7 推移算子和常系数差分方程

7.1 推移算子

对任何时间序列\(\{X_t\}\)和无穷级数 \[ \psi(z)= \sum_{j=-\infty}^\infty b_j z^j \] 只要级数 \[ \sum_{j=-\infty}^\infty b_j X_{t-j} \] 在某种意义下收敛(例如a.s.收敛, 依概率收敛, 均方收敛), 就定义 \[\begin{align} \psi(\mathscr B)=& \sum_{j=-\infty}^{\infty}b_j\mathscr B^j, \\ \psi(\mathscr B) X_t =& \sum_{j=-\infty}^\infty b_j \mathscr B^j X_{t}= \sum_{j=-\infty}^\infty b_j X_{t-j}. \tag{7.1} \end{align}\] 并且称\(\mathscr B\)是时间\(t\)的向后推移算子, 简称为推移算子.

显然\(\mathscr B X_t = X_{t-1}\). 如果\(\{ X_t \}\)是平稳列, \(\mathscr B\)确实是Hilbert空间\(\bar L^2(X)\)上的一个算子, 也可以扩充到\(L^2\)空间上。 这里我们只给出它的简单性质。

  • (1) 对和\(t\)无关的随机变量或者常数\(Y\), 有\(\mathscr B Y =Y\).
  • (2) 对常数\(a\)\(\mathscr B^{n}( a X_t)=a \mathscr B^{n} X_t =a X_{t-n}\).
  • (3) \(\mathscr B^{n+m} X_t =\mathscr B^n(\mathscr B^m X_t)=X_{t-n-m}\).
  • (4) 对多项式 \(\psi(z)=\sum_{j=0}^{p}c_jz^j\), 有 \(\psi(\mathscr B) X_t=\sum_{j=0}^{p}c_j X_{t-j}\).
  • (5) (交换律)对于多项式 \(\psi(z)=\sum_{j=0}^{p}c_jz^j\)\(\phi(z)= \sum_{j=0}^{q}d_jz^j\) 的乘积\(A(z)=\psi(z) \phi(z)\), 有 \[A(\mathscr B)X_t=\psi(\mathscr B) [\phi(\mathscr B)X_t] = \phi (\mathscr B) [\psi(\mathscr B)X_t].\]
  • (6) 对于时间序列 \(\{X_t\}\), \(\{Y_t\}\), 多项式 \(\psi(z)=\sum_{j=0}^{p}c_jz^j\), 和随机变量\(U,V,W\), 有 \[\psi(\mathscr B)(UX_t+VY_t+W)=U\psi(\mathscr B)X_t+V\psi(\mathscr B)Y_t + W\psi(1).\]

性质证明:

(1)  对\(t \in \mathbb Z\), 定义\(X_t = Y\), \(\forall t\), 对\(j \neq 1\)定义\(b_j = 0\)。 由(7.1)\[ \mathscr B Y = \mathscr B X_t = \mathscr B X_{t-1} = Y \]

(2)  令\(Y_t = a X_t\), 由(7.1)得到 \[ \mathscr B^n (a X_t) = \mathscr B^n Y_{t} = Y_{t-n} = a X_{t-n} \]

(3)  \[ \mathscr B^{n}[\mathscr B^m X_t] = \mathscr B^n X_{t-m} = X_{t-m-n} = \mathscr B^{n+m} X_t \]

(4)  对\(j<0\)\(j>p\)\(b_j=0\), 由(7.1)即可得 \[ \psi(\mathscr B) X_t = \sum_{j=0}^n b_j X_{t-j} \]

