说明
课程内容
I 时间序列概念与性质
1
时间序列概念
1.1
时间序列分解
1.1.1
例子: 居民用煤消耗季度值
1.1.2
decompose()
函数
1.1.3
stl()
函数
1.1.4
StructTS()
函数
1.2
平稳序列
1.2.1
平稳序列及其自协方差函数
1.2.2
白噪声
1.2.3
正交平稳序列
1.3
附录：补充知识
2
线性平稳序列和线性滤波
2.1
有限运动平均
2.2
线性平稳序列
2.2.1
期望与极限交换次序
2.2.2
线性序列定义
2.2.3
线性序列的a.s.收敛性
2.2.4
线性序列的L1收敛性
2.2.5
线性序列的平稳性
2.2.6
线性序列的L2收敛性
2.2.7
线性序列的自协方差函数收敛性
2.3
时间序列的线性滤波
2.4
附录：补充证明
2.4.1
不独立的白噪声示例
2.4.2
三角级数求和的简化推导
3
正态时间序列和随机变量的收敛性
3.1
随机向量的数学期望和方差
3.2
多元正态分布
3.3
正态平稳序列
3.4
概率极限
3.4.1
一些反例
3.5
补充
3.5.1
联合密度
3.5.2
二元正态分布
3.5.3
正态条件分布
3.5.4
多元正态分布等价定义证明
4
严平稳序列及其遍历性
4.1
严平稳
4.2
遍历性
4.3
附录：随机过程知识
5
Hilbert空间中的平稳序列
5.1
Hilbert空间
5.1.1
平稳列导出的线性空间
5.1.2
将线性空间推广为Hilbert空间
5.1.3
内积的连续性
5.1.4
平稳列的有限维欧式空间
5.1.5
\(L^2\)
意义下的线性序列
5.2
复值时间序列
5.3
附录：补充知识
5.3.1
绝对可和系数的线性序列与L2的线性序列
5.3.2
随机过程的均方连续性
6
时间序列的谱
6.1
声音频谱演示
6.2
平稳序列的谱
6.2.1
平稳序列的谱函数
6.2.2
白噪声列的谱密度
6.2.3
线性平稳列的谱密度
6.2.4
两正交序列的谱
6.2.5
线性滤波与谱
6.2.6
采样定理
6.3
离散谱序列及其周期性
6.3.1
简单的离散谱序列
6.3.2
离散谱
6.3.3
离散谱序列
6.4
附录：用R程序处理声音
6.4.1
tuneR包
6.4.2
sound包
6.4.3
seewave包
6.4.4
演示程序
6.5
谱函数和谱密度补充
6.6
给定谱密度后的时间序列模拟生成
II ARMA模型
7
推移算子和常系数差分方程
7.1
推移算子
7.2
常系数齐次线性差分方程
7.2.1
差分方程基础解
7.2.2
齐次线性差分方程的通解
7.2.3
通解的收敛性
7.3
非齐次线性差分方程
7.4
附录：复变函数复习
7.5
附录：用差分方程给出Fibonacci数列通解
7.6
附录：推移算子补充
7.7
附录：常系数齐次线性微分方程
7.8
附录：R中多项式求根
8
自回归模型及其平稳性
8.1
特例: AR(1)
8.1.1
AR(1)的差分方程及平稳解
8.2
一般AR(
\(p\)
)
8.3
平稳解和通解
8.3.1
AR(
\(p\)
)的平稳解
8.3.2
Wold系数的递推公式
8.3.3
通解与平稳解的关系
8.3.4
AR序列的模拟
9
AR(
\(p\)
)序列的谱密度和Yule-Walker方程
9.1
AR(
\(p\)
)序列的谱密度
9.1.1
AR(
\(p\)
)序列的自协方差
9.1.2
AR(
\(p\)
)的谱密度
9.1.3
谱密度的自协方差函数反演公式
9.2
Yule-Walker方程
9.2.1
白噪声列与平稳解的关系
9.2.2
AR序列的等价定义
9.2.3
Yule-Walker方程
9.3
自协方差函数的周期性
9.4
自协方差函数的正定性
9.5
时间序列的可完全预测性
10
平稳序列的偏相关系数和Levinson递推公式
