7 推移算子和常系数差分方程

7.1 推移算子

对任何时间序列$\{X_t\}$和无穷级数 \[ \psi(z)= \sum_{j=-\infty}^\infty b_j z^j \] 只要级数 \[ \sum_{j=-\infty}^\infty b_j X_{t-j} \] 在某种意义下收敛(例如a.s.收敛, 依概率收敛, 均方收敛), 就定义 \[\begin{align} \psi(\mathscr B)=& \sum_{j=-\infty}^{\infty}b_j\mathscr B^j, \\ \psi(\mathscr B) X_t =& \sum_{j=-\infty}^\infty b_j \mathscr B^j X_{t}= \sum_{j=-\infty}^\infty b_j X_{t-j}. \tag{7.1} \end{align}\] 并且称$\mathscr B$是时间$t$的向后推移算子, 简称为推移算子.

显然$\mathscr B X_t = X_{t-1}$. 如果$\{ X_t \}$是平稳列， $\mathscr B$确实是Hilbert空间$\bar L^2(X)$上的一个算子，也可以扩充到$L^2$空间上。这里我们只给出它的简单性质。

(1) 对和$t$无关的随机变量或者常数$Y$, 有$\mathscr B Y =Y$.
(2) 对常数$a$，$\mathscr B^{n}( a X_t)=a \mathscr B^{n} X_t =a X_{t-n}$.
(3) $\mathscr B^{n+m} X_t =\mathscr B^n(\mathscr B^m X_t)=X_{t-n-m}$.
(4) 对多项式 $\psi(z)=\sum_{j=0}^{p}c_jz^j$, 有 $\psi(\mathscr B) X_t=\sum_{j=0}^{p}c_j X_{t-j}$.
(5) （交换律）对于多项式 $\psi(z)=\sum_{j=0}^{p}c_jz^j$ 和 $\phi(z)= \sum_{j=0}^{q}d_jz^j$ 的乘积$A(z)=\psi(z) \phi(z)$, 有 \[A(\mathscr B)X_t=\psi(\mathscr B) [\phi(\mathscr B)X_t] = \phi (\mathscr B) [\psi(\mathscr B)X_t].\]
(6) 对于时间序列 $\{X_t\}$, $\{Y_t\}$, 多项式 $\psi(z)=\sum_{j=0}^{p}c_jz^j$, 和随机变量$U,V,W$, 有 \[\psi(\mathscr B)(UX_t+VY_t+W)=U\psi(\mathscr B)X_t+V\psi(\mathscr B)Y_t + W\psi(1).\]

性质证明:

(1) 对$t \in \mathbb Z$, 定义$X_t = Y$, $\forall t$，对$j \neq 1$定义$b_j = 0$。由(7.1)得 \[ \mathscr B Y = \mathscr B X_t = \mathscr B X_{t-1} = Y \]

(2) 令$Y_t = a X_t$，由(7.1)得到 \[ \mathscr B^n (a X_t) = \mathscr B^n Y_{t} = Y_{t-n} = a X_{t-n} \]

(3) \[ \mathscr B^{n}[\mathscr B^m X_t] = \mathscr B^n X_{t-m} = X_{t-m-n} = \mathscr B^{n+m} X_t \]

(4) 对$j<0$和$j>p$取$b_j=0$，由(7.1)即可得 \[ \psi(\mathscr B) X_t = \sum_{j=0}^n b_j X_{t-j} \]

(5) 对于多项式 $\psi(z)=\sum_{j=0}^{p}c_jz^j$ 和$\phi(z)= \sum_{j=0}^{q}d_jz^j$ 的乘积$A(z)=\psi(z) \phi(z)$, 记 \[ Z_t = \phi(\mathscr B) X_t = \sum_{j=0}^q d_j X_{t-j} \] 则 \[\begin{aligned} \psi(\mathscr B) [\phi(\mathscr B) X_t] =& \psi(\mathscr B) Z_t = \sum_{k=0}^p c_k Z_{t-k} \\ =& \sum_{k=0}^p c_k \sum_{j=0}^k d_j X_{t-k-j} \\ =& \sum_{k=0}^p \sum_{j=0}^k c_k d_j X_{t-k-j} \\ =& A(\mathscr B) X_t \end{aligned}\] 同理可证$A(\mathscr B) X_t = \psi(\mathscr B)[\phi(\mathscr B) X_t]$。