(5)  对于多项式 \(\psi(z)=\sum_{j=0}^{p}c_jz^j\)\(\phi(z)= \sum_{j=0}^{q}d_jz^j\) 的乘积\(A(z)=\psi(z) \phi(z)\), 记 \[ Z_t = \phi(\mathscr B) X_t = \sum_{j=0}^q d_j X_{t-j} \]\[\begin{aligned} \psi(\mathscr B) [\phi(\mathscr B) X_t] =& \psi(\mathscr B) Z_t = \sum_{k=0}^p c_k Z_{t-k} \\ =& \sum_{k=0}^p c_k \sum_{j=0}^k d_j X_{t-k-j} \\ =& \sum_{k=0}^p \sum_{j=0}^k c_k d_j X_{t-k-j} \\ =& A(\mathscr B) X_t \end{aligned}\] 同理可证\(A(\mathscr B) X_t = \psi(\mathscr B)[\phi(\mathscr B) X_t]\)

(6)  略。

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如果\(\sum_{j=-\infty}^\infty |\psi_j| < \infty\)\(\{ X_t \}\)为平稳列, 则 \[ \Psi(\mathscr B) X_t = \sum_{j=-\infty}^\infty \psi_j X_{t-j} \] 是平稳列\(\{ X_t \}\)的线性滤波, \(\{ \psi_j \}\)为一个保时线性滤波器, \(\Psi(\mathscr B) X_t\)在a.s.和均方意义下收敛, 见2.35.1.5。 这时性质(5)(交换律)和性质(6)(线性性质)仍成立。

考虑无穷阶推移算子多项式的交换律。有如下定理:

定理7.1 (线性滤波的交换率) \(\{a_k\}\), \(\{b_j\}\)为两个绝对可和的实数列,则实数列 \[\begin{aligned} d_m = \sum_{j=-\infty}^\infty a_j b_{m-j} \end{aligned}\] 绝对可和,记 \[\begin{aligned} A(z)=\sum_k a_k z^k,\quad B(z)=\sum_j b_j z^j,\quad D(z)=\sum_m d_m z^m \end{aligned}\]

(1) 若\(\{y_t\}\)为有界的数列:\(|y_t|\leq M, t\in \mathbb Z\), 则 \[\begin{aligned} A(\mathscr B)[B(\mathscr B) y_t] = B(\mathscr B)[A(\mathscr B) y_t] = D(\mathscr B) y_t \end{aligned}\]

(2) 若\(\{X_t\}\)为平稳列,则 \[\begin{aligned} A(\mathscr B)[B(\mathscr B) X_t] = B(\mathscr B)[A(\mathscr B) X_t] = D(\mathscr B) X_t, \ \text{a.s. 和} L^2 . \end{aligned}\]

证明  上述的\(\{a_k\}\), \(\{b_j\}\)绝对可和保证了\(\{d_m\}\)也绝对可和: \[\begin{aligned} \sum_{m=-\infty}^\infty |d_m| \leq& \sum_{m=-\infty}^\infty \sum_{j=-\infty}^\infty |a_j| |b_{m-j}| \\ =& \sum_{j=-\infty}^\infty \sum_{m=-\infty}^\infty |a_j| |b_{m-j}| \\ =& \sum_{j=-\infty}^\infty |a_j| \cdot \sum_{m=-\infty}^\infty |b_{m-j}| \\ =& \sum_{j=-\infty}^\infty |a_j| \cdot \sum_{k=-\infty}^\infty |b_k| < \infty \end{aligned}\]

(1)  \[\begin{aligned} &\sum_k \sum_j |a_k| |b_j| |y_{t-k-j}| \\ \leq& M(\sum_k |a_k|)(\sum_j |b_j|) < \infty \end{aligned}\tag{*1} \] 所以 \[\begin{aligned} & A(\mathscr B)B(\mathscr B) y_t = \sum_k a_k \sum_j b_j y_{t-k-j} \\ =& \sum_k \sum_j a_k b_j y_{t-k-j} \\ =& \sum_k \sum_m a_k b_{m-k} y_{t-m} \quad \text{(令$m=k+j,\ j=m-k$)} \\ =& \sum_m \sum_k a_k b_{m-k} y_{t-m} \quad \text{(无穷级数次序交换用到(*1)式)} \\ =& \sum_m d_m y_{t-m} \end{aligned}\] 同样可证\(B(\mathscr B)A(\mathscr B) y_t = D(\mathscr B)y_t\)