10.1
最优线性预测
10.1.1
有限个随机变量的最优线性预测
10.1.2
平稳列的最优线性预测
10.2
最小相位性
10.3
Levinson递推公式
10.3.1
Levinson公式的记忆方法
10.3.2
Levinson递推的计算顺序
10.4
偏相关系数
10.5
本节内容的应用意义
10.6
附录：最优线性预测的Hilbert空间投影意义
10.7
附录：最小相位性定理证明
10.8
附录：AR序列的等价定义
10.9
附录：离散谱序列的预测
10.9.1
直接求解Y-W方程
10.9.2
用Levinson递推求解Y-W方程
10.10
附录：Y-W方程反解讨论
11
AR模型举例
11.1
AR(1)模型
11.2
AR(2)模型
11.2.1
稳定域和允许域
11.2.2
特征根与系数关系
11.2.3
AR(2)实特征根时的表现
11.2.4
AR(2)虚特征根时的表现
11.3
附录：AR模型有关的一些R函数
11.3.1
模拟和基本统计
11.3.2
特征多项式的根
11.3.3
模型的理论谱密度图
11.3.4
AR模型估计
12
滑动平均模型
12.1
模型引入
12.2
MA(
\(q\)
)模型和MA(
\(q\)
)序列
12.3
MA的特征
12.4
MA序列的自协方差函数
12.5
MA序列的谱密度
12.6
MA(
\(q\)
)序列的充要条件
12.7
最小序列
12.8
MA(
\(q\)
)系数的递推计算
12.9
MA(
\(q\)
)模型举例
12.9.1
MA(1)
12.9.2
MA(1)实例
12.9.3
MA(2)
12.9.4
MA(2)实例
12.10
附录：充要条件
13
自回归滑动平均模型
13.1
ARMA(
\(p,q\)
)模型及其平稳解
13.2
ARMA模型的模拟生成
13.3
ARMA(
\(p,q\)
)序列的自协方差函数
13.3.1
用Wold系数表示
13.3.2
Wold系数递推公式
13.4
ARMA(
\(p,q\)
)模型的可识别性
13.4.1
ARMA序列的Y-W方程
13.4.2
ARMA模型中AR部分的参数求解
13.4.3
ARMA模型的一个充分条件
13.5
ARMA序列的谱密度
13.6
可逆ARMA序列
13.7
ARMA模型例子
13.7.1
ARMA(4,2)例子
13.7.2
ARMA(2,2)例子
13.8
附录：ARAM(1,1)例子
13.9
附录：ARMA模型的谱条件
13.10
附录：ARMA模型与Hilbert空间
14
广义ARMA模型和ARIMA模型介绍
14.1
广义ARMA模型
14.2
ARIMA
\((p,d,q)\)
模型
14.3
单位根过程
14.4
分数差分ARFIMA(
\(p,d,q\)
)模型
14.5
附录：ARIMA不平稳证明
III 模型估计
15
均值的估计
15.1
相合性
15.2
中心极限定理
15.3
收敛速度
15.4
\(\bar X_N\)
的模拟计算
16
自协方差函数的估计
16.1
自协方差估计公式及正定性
16.2
\(\hat\gamma_k\)
的相合性
16.3
\(\hat\gamma_k\)
的渐近分布
16.3.1
MA(
\(q\)
)序列的自相关截尾的检验
16.3.2
谱密度平方可积的充要条件
16.3.3
\(\psi_k\)
快速收敛条件下的中心极限定理
16.3.4
关于独立同分布列的中心极限定理
16.4
模拟计算
16.5
附录：均值和自协方差估计的强大数律
17
白噪声检验
17.1
白噪声的
\(\chi^2\)
检验
17.1.1
白噪声检验的模拟比较
17.2
样本自相关置信区间检验法
17.3
白噪声卡方检验的自由度调整
18
概率极限
18.1
几乎必然收敛
18.2
依概率收敛
18.3
依分布收敛
