基本概念:
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相抵, 相抵标准形
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相似, 对角化, 迹, 可对角化矩阵的相似标准形
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特征值, 特征向量, 特征多项式, 特征子空间
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正交矩阵, Kn的内积, 标准正交基
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实对称矩阵的正交相似标准形
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二次型及其等价, 对称矩阵的合同
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二次形的标准形, 规范形, 秩, 正/负惯性指数, 符号差
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正定, 半正定, 负定, 半负定, 不定, 顺序主子式
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常用算法:
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用秩决定相抵标准形
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若矩阵A有特征向量构成的基a1,...,an,
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使得Aai=kiai,
而ki是全部特征值
则相似标准形U-1AU=diag(k1,...,kn),
而且U=(a1...an)
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特征值是k的多项式|kI-A|的根
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属于ki的特征向量是齐次方程组(kiI-A)X=0的非零解
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Schmidt正交化过程
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求实对称矩阵的正交相似标准形
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用配方法或成对初等变换法求二次型的标准形
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对实二次型由标准形求规范形
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从规范形判定正定性
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主要理论:
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矩阵相抵<=>秩相等
相似相似时行列式,秩,迹,特征多项式,特征子空间维数相等
n阶矩阵可对角化<=>有特征向量构成的Kn的基
不同特征子空间线性无关
实对称矩阵正交相似于对角矩阵
对称矩阵合同于对角矩阵, 二次型等价于只含平方项的二次型
惯性定理
正定的几组等价判定条件 (包括全部顺序主子式>0)
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特别注意:
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正交相似的实对称矩阵既相似也合同
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