(2) 由推论2.1,因为 \[\begin{aligned} \sum_k \sum_j |a_k| |b_j| E |X_{t-k-j}| \leq \sqrt{\gamma_0} (\sum_k |a_k|) (\sum_j |b_j|) < \infty, \end{aligned}\] 由单调收敛定理有 \[\begin{aligned} E \; \sum_k \sum_j |a_k| |b_j| |X_{t-k-j}| \leq \sqrt{\gamma_0} (\sum_k |a_k|) (\sum_j |b_j|) < \infty, \end{aligned}\]

所以\(A(\mathscr B)[B(\mathscr B) X_t]\), \(B(\mathscr B)[A(\mathscr B) X_t]\), \(D(\mathscr B) X_t\)都a.s.绝对收敛, 所以两重级数可以交换次序, 并且可以用换元法证明都等于\(D(\mathscr B) X_t\)

类似可证明\(A(\mathscr B)[B(\mathscr B) X_t]\), \(B(\mathscr B)[A(\mathscr B) X_t]\), \(D(\mathscr B) X_t\)\(L^2\)收敛。 当同时a.s.收敛和\(L^2\)收敛时, 极限a.s.相等。

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注: 若所有\(a_k=0(k<0)\), \(b_j=0(j<0)\), 则 \[\begin{aligned} d_m = \sum_{j=0}^\infty a_j b_{m-j} \end{aligned}\] 这时\(A(z)\), \(B(z)\)\(D(z)\)\(|z| \leq 1\)绝对一致收敛。

如果不满足这样的条件, 若\(a_k, k<0\)\(b_j, j<0\)满足一些条件, \(A(z)\)\(B(z)\)\(D(z)\)可以 在包含单位圆的圆环内解析。

比如, 如果存在\(0<\nu<1\)使得 \[\begin{aligned} a_k = o(\nu^{-k}), \quad k<0 \end{aligned}\] 则取\(\nu < \nu_1\),对\(\nu_1 \leq |z| \leq 1\)\[\begin{aligned} & \sum_{k=-\infty}^0 |a_k z^k | = \sum_{k=-\infty}^0 |a_k| \cdot |z|^k \\ \leq& \sum_{k=-\infty}^0 |a_k| \cdot \nu_1^k \leq \sum_{k=-\infty}^0 c_1 \nu_{-k} \cdot \nu_1^k \\ =& c_1 \sum_{k=-\infty}^0 c_1 \left(\frac{\nu}{\nu_1} \right)^{-k} < \infty \end{aligned}\] 所以,\(A(z)\), \(B(z)\), \(D(z)\)在双边的时候也可以是有意义的。 定理7.1的证明不需要\(A(z)\)\(B(z)\)\(D(z)\)的级数收敛性。

考虑有限阶推移算子多项式的逆算子。有如下定理:

定理7.2 (线性滤波的逆) 设实系数多项式\(A(z)=\sum_{j=0}^p \phi_j z^j\)满足最小相位条件: \[\begin{aligned} A(z) \neq 0, \quad \forall |z| \leq 1 \end{aligned}\] 则存在\(\delta>0\)使 \[\begin{aligned} A^{-1}(z) \stackrel{\triangle}{=} \frac{1}{A(z)} = \sum_{j=0}^\infty \psi_j z^j, \quad |z| \leq 1 + \delta \end{aligned}\] 其中\(\sum_{j=0}^\infty |\psi_j| < \infty\), 且有

(1) 若\(\{y_t\}\)为有界数列,则 \[\begin{aligned} y_t = A^{-1}(\mathscr B) A(\mathscr B) y_t = A(\mathscr B) A^{-1}(\mathscr B) y_t \end{aligned}\]

