8 随机积分

本章的目的是引入关于Brown运动的积分，讨论其性质并给出在随机分析及金融学中有着重要应用的Itô公式. 为了从理论上更严格， 这一章的内容参考了北京大学刘勇教授的《应用随机分析》课程讲义(刘勇 2022)。

8.1 关于随机游动的随机积分

我们从讨论关于简单的随机游动的积分开始. 设\(X_1, X_2, \dots\)相互独立， 都以各自\(\frac{1}{2}\)概率分别取\(+1\)和\(-1\)值， \[ S_n = \sum_{k=1}^n X_k \] 是对称随机游动，\(S_0=0\)， \({\mathscr F}_n = \sigma(X_1, \dots, X_n)\)。

令\(B_n\)是\({\mathscr F}_{n-1}\)可测的随机变量序列， 比如它表示第\(n\)次赌博时所下赌注， 则它只能利用第\(n-1\)次及以前的信息， 而不能利用第\(n\)次赌博的结果. 于是到时刻\(n\)的收益\(Z_n\)为（参见例6.4） \[ Z_n = \sum_{i=1}^n B_i X_i = \sum_{i=1}^n B_i (S_i - S_{i-1}) = \sum_{i=1}^n B_i \Delta S_i, \] 这里\(\Delta S_i = S_i - S_{i-1}\), 我们称\(Z_n\)为\(B_n\)关于\(S_n\)的随机积分.

容易看出\(\{Z_n\}\)是关于\({\mathscr F}_n\)的鞅。 事实上， \[\begin{aligned} E(Z_n | \mathscr F_{n-1}) =& E \left( \left. \sum_{i=1}^{n-1} B_i X_i \; \right|\; \mathscr F_{n-1} \right) + E(B_n X_n | \mathscr F_{n-1}) \\ =& \sum_{i=1}^{n-1} B_i X_i + B_n E(X_n | \mathscr F_{n-1}) \\ =& \sum_{i=1}^{n-1} B_i X_i + B_n E(X_n) \\ =& \sum_{i=1}^{n-1} B_i X_i + 0 \\ =& Z_{n-1} , \end{aligned}\]

易见\(对0 \leq m < n\)有 \[\begin{aligned} & E[Z_n | {\mathscr F}_m] \\ =& E[ E(Z_n | {\mathscr F}_{n-1}) \,|\, {\mathscr F}_m] = E[Z_{{n-1}} | {\mathscr F}_m] ] \\ =& \cdots = E[Z_{{m+1}} | {\mathscr F}_m] ] = Z_m . \end{aligned}\] 特别地, \(E[Z_n] = E[Z_0] = 0\).

如果假定\(E[B_n^2] < \infty\)，则 \[ \text{Var}[Z_n] = E[Z_n^2] = \sum_{i=1}^n E[B_i^2] . \] 事实上， \[ Z_n^2 = \sum_{i=1}^n B_i^2 X_i^2 + 2\sum_{1 \leq i < j \leq n} B_i B_j X_i X_j, \] 再注意到\(X_i^2=1\)， 如果\(i<j\)，则\(B_i, X_i, B_j\)都是\({\mathscr F}_{j-1}\)可测的， 且\(X_j\)独立于\({\mathscr F}_{j-1}\)， 于是 \[\begin{aligned} & E[B_i B_j X_i X_j] \\ =& E\{ E[ B_i B_j X_i X_j | {\mathscr F}_{j-1}] \} \\ =& E \{ B_i B_j X_i E[X_j | {\mathscr F}_{j-1}] \} \\ =& E \{ B_i B_j X_i E[X_j] \} =0 . \end{aligned}\]

8.2 Itô积分

8.2.1 连续可微函数的随机积分

考虑关于布朗运动的积分\(\int_0^T X(t) \,dB(t)\)。 以\(B(t)\)为证券价格， \(X(t)\)作为持仓量， 则\(\int_0^T X(t) \,dB(t)\)可以作为\([0,T]\)期间的投资收益。 但是，这个积分不能看作是黎曼-斯蒂尔杰斯(Riemann-Stieljes)积分， 因为\(B(t)\)处处不可微，有非零的二次变差。