18.4
概率母函数
18.5
矩母函数
18.6
特征函数
18.7
中心极限定理
18.8
依概率有界
18.9
Delta方法
18.10
随机向量的极限
19
AR模型的参数估计
19.1
依概率有界
19.2
Yule-Walker估计
19.3
最小二乘估计
19.3.1
估计方程
19.3.2
LS估计与YW估计的比较
19.4
最大似然估计
19.5
AR模型定阶
19.5.1
样本偏相关系数
19.5.2
偏相关系数的检验
19.5.3
AIC和BIC定阶
19.6
模型拟合检验
19.7
AR谱密度估计
19.8
附录：问题
20
MA模型的参数估计
20.1
MA(1)模型的参数估计
20.2
MA模型的矩估计及其计算
20.2.1
矩估计法的R程序
20.3
MA模型参数估计的逆相关函数法
20.4
MA模型参数估计的新息方法
20.5
MA模型的定阶方法
20.6
MA模型的拟合检验
20.7
MA谱密度估计
21
ARMA模型的参数估计
21.1
ARMA(
\(p,q\)
)模型的矩估计方法
21.2
ARMA(
\(p,q\)
)模型的自回归逼近法
21.3
正态时间序列的似然函数
21.4
ARMA模型的最大似然估计
21.4.1
似然函数
21.4.2
最大似然估计的计算
21.4.3
最大似然估计与最小二乘估计
21.4.4
最大似然估计的极限分布
21.5
例子：ARMA(4,2)的估计与模拟分析
21.6
ARMA模型的检验
21.7
ARMA模型的定阶方法
21.8
ARMA模型的谱密度估计
21.8.1
谱密度估计示例
IV 预测
22
最佳线性预测的基本性质
22.1
最佳线性预测
22.1.1
性质1
22.1.2
性质2
22.1.3
性质3
22.1.4
性质4
22.1.5
性质5
22.1.6
性质6
22.1.7
性质7
22.1.8
性质8
22.1.9
性质9(非零均值的最佳线性预测的意义)
22.1.10
性质10
22.1.11
性质总结
22.1.12
例子
22.2
Hilbert空间中的投影
22.2.1
投影存在唯一的证明
22.2.2
投影的垂直性(正交性)
22.2.3
最佳线性预报与投影的等价性
22.2.4
投影算子的性质
22.3
最佳预测
22.3.1
例子
22.4
附录：补充
22.4.1
正交直和投影
23
非决定性平稳序列及其Wold表示
23.1
非决定性平稳序列
23.1.1
最佳线性预测均方误差的极限
23.1.2
决定性与非决定性的严格定义
23.1.3
可完全线性预测
23.1.4
离散谱序列
23.1.5
纯非决定性
23.2
Wold表示定理
23.2.1
线性闭包
23.2.2
无穷历史的线性预测
23.2.3
无穷历史最优线性预测方差
23.2.4
Wold表示定理
23.3
Kolmogorov公式
23.4
最佳预测和最佳线性预测相等的条件
23.5
附录：补充
23.5.1
关于预测的分类
23.5.2
正交直和分解
23.5.3
单边线性序列与Wold表示
23.5.4
离散谱序列可完全线性预测的直接证明
24
时间序列的递推预测
24.1
一般时间序列的递推预测
24.1.1
递推预测的正交分解
24.1.2
递推预测定理
24.1.3
多步预报问题
24.2
正态时间序列的区间预测
24.3
平稳序列的递推预测
25
ARMA序列的递推预测
25.1
AR序列的预测
25.1.1
AR序列的一步预测
25.1.2
AR序列的多步预测
25.1.3
例：AR(1)预测
25.1.4
例：降雨量预测
25.2
MA序列的预测
25.3
ARMA序列的预测
25.3.1
预报例子
25.4
ARMA序列多步预测
25.5
ARIMA序列预测
25.6
附录：ARMA预报的补充
25.6.1
思考：AR序列有限历史最佳线性预测多步预测的均方误差