(2) 若\(\{X_t\}\)为平稳列,则 \[\begin{aligned} X_t = A^{-1}(\mathscr B) A(\mathscr B) X_t = A(\mathscr B) A^{-1}(\mathscr B) X_t, \quad \text{a.s.} \end{aligned}\]

证明: 设多项式\(A(z)\)的根为\(z_1, \dots, z_p\),取 \[\begin{aligned} 1 < 1 + \delta < \min_{j} |z_j| \end{aligned}\]\(A(z)\)\(|z|\leq 1+\delta\)无零点, \(A^{-1}(z)\)\(|z|\leq 1+\delta\)解析, 可以展开为Taylor级数 \[\begin{aligned} A^{-1}(z) = \sum_{j=0}^\infty \psi_j z^j, \quad |z| \leq 1+\delta \end{aligned}\]

由于\(\sum_{j=0}^\infty \psi_j (1+\delta)^j\)收敛所以 \(\psi_j (1+\delta)^j \to 0\)\(j\to \infty\), 即\(\psi_j = o((1+\delta)^{-j})\ (j\to \infty)\)。 由此知\(\{\psi_j\}\)绝对可和。定义\(\phi_j=0\), 对 \(j<0\)\(j>p\),定义\(\psi_j=0\)\(j<0\),注意到 \[\begin{aligned} A(z) A^{-1}(z) = 1 \end{aligned}\]\(d_0 = 1, d_m = 0\)\(m \neq 0\), 由定理7.1可得所需结论。

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上面的定理也可以推广到双边无穷阶滤波的情形:

定理7.3 (双边线性滤波的逆) 设实系数多项式\(A(z)=\sum_{j=-\infty}^\infty a_j z^j\)满足: \[\begin{align} A(z) \neq 0, \quad \forall \alpha < |z| < \beta \tag{7.2} \end{align}\] (其中\(0 < \alpha < 1 < \beta\)) 则存在\(\{ \psi_j \}\)使得\(\psi_j = o(\rho^{-|j|})\), \(\rho>1\), 且 \[\begin{aligned} A^{-1}(z) \stackrel{\triangle}{=} \frac{1}{A(z)} = \sum_{j=-\infty}^\infty \psi_j z^j, \quad \alpha < |z| < \beta \end{aligned}\] 收敛。 有

(1)  若\(\{y_t\}\)为有界数列,则 \[\begin{aligned} y_t = A^{-1}(\mathscr B) A(\mathscr B) y_t = A(\mathscr B) A^{-1}(\mathscr B) y_t \end{aligned}\]

(2)  若\(\{X_t\}\)为平稳列,则 \[\begin{aligned} X_t = A^{-1}(\mathscr B) A(\mathscr B) X_t = A(\mathscr B) A^{-1}(\mathscr B) X_t, \quad \text{a.s.} \end{aligned}\]

注意条件(7.2)保证了系数\(\{ a_j \}\)绝对可和。 证明类似。

7.2 常系数齐次线性差分方程

给定 \(p\)个实数 \(a_1,a_2,\cdots,a_p\), \(a_p\neq 0\), 我们称 \[\begin{align} X_t-[a_1 X_{t-1}+ a_2 X_{t-2}+\dots+a_p X_{t-p}]=0, \ \ t\in \mathbb Z, \tag{7.3} \end{align}\]\(p\)齐次常系数线性差分方程, 简称为齐次差分方程. 满足(7.3)的实数列(或复数列)\(\{X_t\}\)称为(7.3)的解. 满足(7.3)的实值(或复值)时间序列\(\{X_t\}\)也称为(7.3)的解.