(6) 略。

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如果$\sum_{j=-\infty}^\infty |\psi_j| < \infty$， $\{ X_t \}$为平稳列，则 \[ \Psi(\mathscr B) X_t = \sum_{j=-\infty}^\infty \psi_j X_{t-j} \] 是平稳列$\{ X_t \}$的线性滤波， $\{ \psi_j \}$为一个保时线性滤波器， $\Psi(\mathscr B) X_t$在a.s.和均方意义下收敛，见2.3和5.1.5。这时性质(5)(交换律)和性质(6)(线性性质)仍成立。

考虑无穷阶推移算子多项式的交换律。有如下定理：

定理7.1 (线性滤波的交换率) 设$\{a_k\}$, $\{b_j\}$为两个绝对可和的实数列，则实数列 \[\begin{aligned} d_m = \sum_{j=-\infty}^\infty a_j b_{m-j} \end{aligned}\] 绝对可和，记 \[\begin{aligned} A(z)=\sum_k a_k z^k,\quad B(z)=\sum_j b_j z^j,\quad D(z)=\sum_m d_m z^m \end{aligned}\]

(1) 若$\{y_t\}$为有界的数列：$|y_t|\leq M, t\in \mathbb Z$，则 \[\begin{aligned} A(\mathscr B)[B(\mathscr B) y_t] = B(\mathscr B)[A(\mathscr B) y_t] = D(\mathscr B) y_t \end{aligned}\]

(2) 若$\{X_t\}$为平稳列，则 \[\begin{aligned} A(\mathscr B)[B(\mathscr B) X_t] = B(\mathscr B)[A(\mathscr B) X_t] = D(\mathscr B) X_t, \ \text{a.s. 和} L^2 . \end{aligned}\]

证明上述的$\{a_k\}$, $\{b_j\}$绝对可和保证了$\{d_m\}$也绝对可和： \[\begin{aligned} \sum_{m=-\infty}^\infty |d_m| \leq& \sum_{m=-\infty}^\infty \sum_{j=-\infty}^\infty |a_j| |b_{m-j}| \\ =& \sum_{j=-\infty}^\infty \sum_{m=-\infty}^\infty |a_j| |b_{m-j}| \\ =& \sum_{j=-\infty}^\infty |a_j| \cdot \sum_{m=-\infty}^\infty |b_{m-j}| \\ =& \sum_{j=-\infty}^\infty |a_j| \cdot \sum_{k=-\infty}^\infty |b_k| < \infty \end{aligned}\]

(1) \[\begin{aligned} &\sum_k \sum_j |a_k| |b_j| |y_{t-k-j}| \\ \leq& M(\sum_k |a_k|)(\sum_j |b_j|) < \infty \end{aligned}\tag{*1} \] 所以 \[\begin{aligned} & A(\mathscr B)B(\mathscr B) y_t = \sum_k a_k \sum_j b_j y_{t-k-j} \\ =& \sum_k \sum_j a_k b_j y_{t-k-j} \\ =& \sum_k \sum_m a_k b_{m-k} y_{t-m} \quad \text{(令$m=k+j,\ j=m-k$)} \\ =& \sum_m \sum_k a_k b_{m-k} y_{t-m} \quad \text{(无穷级数次序交换用到(*1)式)} \\ =& \sum_m d_m y_{t-m} \end{aligned}\] 同样可证$B(\mathscr B)A(\mathscr B) y_t = D(\mathscr B)y_t$。

(2) 由推论2.1，因为 \[\begin{aligned} \sum_k \sum_j |a_k| |b_j| E |X_{t-k-j}| \leq \sqrt{\gamma_0} (\sum_k |a_k|) (\sum_j |b_j|) < \infty, \end{aligned}\] 由单调收敛定理有 \[\begin{aligned} E \; \sum_k \sum_j |a_k| |b_j| |X_{t-k-j}| \leq \sqrt{\gamma_0} (\sum_k |a_k|) (\sum_j |b_j|) < \infty, \end{aligned}\]

所以$A(\mathscr B)[B(\mathscr B) X_t]$, $B(\mathscr B)[A(\mathscr B) X_t]$, $D(\mathscr B) X_t$都a.s.绝对收敛，所以两重级数可以交换次序，并且可以用换元法证明都等于$D(\mathscr B) X_t$。

