基本概念:
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线性空间, 线性运算, 向量及其线性相关性
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线性空间的基, 维数, 坐标, 过渡矩阵
线性空间的同构
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子空间, 子空间的交, 和, 直和
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映射, 一一对应, 变换, 函数
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线性映射及Hom(V,V'), 线性变换
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线性映射的加法, 数乘, 乘法, 逆, 矩阵表示
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线性变换的特征值, 特征向量
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有限维线性空间上线性变换的行列式, 秩, 迹, 特征多项式, 特征值
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常用算法:
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验证线性空间, 同构
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验证直和分解
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求对某组基的坐标
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作基向量的替换时的坐标变换公式
(b1,...,bn)=(a1,...,an)A,
X=AY
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验证线性映射
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求线性映射在给定基下的矩阵表示 (将基向量的映像的坐标排成一个矩阵)
利用矩阵表示计算线性映射
A(a1,...,an)=(b1,...,bn)A,
X=AY
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利用矩阵的相似不变量计算相关线性映射的相应不变量
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主要理论:
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有限维线性空间V与KdimV的同构
维数公式
若dimV=n, dimV'=m, 则Hom(V,V')与Mm,n(K)同构
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线性映射的和 (数量乘积/乘积/逆) 的矩阵表示
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是矩阵表示的和 (数量乘积/乘积/逆)
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对不同的基算出的矩阵表示相似
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特别注意:
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Kn及矩阵的理论可以直接推广到有限维空间及其线性映射上
无限维空间有较大差别
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