(7.3)的解\(\{X_t\}\) 可以由它的\(p\)个初值\(X_0,X_1,\cdots,X_{p-1}\)逐步递推得到: \[\begin{aligned} &X_t=[a_1 X_{t-1}+ a_2 X_{t-2}+\dots+a_p X_{t-p}] , \ \ t \geq p, \\ &X_{t-p} = \frac{1}{a_p}[x_t - a_1 X_{t-1} - \dots - a_{p-1}X_{t-p+1} ], \ t-p<0 \end{aligned}\]

若初值是随机变量则递推得到的\(\{X_t\}\)是时间序列。

用推移算子把差分方程写成 \[\begin{align} A(\mathscr B)X_t = 0, \ t \in \mathbb Z, \text{ 其中}\ A(z)=1-\sum_{j=1}^p a_j z^j. \tag{7.4} \end{align}\] \(A(z)\)称为差分方程(1.2)的特征多项式。

解有线性性质: \(\{X_t\}\), \(\{Y_t\}\)是解则 \[ \xi X_t + \eta Y_t \] 也是解。 这样, 差分方程只要有非零解, 就有无穷多个解, 下面找出方程的所有的线性独立的解。

7.2.1 差分方程基础解

根据代数基本定理, 设实系数\(p\)次多项式\(A(z)\)\(k\) 个互不相同的零点\(z_1,z_2,\cdots,z_k\), 其中 \(z_j\)\(r(j)\)重零点, \(\sum_{j=1}^k r(j) = p\)。 可以证明对每一\(z_j\)\[\begin{align} A(\mathscr B) t^l z_j^{-t}=0, \ l=0,1,\dots, r(j)-1 \tag{7.5} \end{align}\]

证明:   \[\begin{aligned} A(z) =& \prod_{j=1}^k (1 - z_j^{-1} z)^{r(j)} \\ A(\mathscr B) =& \prod_{j=1}^k (1 - z_j^{-1} \mathscr B)^{r(j)} \end{aligned}\] 只要证明 \[\begin{align} (1 - z_j^{-1} \mathscr B)^{l+1} (t^l z_j^{-t}) = 0, \ l=0,1,\dots,r(j)-1 \tag{7.6} \end{align}\] 用归纳法。\(l=0\)\[\begin{aligned} (1 - z_j^{-1} \mathscr B) z_j^{-t} = z_j^{-t} - z_j^{-1} z_j^{-(t-1)} = 0 \end{aligned}\] 设对\(0 \leq l \leq m-1\)已经证明 \[\begin{aligned} (1- z_j^{-1} \mathscr B)^{l+1} t^l z_j^{-t} = 0 \end{aligned}\] 则对\(l=m\)\[\begin{aligned} & (1 - z_j^{-1}\mathscr B)^{m+1} t^m z_j^{-t} \\ =& (1 - z_j^{-1}\mathscr B)^m (1 - z_j^{-1}\mathscr B) \left( t^m z_j^{-t} \right) \\ =& (1 - z_j^{-1}\mathscr B)^m \left( t^m z_j^{-t} - z_j^{-1} (t-1)^m z_j^{-(t-1)} \right) \\ =& (1 - z_j^{-1}\mathscr B)^m \left(t^m - (t-1)^m \right) z_j^{-t} \\ =& (1 - z_j^{-1}\mathscr B)^m \left( c_1 t^{m-1} + c_2 t^{m-2} + \dots + c_m \right) z_j^{-t} \\ =& 0 \end{aligned}\] 于是(7.6)成立, 从而(7.5)成立。

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这样的基础解一共有\(p\)个, 组成了\(p\)个线性独立的解。 把基础解线性组合可以得到齐次线性差分方程的通解。 通解是方程的含有可取任意值的系数的解, 而且方程的每个解都包含在通解中。