类似可证明$A(\mathscr B)[B(\mathscr B) X_t]$, $B(\mathscr B)[A(\mathscr B) X_t]$, $D(\mathscr B) X_t$都$L^2$收敛。当同时a.s.收敛和$L^2$收敛时，极限a.s.相等。

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注：若所有$a_k=0(k<0)$, $b_j=0(j<0)$，则 \[\begin{aligned} d_m = \sum_{j=0}^\infty a_j b_{m-j} \end{aligned}\] 这时$A(z)$, $B(z)$，$D(z)$在$|z| \leq 1$绝对一致收敛。

如果不满足这样的条件，若$a_k, k<0$和$b_j, j<0$满足一些条件， $A(z)$、$B(z)$、$D(z)$可以在包含单位圆的圆环内解析。

比如, 如果存在$0<\nu<1$使得 \[\begin{aligned} a_k = o(\nu^{-k}), \quad k<0 \end{aligned}\] 则取$\nu < \nu_1$，对$\nu_1 \leq |z| \leq 1$有 \[\begin{aligned} & \sum_{k=-\infty}^0 |a_k z^k | = \sum_{k=-\infty}^0 |a_k| \cdot |z|^k \\ \leq& \sum_{k=-\infty}^0 |a_k| \cdot \nu_1^k \leq \sum_{k=-\infty}^0 c_1 \nu_{-k} \cdot \nu_1^k \\ =& c_1 \sum_{k=-\infty}^0 c_1 \left(\frac{\nu}{\nu_1} \right)^{-k} < \infty \end{aligned}\] 所以，$A(z)$, $B(z)$, $D(z)$在双边的时候也可以是有意义的。定理7.1的证明不需要$A(z)$、$B(z)$、$D(z)$的级数收敛性。

考虑有限阶推移算子多项式的逆算子。有如下定理：

定理7.2 (线性滤波的逆) 设实系数多项式$A(z)=\sum_{j=0}^p \phi_j z^j$满足最小相位条件: \[\begin{aligned} A(z) \neq 0, \quad \forall |z| \leq 1 \end{aligned}\] 则存在$\delta>0$使 \[\begin{aligned} A^{-1}(z) \stackrel{\triangle}{=} \frac{1}{A(z)} = \sum_{j=0}^\infty \psi_j z^j, \quad |z| \leq 1 + \delta \end{aligned}\] 其中$\sum_{j=0}^\infty |\psi_j| < \infty$，且有

(1) 若$\{y_t\}$为有界数列，则 \[\begin{aligned} y_t = A^{-1}(\mathscr B) A(\mathscr B) y_t = A(\mathscr B) A^{-1}(\mathscr B) y_t \end{aligned}\]

(2) 若$\{X_t\}$为平稳列，则 \[\begin{aligned} X_t = A^{-1}(\mathscr B) A(\mathscr B) X_t = A(\mathscr B) A^{-1}(\mathscr B) X_t, \quad \text{a.s.} \end{aligned}\]

证明: 设多项式$A(z)$的根为$z_1, \dots, z_p$，取 \[\begin{aligned} 1 < 1 + \delta < \min_{j} |z_j| \end{aligned}\] 则$A(z)$在$|z|\leq 1+\delta$无零点， $A^{-1}(z)$在$|z|\leq 1+\delta$解析，可以展开为Taylor级数 \[\begin{aligned} A^{-1}(z) = \sum_{j=0}^\infty \psi_j z^j, \quad |z| \leq 1+\delta \end{aligned}\]

由于$\sum_{j=0}^\infty \psi_j (1+\delta)^j$收敛所以 $\psi_j (1+\delta)^j \to 0$当$j\to \infty$，即$\psi_j = o((1+\delta)^{-j})\ (j\to \infty)$。由此知$\{\psi_j\}$绝对可和。定义$\phi_j=0$, 对 $j<0$或$j>p$，定义$\psi_j=0$对$j<0$，注意到 \[\begin{aligned} A(z) A^{-1}(z) = 1 \end{aligned}\] 令$d_0 = 1, d_m = 0$对$m \neq 0$，由定理7.1可得所需结论。