25.6.2
MA模型的新息问题
V 谱密度估计
26
平稳序列谱表示
26.1
随机积分定义
26.1.1
随机测度
26.1.2
平方可积函数空间
26.1.3
随机积分定义的步骤
26.1.4
对阶梯函数定义随机积分
26.1.5
随机积分定义推广到一般函数
26.2
随机积分的性质
26.3
平稳序列的谱表示
26.4
线性平稳列的谱表示
26.5
离散谱序列的特征
26.6
离散谱序列的随机测度
26.7
谱密度的频率特征
26.8
平稳序列的分解
27
谱估计
27.1
平稳序列的周期图
27.2
加窗谱估计
27.2.1
加时窗的谱估计
27.2.2
加谱窗的谱估计
27.2.3
常用谱窗和时窗
27.3
加窗谱估计的比较
27.3.1
方差的比较
27.3.2
分辨率的比较
VI 多元时间序列分析
28
多元平稳序列介绍
28.1
多维平稳序列的概念
28.2
多维平稳序列的均值和自协方差函数的估计
28.2.1
均值的估计
28.2.2
自协方差函数的估计
28.3
VAR模型
28.3.1
多维AR序列的自协方差函数
28.3.2
多维AR序列的参数估计
28.3.3
VAR的预测
28.4
多维平稳序列的谱分析
28.4.1
多维平稳序列的谱函数
28.4.2
多维平稳序列的谱表示
28.4.3
谱密度矩阵的估计
28.5
附录：补充
28.5.1
多维ARMA不可辨识的例子
附录
VII 附录
A
时间序列与R
A.1
本课程的软件需求
A.2
基本R使用
A.2.1
四则运算
A.2.2
字符串
A.2.3
向量
A.2.4
矩阵
A.2.5
数据框
A.2.6
扩展包
A.2.7
日期和日期时间
A.2.8
读入时间序列数据
A.3
生成时间序列数据
A.4
时间序列图形
A.5
时间序列基本统计
A.6
ARIMA模型有关
A.7
白噪声检验
A.8
单位根检验
B
数学分析
B.1
极限
B.2
微积分
B.3
数值级数
B.4
函数项级数
B.5
幂级数
B.6
傅立叶级数
B.7
参变积分
B.8
向量和矩阵的微分
B.8.1
关于向量的微分
B.8.2
关于矩阵的微分
C
概率论
C.1
测度与概率
C.2
矩不等式
C.2.1
高阶矩存在则低阶矩存在
C.2.2
\(C_r\)
不等式
C.2.3
Hölder不等式
C.2.4
Minkowski不等式
C.2.5
Jensen不等式
C.2.6
\(\log E|X|^p\)
是
\(p\)
的凸函数
C.3
可测函数极限
C.4
多元期望和方差阵的性质
D
线性代数
D.1
行列式
D.2
线性空间和内积空间
E
实变函数和泛函分析
E.1
集合运算
E.2
序关系
E.3
勒贝格测度
E.4
勒贝格可测函数
E.5
可测函数极限
E.6
勒贝格积分
E.7
极限与积分的交换
E.8
重积分与累次积分
E.9
\(L^p\)
空间
E.9.1
定义
E.9.2
距离空间
E.9.3
收敛之间的关系
E.9.4
可分性
E.10
\(L^2\)
内积空间
E.10.1
定义
E.10.2
性质
E.11
卷积和傅立叶变换
E.11.1
复值函数
E.11.2
卷积
E.11.3
傅立叶变换
E.12
距离空间
E.12.1
定义
E.12.2
列紧性和可分性
E.12.3
连续映射
E.13
Hilbert空间
E.13.1
定义
E.13.2
正交
E.13.3
投影
E.13.4
Riesz表示定理
E.14
Hilbert空间上的算子
E.14.1
连续和有界线性算子
E.14.2
同构
E.14.3
可分Hilbert空间
E.14.4
共轭算子
E.14.5
投影算子性质
F
测试
References
编著：李东风
应用时间序列分析备课笔记
F
测试
这一页面存在说明本备课笔记还是草稿状态！
§
○○○○○○