7.2.2 齐次线性差分方程的通解

定理7.4 \(A(z)\)\(k\)个互不相同的零点\(z_1,z_2,\dots,z_k\), 其中 \(z_j\)\(r(j)\)重零点. 则 \[\begin{align} t^l z_j^{-t}, \ \ l=0,1,\cdots,r(j)-1, \ \ j=1,2,\cdots,k \tag{7.7} \end{align}\](7.3)\(p\)个解; 而且, (7.3)的任何解\(\{X_t\}\)都可以写成这\(p\)个解的线性组合: \[\begin{align} X_t=\sum_{j=1}^k\sum_{l=0}^{r(j)-1} U_{l,j} t^l z_j^{-t}, \ \ t\in \mathbb Z, \tag{7.8} \end{align}\] 其中的随机变量\(U_{l,j}\)可以由\(\{X_t\}\)的初值\(X_0,X_1,\cdots,X_{p-1}\)惟一决定. (7.8)称为齐次线性差分方程(7.3)通解

此定理关于时间序列叙述,实际上对差分方程的复数或实数列解也是成立的。

证明见(Brockwell and Davis 1987)

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(7.8)\(z_j\)可以是复数。记 \[\begin{aligned} U_{l,j} =& V_{l,j} e^{i\theta_{l,j}}, \quad z_j = \rho_j e^{i\lambda_j} , \end{aligned}\]\[\begin{aligned} \text{Re}\left( U_{l,j} t^l z_j^{-t} \right) =& \text{Re} \left( V_{l,j} t^l \rho_j^{-t} e^{-i(\lambda_j t - \theta_{l,j})} \right) \\ =& V_{l,j} t^l \rho_j^{-t} \cos(\lambda_j t - \theta_{l,j}) , \end{aligned}\]

差分方程(7.3)的实值解可以表示为 \[\begin{aligned} \sum_{j=1}^k \sum_{l=0}^{r(j)-1} V_{l,j} t^l \rho_j^{-t} \cos(\lambda_j t - \theta_j), \quad t \in \mathbb Z \end{aligned}\] \(\{V_{l,j}, \theta_{l,j}\}\)可以由初值\(X_0, X_1, \dots, X_{p-1}\) 唯一决定。

7.2.3 通解的收敛性

如果差分方程的特征多项式\(A(z)\)的根都在单位圆外: \(|z_j| > 1, \quad j=1,2,\dots,k\), 或\(A(z) \neq 0, \quad \forall |z| \leq 1\), 取\(1 < \alpha < \min\{|z_j|: j=1,\dots,k\}\),则 \[\begin{aligned} & t^l |z_j|^{-t} = t^l (\alpha / |z_j|)^t \alpha^{-t} = o(\alpha^{-t}) \end{aligned}\] 于是方程的任意解\(X_t\)满足 \[\begin{align} |X_t| = o(\alpha^{-t}) \quad a.s., \ t \to \infty \tag{7.9} \end{align}\]\(X_t\)以负指数阶收敛到零。

如果特征多项式有单位根\(z_j = \exp(i\lambda_j)\), 则方程有一个周期解 \[\begin{aligned} X_t = a \cos(\lambda_j t), \quad t \in \mathbb Z \end{aligned}\]

如果单位圆内有根\(z_j = \rho_j \exp(i\lambda_j), \rho_j<1\), 则方程有一个爆炸解(发散解) \[\begin{aligned} X_t = a \left(\frac{1}{\rho_j}\right)^t \cos(\lambda_j t), \quad t \in \mathbb Z . \end{aligned}\]

7.3 非齐次线性差分方程

\(\{Y_t\}\)为实值时间序列。 \[\begin{align} A(\mathscr B) X_t = Y_t, \quad t \in \mathbb Z \tag{7.10} \end{align}\] 满足(7.10)的时间序列\(\{X_t\}\)称为(7.10)的解。

如果有(7.10)的某个解(称为特解)\(\{X_t^{(0)}\}\), 则通解可以写成 \[\begin{align} X_t = X_t^{(0)} + \sum_{j=1}^k \sum_{l=0}^{r(j)-1} U_{l,j} t^l z_j^{-t}, \quad t \in \mathbb Z . \tag{7.11} \end{align}\]