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上面的定理也可以推广到双边无穷阶滤波的情形：

定理7.3 (双边线性滤波的逆) 设实系数多项式$A(z)=\sum_{j=-\infty}^\infty a_j z^j$满足: \[\begin{align} A(z) \neq 0, \quad \forall \alpha < |z| < \beta \tag{7.2} \end{align}\] （其中$0 < \alpha < 1 < \beta$）则存在$\{ \psi_j \}$使得$\psi_j = o(\rho^{-|j|})$, $\rho>1$, 且 \[\begin{aligned} A^{-1}(z) \stackrel{\triangle}{=} \frac{1}{A(z)} = \sum_{j=-\infty}^\infty \psi_j z^j, \quad \alpha < |z| < \beta \end{aligned}\] 收敛。有

(1) 若$\{y_t\}$为有界数列，则 \[\begin{aligned} y_t = A^{-1}(\mathscr B) A(\mathscr B) y_t = A(\mathscr B) A^{-1}(\mathscr B) y_t \end{aligned}\]

(2) 若$\{X_t\}$为平稳列，则 \[\begin{aligned} X_t = A^{-1}(\mathscr B) A(\mathscr B) X_t = A(\mathscr B) A^{-1}(\mathscr B) X_t, \quad \text{a.s.} \end{aligned}\]

注意条件(7.2)保证了系数$\{ a_j \}$绝对可和。证明类似。

7.2 常系数齐次线性差分方程

给定 $p$个实数 $a_1,a_2,\cdots,a_p$, $a_p\neq 0$, 我们称 \[\begin{align} X_t-[a_1 X_{t-1}+ a_2 X_{t-2}+\dots+a_p X_{t-p}]=0, \ \ t\in \mathbb Z, \tag{7.3} \end{align}\] 为$p$阶齐次常系数线性差分方程, 简称为齐次差分方程. 满足(7.3)的实数列(或复数列)$\{X_t\}$称为(7.3)的解. 满足(7.3)的实值(或复值)时间序列$\{X_t\}$也称为(7.3)的解.

(7.3)的解$\{X_t\}$ 可以由它的$p$个初值$X_0,X_1,\cdots,X_{p-1}$逐步递推得到: \[\begin{aligned} &X_t=[a_1 X_{t-1}+ a_2 X_{t-2}+\dots+a_p X_{t-p}] , \ \ t \geq p, \\ &X_{t-p} = \frac{1}{a_p}[x_t - a_1 X_{t-1} - \dots - a_{p-1}X_{t-p+1} ], \ t-p<0 \end{aligned}\]

若初值是随机变量则递推得到的$\{X_t\}$是时间序列。

用推移算子把差分方程写成 \[\begin{align} A(\mathscr B)X_t = 0, \ t \in \mathbb Z, \text{ 其中}\ A(z)=1-\sum_{j=1}^p a_j z^j. \tag{7.4} \end{align}\]diff-lagop0103) \end{align} $A(z)$称为差分方程(1.2)的特征多项式。

解有线性性质: $\{X_t\}$, $\{Y_t\}$是解则 \[ \xi X_t + \eta Y_t \] 也是解。这样，差分方程只要有非零解，就有无穷多个解，下面找出方程的所有的线性独立的解。

7.2.1 差分方程基础解

根据代数基本定理，设实系数$p$次多项式$A(z)$有$k$ 个互不相同的零点$z_1,z_2,\cdots,z_k$, 其中 $z_j$是$r(j)$重零点， $\sum_{j=1}^k r(j) = p$。可以证明对每一$z_j$有 \[\begin{align} A(\mathscr B) t^l z_j^{-t}=0, \ l=0,1,\dots, r(j)-1 \tag{7.5} \end{align}\]

