期末考试第四题的解答

期末考试第四题的解答

这次期末考试难住了许多同学的第四题问的是:
假设有线性空间V上的一个幂等线性变换A, 证明V是A(V)与A^-1(0)的直和.

其实你做没做对不用来问我, 只要自己想想下面这个最简单的例子就知道了:
记R²=xOy平面到R=x轴的垂直投影为A, 则A²=A. 而此时A(V)=x轴, A^-1(0)=y轴.

下面我给出一个参考解答:
任取V中的向量u, 令v=Au, w=u-Au, 则显然u=v+w, 并且v是A(V)中的向量.
而Aw=Au-A²u=0, 故w是A^-1(0)中的向量. 由u的任意性知, V是两子空间的和.
另一方面, 若A(V)中的向量v=Au同时也在A^-1(0)中, 则v=Au=A²u=Av=0.
这说明两子空间的和是直和.

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