7.4 附录:复变函数复习

讨论推移算子多项式用到了一些复变函数知识, 这里进行复习。

若复变函数\(f(z)\)在复平面中点\(z_0\)的某个邻域内的任一点都可导, 称\(f(z)\)\(z_0\)解析。 若\(f(z)\)在区域\(D\)内每一点解析,称\(f(z)\)\(D\)内解析, 或称\(f(z)\)\(D\)内一个解析函数

区域\(D\)\(D\)是连通开集。 \(D\)连通,即\(D\)中任意两个点之间都存在一条连续曲线。 复平面中的连续曲线, 就是从\([\alpha, \beta]\)到复数域的一个连续映射, 或平面上用参数方程表示的一条连续曲线。

\(f(z), g(z)\)在区域\(D\)解析,则其和、差、积也在\(D\)内解析。 若\(g(z)\neq 0, z \in D\),则\(f(z)/g(z)\)也在\(D\)内解析。 所以,多项式的倒数在不含分母零点的区域内解析。

把复变函数写成两个二元实函数: \[\begin{aligned} f(z) = f(x + iy) = u(x,y) + i v(x,y) \end{aligned}\]\(f(z)\)解析当且仅当\(u(x,y)\)\(v(x,y)\)都可微且满足柯西-黎曼条件 \[\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \end{aligned}\] 这时 \[\begin{aligned} f'(z) =& \frac{\partial u}{\partial x} + i \frac{\partial v}{\partial x} \\ =& \frac{\partial v}{\partial y} - i \frac{\partial u}{\partial y} \end{aligned}\]

解析函数必无穷阶可微。

调和函数: 二元实函数\(\varphi(x,y)\)在区域\(D\)内有二阶连续偏导且 \[\begin{aligned} \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2} = 0. \end{aligned}\] 解析函数的实部和虚部都是调和函数。

幂级数: 复变级数 \[\begin{aligned} \sum_{k=0}^\infty a_n z^n \end{aligned}\] 称为幂级数。 如果 \[\begin{aligned} R = \lim_{n\to\infty} \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|} \end{aligned}\] 存在,则

  • \(|z|<R\)时,幂级数绝对收敛;
  • \(|z|>R\)时,幂级数发散;
  • \(|z|=R\)时,幂级数可能收敛也可能发散。

\(R\)称为幂级数的收敛半径, 幂级数的收敛区域叫做收敛圆。

泰勒级数: 若函数\(f(z)\)\(|z-b|<R\)内解析, 则在此范围可以展开成如下泰勒级数 \[\begin{aligned} f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k (z-b)^k, \quad |z-b|<R \end{aligned}\] 系数为 \[\begin{aligned} a_n = \frac{1}{2\pi i}\oint_L \frac{f(\zeta)d\zeta}{(\zeta-b)^{n+1}} = \frac{f^{(n)}(b)}{n!} \end{aligned}\] 反之,这样的一个级数在\(z_0\)收敛则在\(|z-b| < |z_0-b|\)绝对收敛,解析。

罗朗级数: 含有负幂的级数 \[\begin{aligned} \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z - b)^n \end{aligned}\] 称为罗朗级数。 其中\(n \geq 0\)部分称作解析部分, \(n<0\)部分称作主要部分。 解析部分的收敛范围是\(|z|<R_1\), 主要部分的收敛范围是\(|z|>R_2\), 如果这两个区域相交,则罗朗级数在 \[\begin{aligned} R_2 < |z| < R_1 \end{aligned}\] 内收敛。 若函数\(f(z)\)在环域\(R_2 < |z-b| < R_1\)内部为解析, 则\(f(z)\)在该环域内可展开为罗朗级数。

7.5 附录:用差分方程给出Fibonacci数列通解

Fibonacci数列定义为: \[ F_1 = F_2 = 1, \ F_n = F_{n-1} + F_{n-2}, n=2,3,\dots \]

