33 R中的矩阵计算(*)
33.1 Base包的矩阵功能
可以用matrix()函数生成一个矩阵，如
## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 1 5 9
## [2,] 2 6 10
## [3,] 3 7 11
## [4,] 4 8 12A + B是矩阵加法，
A - B是矩阵减法，
A %*% B是矩阵乘法。
x * A若x是标量，A是矩阵，作矩阵数乘。
如果x是向量，A是矩阵，
则x %*% A表示行向量x左乘矩阵A，
A %*% x表示列向量x右乘矩阵A。
对矩阵\(A, B\)，
crossprod(A)计算\(A^T A\),
crossprod(A, B)计算\(A^T B\)。
注意，如果x是向量，
为了计算x的元素平方和，
不应该使用crossprod而应写成sum(x^2)。
为了计算两个向量x, y的内积，
应该写成sum(x * y)。
solve(A)求方阵A的逆矩阵；
solve(A, x)解线性方程组\(A x = b\)求\(x\)。
solve(A, B)，若B也是矩阵，求\(A^{-1}B\)。
R函数backsolve (R, b)求解上三角方程组
\(R x = b\)，
forwardsolve(L, b)求解下三角方程组\(L x = b\)。
R函数chol(x)对正定矩阵作Cholesky分解\(R^T R\)，
结果\(R\)是上三角矩阵。
默认不使用主元，加pivot=TRUE选项可以使用主元法，
可以对半正定矩阵分解。
如果对正定矩阵\(A\)做了Cholesky分解\(A = R^T R\)，
可以从\(R\)计算\(A = R^{-1} R^{-T}\)；
如果对矩阵\(X\)得到了QR分解\(X = QR\)，
可以从\(R\)计算\((X^T X)^{-1} = (R^T R)^{-1} = R^{-1} R^{-T}\)。
R函数chol2inv(x)计算这两种逆矩阵，
其中x是满秩上三角阵。
qr(A)计算QR分解\(A = QR\)，
并返回压缩格式的计算结果与辅助信息的列表，
设结果为z,
可以用qr.Q(z)返回矩阵\(Q\),
qr.R(z)返回矩阵\(R\)，
qr.solve(z, b)利用得到的QR分解求解线性方程组\(A x = b\)。
在统计计算中QR分解经常用来计算回归分析的最小二乘估计，
或用在Newton-Raphson优化时计算逆矩阵乘以梯度。
设z为qr(X)的结果，
则qr.coef(z, y)利用QR分解求最小二乘估计\((X^T X)^{-1} X^T y\)，
qr.qy(z, y)计算\(Q y\),
qr.qty(z, y)计算\(Q^T y\)，
qr.resid(z, y)计算残差，
qr.fitted(z, y)计算拟合值。
eigen(A)求方阵\(A\)的特征值和特征向量，
结果返回一个列表，
其中元素values为各特征值，
vectors是一个方阵，
矩阵的各列为对应的特征向量。
可以加选项symmetric=TRUE表示输入的A是对称阵（输入复数矩阵时表示是Hermite阵）。
加选项only.values=TRUE表示仅要求计算并输出特征值，
不需要输出特征向量。
svd(A, nu, nv)求奇异值分解\(A = Q \Lambda V^T\)，
其中\(A\)是\(n \times p\)矩阵，
nu表示要计算的左奇异向量个数，
nv表示要计算的右奇异向量个数，
默认nu, nv都是\(A\)的行、列数最小值。
因为计算奇异向量比较慢，
所以不需要所有奇异向量时可以取较小的nu和nv。
结果是包含d, u, v三个元素的列表，
d是长度为\min(n,p)的保存奇异值的向量，
u是行数为\(n\)、列数为nu的左奇异值列向量组成的矩阵，
当nu=0时不输出此项；
v是行数为\(n\)、列数为nv的右奇异值列向量组成的矩阵，
当nv=0时不输出此项。
33.2 Matrix包的矩阵功能
Matrix扩展包补充了许多base部分没有提供的稠密矩阵功能， 并提供了base部分没有的稀疏矩阵的支持。 Matrix包使用特有的Matrix类型， 此类型又有对角阵、三角阵、分块对角阵、稀疏矩阵等变种， Matrix包的矩阵类型在做了分解后会将分解结果保存在原始矩阵的变量中，有利用分解结果的重复利用。
Matrix(x, nr, nc)生成一个稠密矩阵，
与matrix()函数类似。
cBind()和rBind()与cbind()和rbind()类似。
t(A)返回转置。
as(A, "sparseMatrix")返回A转换为稀疏矩阵的结果。
系数矩阵的运算结果尽可能保持为稀疏矩阵。
详见Matrix包的文档。