写在后面的循环变量j对应于列下标。执行时行下标i在内层循环，列下标j在外层循环。

又如，如下程序返回矩阵对角化的结果：

[(i==j ? Ac[i,i] : 0) for i=1:2, j=1:3]

2×3 Array{Int64,2}:
 101    0  0
   0  202  0

B.7.17 while循环

for循环适用于对固定的元素或者下标的遍历，在预先未知具体循环次数时，需要使用当型循环循环或者直到型循环。

Julia中用while cond ... end表示当型循环，在条件cond成立时执行结构内的语句，直到cond不成立时不再循环。

例如，要判断一个奇数x是否素数，从3开始逐个用奇数去除x，直到除尽或者除数等于x为止：

x = 1333333
i = 3
while i < x && x % i != 0
    i += 2
end
if i == x
    println(x, "is prime.")
else
    println(x, "=", i, " X ", x ÷ i)
end

1333333=23 X 57971

B.7.18 直到型循环与break语句

当型循环每次进入循环之前判断循环条件是否成立，成立才进入循环。

直到型循环每次先进入循环，在循环末尾判断循环退出条件是否满足，满足退出条件时就不再循环。 Julia语言没有提供专门的直到型循环语法，可以用如下的方法制作直到型循环：

while true
  expr1
  expr2
  ...
  cond && break
end

其中cond是循环退出条件。break语句表示退出一重循环。

例如，用泰勒展开近似计算自然对数\(\log(1 + x)\)： \[ \log(1 + x) = x + \sum_{k=2}^\infty (-1)^{k-1} \frac{x^k}{k} \]

实际计算时不可能计算无穷次，所以指定一个精度如eps=0.0001, 当计算的通项小于此精度时停止计算。程序用直到型型循环写成：

eps = 0.0001
x = 1.0
y = x; xk = x; sgn = 1; k = 1
while true
  k += 1; sgn *= -1; xk *= x
  item = xk / k
  y += sgn*item
  item < eps && break
end
println("eps = ", eps, " log(1+", x, ") = ", y, 
  " Iterations: ", k)

eps = 0.0001 log(1+1.0) = 0.6931971730609582 Iterations: 10001