4 严平稳序列及其遍历性

4.1 严平稳

随机向量同分布是指其联合分布函数相同。

时间序列\(\{X_t\}\)\(\{Y_t\}\)同分布, 当且仅当\(\forall n \in \mathbb N_+\)\(t_1, \ldots, t_n \in \mathbb Z\), \((X(t_1), \ldots, X(t_n))^T\)\((Y(t_1), \ldots, Y(t_n))^T\)同分布。

严平稳: 时间序列\(\{X_t\}\)\(\forall n \in \mathbb N_+\)\(k \in \mathbb Z\)都有 \[ (X_1, X_2, \ldots, X_n)^T \text{ 和 } (X_{1+k}, X_{2+k}, \ldots, X_{n+k})^T \text{ 同分布}. \] 即分布平移不变,称\(\{X_t \}\)严平稳时间序列。

\(\{X_t \}\)严平稳, 对任多元函数 \(\phi(x_1, x_2, \ldots, x_m)\)\[\begin{aligned} \{ Y_t = \phi(X_{t+1}, \ldots, X_{t+m}), \ t \in \mathbb Z \} \end{aligned}\]\(\{ Y_t \}\)仍是严平稳列。

严平稳与宽平稳关系:

  • 二阶矩有限的严平稳为宽平稳。
  • 宽平稳一般不是严平稳。
  • 正态平稳列既是宽平稳也是严平稳。
  • 平稳序列\(=\)宽平稳序列\(=\)弱平稳序列。
  • 严平稳序列\(=\)强平稳序列。

4.2 遍历性

时间序列一般只有一条轨道。 要用时间序列\(\{X_t\}\)的一次实现 \(x_1,x_2,...\)推断 \(\{X_t(\omega), t\in\mathbb N, \omega\in\Omega \}\)的统计性质. 遍历性可以保证从一条轨道可以推断整体的统计性质。

如果严平稳序列是遍历的, 从它的一次实现 \(x_1,x_2,...\) 就可以推断出这个严平稳序列的 所有有限维分布: \[\begin{aligned} & F(x_1,x_2,...,x_m) \\ =& P(X_1\leq x_1, X_2\leq x_2,...,X_m \leq x_m), \ \ m\in \mathbb N . \end{aligned}\] 有遍历性的严平稳序列被称作严平稳遍历序列.

严平稳遍历的严格定义依赖于用测度论叙述的保测变换、不变集、不变随机变量概念, 详见王梓坤《随机过程通论》第197–204页(北京师范大学出版社,1996)。

定理4.1 (遍历定理) 如果 \(\{X_t\}\)是严平稳遍历序列, 则有如下的结果:

  1. 强大数律: 如果 \(E|X_1|<\infty\)\[ \lim_{n\to \infty}\frac1n\sum_{t=1}^n X_t= EX_1, a.s.. \]

  2. 对任何多元函数 \(\phi(x_1,x_2,\cdots,x_m)\), \[ Y_t=\phi(X_{t+1},X_{t+2},\cdots,X_{t+m}) \] 是严平稳遍历序列.

定理4.2 如果\(\{\varepsilon_t\}\)是独立同分布的\(\text{WN}(0,\sigma^2)\), 实数列\(\{a_j\}\)平方可和, 则线性平稳序列 \[ X_t=\sum_{j=-\infty}^\infty a_j\varepsilon_{t-j}, \ \ t\in \mathbb Z, \] 是严平稳遍历的。

这说明在独立白噪声条件下线性平稳列满足严平稳遍历条件。 所以, 在许多教材中线性平稳列都假定独立白噪声条件。

例4.1 对严平稳序列\(\{X_t\}\) , 定义严平稳序列 \[\begin{aligned} Y_t =& I[X(t+t_1)\leq y_1, X(t+t_2)\leq y_2,\cdots,X(t+t_m)\leq y_m], \\ & t\in \mathbb Z. \end{aligned}\]

这里\(I[A]\)是事件\(A\)的示性函数. 如果\(\{X_t\}\)是遍历的, 由定理4.1的第2条知道\(\{Y_t\}\)也是遍历的, 并且有界. 利用定理4.1的第1条(强大数律)得到 \[\begin{aligned} &\lim_{n\to \infty}\frac1n\sum_{t=1}^n Y_t = EY_0\\ =&P(X(t_1)\leq y_1, X(t_2)\leq y_2,\cdots,X(t_m)\leq y_m), \ a.s.. \end{aligned}\]

这个例子说明, 在几乎必然的意义下, \(\{X_t\}\)的每一次观测都可以决定\(\{X_t\}\)的有限维分布.

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4.3 附录:随机过程知识

随机过程的分布由其所有有限维分布决定, 有限维分布族对次序交换保持一致, 对取边缘分布保持一致, 称为Kolmogorov相容性条件。

定理4.3 (存在性定理) 给定足标集和满足Kolmogorov相容性条件的有限维分布函数族, 必存在相应分布族的随机过程。

构造不唯一。 见王梓坤《随机过程论》。

定理4.4 (正态过程存在性定理) \(T\)为足标集, \(a_t\)为实值函数, \(\sigma_{s,t}\)为二元实值函数,对称,非负定, 则必存在正态过程\(\{\xi_t, t \in T\}\)使其均值函数为\(a_t\), 自协方差函数为\(\sigma_{s,t}\)

(谢衷洁 1990)P5。

复值正态分布: 实部和虚部为联合正态分布。

References

谢衷洁. 1990. 时间序列分析. 北京大学出版社,.