证明: \[\begin{aligned} A(z) =& \prod_{j=1}^k (1 - z_j^{-1} z)^{r(j)} \\ A(\mathscr B) =& \prod_{j=1}^k (1 - z_j^{-1} \mathscr B)^{r(j)} \end{aligned}\] 只要证明 \[\begin{align} (1 - z_j^{-1} \mathscr B)^{l+1} (t^l z_j^{-t}) = 0, \ l=0,1,\dots,r(j)-1 \tag{7.6} \end{align}\] 用归纳法。$l=0$时 \[\begin{aligned} (1 - z_j^{-1} \mathscr B) z_j^{-t} = z_j^{-t} - z_j^{-1} z_j^{-(t-1)} = 0 \end{aligned}\] 设对$0 \leq l \leq m-1$已经证明 \[\begin{aligned} (1- z_j^{-1} \mathscr B)^{l+1} t^l z_j^{-t} = 0 \end{aligned}\] 则对$l=m$有 \[\begin{aligned} & (1 - z_j^{-1}\mathscr B)^{m+1} t^m z_j^{-t} \\ =& (1 - z_j^{-1}\mathscr B)^m (1 - z_j^{-1}\mathscr B) \left( t^m z_j^{-t} \right) \\ =& (1 - z_j^{-1}\mathscr B)^m \left( t^m z_j^{-t} - z_j^{-1} (t-1)^m z_j^{-(t-1)} \right) \\ =& (1 - z_j^{-1}\mathscr B)^m \left(t^m - (t-1)^m \right) z_j^{-t} \\ =& (1 - z_j^{-1}\mathscr B)^m \left( c_1 t^{m-1} + c_2 t^{m-2} + \dots + c_m \right) z_j^{-t} \\ =& 0 \end{aligned}\] 于是(7.6)成立，从而(7.5)成立。

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这样的基础解一共有$p$个，组成了$p$个线性独立的解。把基础解线性组合可以得到齐次线性差分方程的通解。通解是方程的含有可取任意值的系数的解，而且方程的每个解都包含在通解中。

7.2.2 齐次线性差分方程的通解

定理7.4 设$A(z)$有$k$个互不相同的零点$z_1,z_2,\dots,z_k$, 其中 $z_j$是$r(j)$重零点. 则 \[\begin{align} t^l z_j^{-t}, \ \ l=0,1,\cdots,r(j)-1, \ \ j=1,2,\cdots,k \tag{7.7} \end{align}\] 是(7.3)的 $p$个解; 而且, (7.3)的任何解$\{X_t\}$都可以写成这$p$个解的线性组合: \[\begin{align} X_t=\sum_{j=1}^k\sum_{l=0}^{r(j)-1} U_{l,j} t^l z_j^{-t}, \ \ t\in \mathbb Z, \tag{7.8} \end{align}\] 其中的随机变量$U_{l,j}$可以由$\{X_t\}$的初值$X_0,X_1,\cdots,X_{p-1}$惟一决定. (7.8)称为齐次线性差分方程(7.3)的通解。

此定理关于时间序列叙述，实际上对差分方程的复数或实数列解也是成立的。

证明见(Brockwell and Davis 1987)。

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(7.8)中$z_j$可以是复数。记 \[\begin{aligned} U_{l,j} =& V_{l,j} e^{i\theta_{l,j}}, \quad z_j = \rho_j e^{i\lambda_j} , \end{aligned}\] 则 \[\begin{aligned} \text{Re}\left( U_{l,j} t^l z_j^{-t} \right) =& \text{Re} \left( V_{l,j} t^l \rho_j^{-t} e^{-i(\lambda_j t - \theta_{l,j})} \right) \\ =& V_{l,j} t^l \rho_j^{-t} \cos(\lambda_j t - \theta_{l,j}) , \end{aligned}\]

差分方程(7.3)的实值解可以表示为 \[\begin{aligned} \sum_{j=1}^k \sum_{l=0}^{r(j)-1} V_{l,j} t^l \rho_j^{-t} \cos(\lambda_j t - \theta_j), \quad t \in \mathbb Z \end{aligned}\] $\{V_{l,j}, \theta_{l,j}\}$可以由初值$X_0, X_1, \dots, X_{p-1}$ 唯一决定。

7.2.3 通解的收敛性

如果差分方程的特征多项式$A(z)$的根都在单位圆外: $|z_j| > 1, \quad j=1,2,\dots,k$, 或$A(z) \neq 0, \quad \forall |z| \leq 1$, 取$1 < \alpha < \min\{|z_j|: j=1,\dots,k\}$，则 \[\begin{aligned} & t^l |z_j|^{-t} = t^l (\alpha / |z_j|)^t \alpha^{-t} = o(\alpha^{-t}) \end{aligned}\] 于是方程的任意解$X_t$满足 \[\begin{align} |X_t| = o(\alpha^{-t}) \quad a.s., \ t \to \infty \tag{7.9} \end{align}\] 称$X_t$以负指数阶收敛到零。

