授课次数 |
讲授内容 |
1 |
（第五章 §3）
复数域的二次型的规范形；
实数域上的二次型的规范形；正负惯性指数，的符号差
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2 |
正定二次型；正定矩阵；
用顺序主子式判断正定二次型.
半正定二次型、负定二次型、半负定二次型、不定二次型。
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3 |
（第六章 §1）
实线性空间中的内积；欧几里得空间；
欧氏空间中向量的长度、单位向量；
柯西—布尼雅可夫斯基不等式；二向量的夹角；
欧氏空间的一组基的度量矩阵；
标准正交基；
正交矩阵及其等价表述；
施密特正交化方法。
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4 |
欧氏空间的子空间的正交补；
欧氏空间同构映射与同构；
（第六章 §2）
正交变换及其四个等价表述；
正交变换群；正交群.
第一、 二类正交变换；
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5 |
（第六章 §2）
正交矩阵的特征值.
正交变换矩阵的标准型；
（第六章 §3）
对称变换；
实对称矩阵的特征根.
属于不同特征值的特征向量必正交.
不变子空间的正交补仍是不变子空间。
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6 |
对称变换某组标准正交基下的矩阵呈对角形.
用正交矩阵将实对称矩阵化成对角形的计算方法。
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7 |
（第六章 §3）
复线性空间中内积，酉空间；
酉空间中向量的长度、单位向量的定义；
标准正交基；酉矩阵；
酉空间同构映射与同构；
酉变换及其四个等价表述；
酉变换群，酉群
厄米特变换、厄米特矩阵、厄米特二次型。
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酉空间上的线性变换的共轭变换；
共轭变换的四条性质；
正规变换；
酉空间上的正规变换在某组标准正交基下的矩阵是对角阵.
厄米特变换的特征值都是实数.
维酉空间上的厄米特变换在某组标准正交基下的矩阵是实对角阵.
厄米特二次型的标准形
线性空间的满秩双线性函数定义的度量。
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9 |
（第六章 §4）
四维时空空间；
广义洛仑兹变换；
类时向量与正类时向量；
洛仑兹变换；
洛仑兹群；
辛空间；
偶数维复空间的第一、二类辛基；
辛变换；
辛变换群，辛群。
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（第七章 §1）
幂零线性变换与幂零矩阵的定义；
命题 幂零线性变换的特征值等于0.
循环不变子空间、Jordan形矩阵、Jordan块的定义；
命题 数域K上的n维线性空间上的幂零线性变换在某组基下的矩阵可以成为Jordan形的充分必要条件是可以分解为循环不变子空间的直和.
定理 数域K上的n维线性空间上的幂零线性变换在某组基下的矩阵可以成为Jordan形。
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11 |
（第七章 §2）
线性变换的Jordan形.
Jordan 标准形的计算方法。
方阵的化零多项式；
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12 |
Hamilton–Cayley定理；
方阵的最小多项式。
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| 13 |
期中考试。 |
14 |
（第八章 §1）
有理整数环中的带余除法；
用辗转相除法求二整数的最大公因子；
理想，主理想的定义；
有理整数环的理想都是主理想；
主理想整环（PID）的定义；
唯一分解整环的定义；
主理想整环是唯一分解整环.
算术基本定理。
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| 15 |
（第八章 §2）
有理整数环中的同余；
与 互素的剩余类；
Euler定理；
Fermat小定理；
中国剩余定理。
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16 |
（第八章 §3）
模 的剩余类环；
有限域；
关于有限域上的线性代数的说明。
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| 17 |
（第九章 §1）
域上的一元多项式环；
整除、因式、重因式、最大公因式、不可约多项式；
带余除法。
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18 |
一元多项式环的理想、主理想的定义；
域上的一元多项式环是主理想整环；
域上的一元多项式环是唯一分解整环；
理想的交与和的定义。
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| 19 |
（第九章 §1）
重因式；
中国剩余定理；
Lagrenge插值公式；
Jordan-Chevally分解定理。
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20 |
（第九章 §2）
复数域、实数域上多项式的因式分解。
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| 21 |
（第九章 §1）
高斯引理；
唯一分解整环上的多项式环仍是唯一分解整环；
爱森斯坦判别法；
有理整数环上的一元多项式的因子分解。
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22 |
（第九章 §3）
复系数多项式的根的绝对值的上界；
斯图姆定理；
斯图姆序列的构造方法。
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| 23 |
（第九章 §3）
域上的一元有理分式域；
有理分式的准素分解式。
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24 |
（第十章 §2）
对称多项式、初等对称多项式的定义；
域上的对称多项式表为初等对称多项式的多项式.
牛顿公式。
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| 25 |
（第十章 §2）
一元多项式的判别式；
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26 |
（第十章 §3）
两个一元多项式的结式；
结式的应用和计算。
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| 27 |
（第十二章 § 1 ）
线性空间的一组基的对偶基 ；
线性空间的多线性函数、多线性映射 ；
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28 |
（第十二章 §2）
域K上的二线性空间的张量积的存在唯一性；
线性变换的张量积；
线性变换的张量积的矩阵与线性变换的矩阵的关系；
线性变换的张量积的三条性质。
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29 |
（第十章 § 3 ）
张量 ；
Einstein约定；
逆变张量 、 协变张量 和 混合张量 ；
张量的加法和乘法。
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30 |
（第十章 § 3 ）
交错映射 ；
交错映射的三条性质及计算公式；
外积 ；
外积的泛性质；
外代数中乘法 的定义。
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31 |
复习与期末考试。 |