这是一个齐次线性差分方程。 特征多项式 \[ 1 - z - z^2 = 0, \] 两个特征根为 \[ z_1 = \frac{\sqrt{5}-1}{2}, \ z_2 = - \frac{\sqrt{5} + 1}{2} . \] 可求出通解, 注意到黄金分割比 \[ \frac{ \sqrt{5} - 1}{2} = \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^{-1} \approx 0.618 \]\[\begin{aligned} F_n =& c_1 (\frac{\sqrt{5}-1}{2})^{-n} + c_2 (- \frac{\sqrt{5} + 1}{2})^{-n} \\ =& c_1 (\frac{\sqrt{5} + 1}{2})^n + c_2 (-\frac{\sqrt{5}-1}{2})^n \end{aligned}\]

\(F_1=F_2=1\)代入,就得到通项公式 \[ F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left[ \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right)^n \right] \]

程序验证:

fib <- function(n){
  gr <- (sqrt(5) - 1)/2
  grinv <- 1/gr
  1/sqrt(5)*(grinv^n - (-gr)^n)
}
fib(1:10)
##  [1]  1  1  2  3  5  8 13 21 34 55

关于Fibonacci数列,有级数性质 \[ \sum_{j=1}^{2n} F_j = \sum_{k=1}^n (F_{2k-1} + F_{2k}) = F_{2n+2} - F_2 . \]

7.6 附录:推移算子补充

\(\{X_t \}\)为时间序列, \(\{ a_j, j \in \mathbb Z \}\)是绝对可和实数列。 若\(\sup_t E|X_t| < \infty\), 则 \[\begin{aligned} \Psi(\mathscr B) X_t = \sum_{j=-\infty}^\infty a_j X_{t-j} \end{aligned}\] 以概率1收敛。 如果进一步地\(\sup_t E X_t^2 < \infty\)则级数还均方收敛到同一极限。 (见(Brockwell and Davis 1987) §3.1)。 当\(\{ X_t \}\)平稳时级数必以概率1收敛和均方收敛到同一极限, 结果也是平稳序列。

7.7 附录:常系数齐次线性微分方程

\(a_0, a_1, \dots, a_p\)为实常数, \(a_p \neq 0\), 微分方程 \[ a_0 y + a_1 y' + \dots + a_{p-1} y^{(n-1)} + a_p y^{(p)} = 0 \] 称为\(p\)阶常系数齐次线性微分方程。 这是与常系数齐次线性差分方程类似的方程。 定义其伴随方程(auxiliary equation)为 \[ a_0 + a_1 z + \dots + a_{p-1} z^{p-1} + a_p z^p = 0 . \]

设伴随方程有\(k\)个不同的复根\(z_j\), \(j=1,2,\dots,k\), 设\(z_j\)\(r(j)\)重根, \(\sum_{j=1}^n r(j) = p\)。 则 \[ y = x^{s} e^{z_j x},\ s=0,1,\dots, r(j)-1;\ j=1,2,\dots,k \] 是微分方程的\(p\)个线性独立的解, 取其实部, 就构成微分方程的\(p\)个线性独立的实函数解, 通解为这\(p\)个基础解的线性组合。

7.8 附录:R中多项式求根

在R软件中, 用polyroot()函数求多项式的所有复根, 输入为多项式的升幂表示的系数作为R向量。 如: \[ z^2 - 2 z + 1 = 0 \]

polyroot(c(1, -2, 1))
## [1] 1+0i 1-0i

又如:

\[ z^3 + z = 0 \]

polyroot(c(0, 1, 0, 1))
## [1] 0+0i 0+1i 0-1i

abs()函数求复数模, 如:

abs(polyroot(c(0, 1, 0, 1)))
## [1] 0 1 1

References

Brockwell, P. J., and R. A. Davis. 1987. Time Series: Theory and Methods. Springer-Verlag.