如果特征多项式有单位根$z_j = \exp(i\lambda_j)$，则方程有一个周期解 \[\begin{aligned} X_t = a \cos(\lambda_j t), \quad t \in \mathbb Z \end{aligned}\]

如果单位圆内有根$z_j = \rho_j \exp(i\lambda_j), \rho_j<1$，则方程有一个爆炸解（发散解） \[\begin{aligned} X_t = a \left(\frac{1}{\rho_j}\right)^t \cos(\lambda_j t), \quad t \in \mathbb Z . \end{aligned}\]

7.3 非齐次线性差分方程

设$\{Y_t\}$为实值时间序列。 \[\begin{align} A(\mathscr B) X_t = Y_t, \quad t \in \mathbb Z \tag{7.10} \end{align}\] 满足(7.10)的时间序列$\{X_t\}$称为(7.10)的解。

如果有(7.10)的某个解(称为特解)$\{X_t^{(0)}\}$，则通解可以写成 \[\begin{align} X_t = X_t^{(0)} + \sum_{j=1}^k \sum_{l=0}^{r(j)-1} U_{l,j} t^l z_j^{-t}, \quad t \in \mathbb Z . \tag{7.11} \end{align}\]

7.4 附录：复变函数复习

讨论推移算子多项式用到了一些复变函数知识，这里进行复习。

若复变函数$f(z)$在复平面中点$z_0$的某个邻域内的任一点都可导，称$f(z)$在$z_0$解析。若$f(z)$在区域$D$内每一点解析，称$f(z)$在$D$内解析，或称$f(z)$是$D$内一个解析函数。

区域$D$指$D$是连通开集。 $D$连通，即$D$中任意两个点之间都存在一条连续曲线。复平面中的连续曲线，就是从$[\alpha, \beta]$到复数域的一个连续映射，或平面上用参数方程表示的一条连续曲线。

若$f(z), g(z)$在区域$D$解析，则其和、差、积也在$D$内解析。若$g(z)\neq 0, z \in D$，则$f(z)/g(z)$也在$D$内解析。所以，多项式的倒数在不含分母零点的区域内解析。

把复变函数写成两个二元实函数： \[\begin{aligned} f(z) = f(x + iy) = u(x,y) + i v(x,y) \end{aligned}\] 则$f(z)$解析当且仅当$u(x,y)$和$v(x,y)$都可微且满足柯西-黎曼条件 \[\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \end{aligned}\] 这时 \[\begin{aligned} f'(z) =& \frac{\partial u}{\partial x} + i \frac{\partial v}{\partial x} \\ =& \frac{\partial v}{\partial y} - i \frac{\partial u}{\partial y} \end{aligned}\]

解析函数必无穷阶可微。

调和函数: 二元实函数$\varphi(x,y)$在区域$D$内有二阶连续偏导且 \[\begin{aligned} \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2} = 0. \end{aligned}\] 解析函数的实部和虚部都是调和函数。

幂级数: 复变级数 \[\begin{aligned} \sum_{k=0}^\infty a_n z^n \end{aligned}\] 称为幂级数。如果 \[\begin{aligned} R = \lim_{n\to\infty} \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|} \end{aligned}\] 存在，则

当$|z|<R$时，幂级数绝对收敛；
当$|z|>R$时，幂级数发散；
当$|z|=R$时，幂级数可能收敛也可能发散。

$R$称为幂级数的收敛半径，幂级数的收敛区域叫做收敛圆。

泰勒级数: 若函数$f(z)$在$|z-b|<R$内解析，则在此范围可以展开成如下泰勒级数 \[\begin{aligned} f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k (z-b)^k, \quad |z-b|<R \end{aligned}\] 系数为 \[\begin{aligned} a_n = \frac{1}{2\pi i}\oint_L \frac{f(\zeta)d\zeta}{(\zeta-b)^{n+1}} = \frac{f^{(n)}(b)}{n!} \end{aligned}\] 反之，这样的一个级数在$z_0$收敛则在$|z-b| < |z_0-b|$绝对收敛，解析。

罗朗级数: 含有负幂的级数 \[\begin{aligned} \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z - b)^n \end{aligned}\] 称为罗朗级数。其中$n \geq 0$部分称作解析部分, $n<0$部分称作主要部分。解析部分的收敛范围是$|z|<R_1$, 主要部分的收敛范围是$|z|>R_2$，如果这两个区域相交，则罗朗级数在 \[\begin{aligned} R_2 < |z| < R_1 \end{aligned}\] 内收敛。若函数$f(z)$在环域$R_2 < |z-b| < R_1$内部为解析，则$f(z)$在该环域内可展开为罗朗级数。

7.5 附录：用差分方程给出Fibonacci数列通解

Fibonacci数列定义为： \[ F_1 = F_2 = 1, \ F_n = F_{n-1} + F_{n-2}, n=2,3,\dots \]

这是一个齐次线性差分方程。特征多项式 \[ 1 - z - z^2 = 0, \] 两个特征根为 \[ z_1 = \frac{\sqrt{5}-1}{2}, \ z_2 = - \frac{\sqrt{5} + 1}{2} . \] 可求出通解，注意到黄金分割比 \[ \frac{ \sqrt{5} - 1}{2} = \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^{-1} \approx 0.618 \] 有 \[\begin{aligned} F_n =& c_1 (\frac{\sqrt{5}-1}{2})^{-n} + c_2 (- \frac{\sqrt{5} + 1}{2})^{-n} \\ =& c_1 (\frac{\sqrt{5} + 1}{2})^n + c_2 (-\frac{\sqrt{5}-1}{2})^n \end{aligned}\]

将$F_1=F_2=1$代入，就得到通项公式 \[ F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left[ \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right)^n \right] \]

程序验证：

fib <- function(n){
  gr <- (sqrt(5) - 1)/2
  grinv <- 1/gr
  1/sqrt(5)*(grinv^n - (-gr)^n)
}
fib(1:10)

##  [1]  1  1  2  3  5  8 13 21 34 55

关于Fibonacci数列，有级数性质 \[ \sum_{j=1}^{2n} F_j = \sum_{k=1}^n (F_{2k-1} + F_{2k}) = F_{2n+2} - F_2 . \]

7.6 附录：推移算子补充

设$\{X_t \}$为时间序列， $\{ a_j, j \in \mathbb Z \}$是绝对可和实数列。若$\sup_t E|X_t| < \infty$，则 \[\begin{aligned} \Psi(\mathscr B) X_t = \sum_{j=-\infty}^\infty a_j X_{t-j} \end{aligned}\] 以概率1收敛。如果进一步地$\sup_t E X_t^2 < \infty$则级数还均方收敛到同一极限。 (见(Brockwell and Davis 1987) §3.1)。当$\{ X_t \}$平稳时级数必以概率1收敛和均方收敛到同一极限，结果也是平稳序列。

7.7 附录：常系数齐次线性微分方程

设$a_0, a_1, \dots, a_p$为实常数， $a_p \neq 0$，微分方程 \[ a_0 y + a_1 y' + \dots + a_{p-1} y^{(p-1)} + a_p y^{(p)} = 0 \] 称为$p$阶常系数齐次线性微分方程。这是与常系数齐次线性差分方程类似的方程。定义其伴随方程(auxiliary equation)为 \[ a_0 + a_1 z + \dots + a_{p-1} z^{p-1} + a_p z^p = 0 . \]

设伴随方程有$k$个不同的复根$z_j$, $j=1,2,\dots,k$，设$z_j$为$r(j)$重根， $\sum_{j=1}^n r(j) = p$。则 \[ y = x^{s} e^{z_j x},\ s=0,1,\dots, r(j)-1;\ j=1,2,\dots,k \] 是微分方程的$p$个线性独立的解，取其实部，就构成微分方程的$p$个线性独立的实函数解，通解为这$p$个基础解的线性组合。

7.8 附录：R中多项式求根

在R软件中，用polyroot()函数求多项式的所有复根，输入为多项式的升幂表示的系数作为R向量。如： \[ z^2 - 2 z + 1 = 0 \]

polyroot(c(1, -2, 1))

## [1] 1+0i 1-0i

又如：

\[ z^3 + z = 0 \]

polyroot(c(0, 1, 0, 1))

## [1] 0+0i 0+1i 0-1i

用abs()函数求复数模，如：

abs(polyroot(c(0, 1, 0, 1)))

## [1] 0 1 1

References

Brockwell, P. J., and R. A. Davis. 1987. Time Series: Theory and Methods. Springer-Verlag.