如果\(f(t)\)是连续可微函数， 则由分部积分公式可以形式地定义 \[ \int_0^t f(t) \,dB(t) = f(t) B(t) - \int_0^t f'(u) B(u) \,du, \] 而\(\int_0^t f'(u) B(u) \,du\)的被积函数是轨道连续的， 可以看成是对每条轨道的黎曼积分。 参见8.5.3。

8.2.2 阶梯函数的随机积分

考虑被积函数为简单函数（阶梯函数）的随机积分。

设\(0 = t_0 < t_1 < \dots < t_n = T\)是\([0,T]\)的一个分割， 函数 \[ f(t) = \sum_{i=0}^{n-1} c_i I_{(t_i, t_{i+1}]}(t) + c_0' I_{\{0\}}(t), \ t \in [0, T] , \] 其中\(c_i\)和\(c_0'\)为常量， 定义\(\{ f(t) \}\)的伊藤(Itô)随机积分为 \[\begin{align} \int_0^T f(t) \,dB(t) = \sum_{i=0}^{n-1} c_i [B(t_{i+1}) - B(t_i)] . \tag{8.1} \end{align}\]

由布朗运动的独立增量性和高斯过程性质， 可知(8.1)服从正态分布， 均值为0， 方差为 \[\begin{aligned} & \text{Var}\left( \int_0^T f(t) \,dB(t) \right) \\ =& \sum_{i=0}^{n-1} c_i^2 (t_{i+1} - t_i) \\ =& \int_0^T f^2(t) \,dt . \end{aligned}\]

8.2.3 可料阶梯过程的随机积分

考虑被积函数是随机过程的情形。

设\(\{\mathscr F(t), t \geq 0\}\)是\(\sigma\)代数流， \(\{ B(t), \mathscr F(t), t \geq 0\}\)是适应的标准布朗运动， 且对任意\(t \geq s \geq 0\)， \(B(t) - B(s)\)与\(\mathscr F(s)\)独立。 如果取\(\mathscr F(t) = \mathscr F^B(t) = \sigma(\{B(u): 0 \leq u \leq t \})\)则可以满足上述条件。

定义8.1 设\(0 = t_0 < t_1 < \dots < t_n = T\)， 随机过程\(\{X(t), t \in [0,T] \}\)为 \[\begin{aligned} X(t) = \sum_{i=0}^{n-1} \xi_i I_{(t_i, t_{i+1}]}(t) + \xi_{0}' I_{\{0\}}(t), \ t \in [0, T] . \end{aligned}\] 其中\(\xi_i\)是关于\(\mathscr F(t_i)\)可测的随机变量， \(E(\xi_i^2) < \infty\)， \(\xi_0'\)关于\(\mathscr F(0)\)可测， 则称\(\{ X(t), \mathscr F(t), t \in [0,T]\}\)为可料阶梯过程（或简单可料适应过程，初等可料适应过程）。

这里“可料”是指过程（轨道）左连续（左连续来源于区间\((t_i, t_{i+1}]\)的右闭性质）， 当\(t \in (t_i, t_{i+1}]\)时\(X(t) = \xi_i\)关于\(\mathscr F(t_i)\)可测， 而\(\mathscr F(t_i) \subset \mathscr F(t)\)， 所以\(\{X(t) \}\)也是\(\{ \mathscr F(t) \}\)适应的。

注意，可料阶梯过程必为可测过程（即\(([0,\infty) \times \Omega, \mathscr B([0, \infty)) \times \mathscr F)\)到\((\mathbb R^d, \mathscr B(\mathbb R^d))\)的可测变换）。 由左连续性可知其为循序可测的（见命题6.10）。

对可料阶梯过程， 定义 \[\begin{align} \int_0^T X(u) \,du = \sum_{i=0}^{n-1} \xi_i (t_{i+1} - t_i) . \tag{8.2} \end{align}\]

可料阶梯过程的每条轨道是阶梯函数， 上述积分是对每条轨道的黎曼积分。 易见只要\(E|\xi_i| < \infty\)(\(i=0,1,\dots,n-1\))就有 \[\begin{aligned} & E \int_0^T X(u) \,du = \sum_{i=0}^{n-1} E(\xi_i) (t_{i+1} - t_i) = \int_0^T E[X(u)] \,du , \end{aligned}\] 即积分与期望可交换次序。

定义8.2 设\(\{B(t), \mathscr F(t), t\geq 0\}\)为标准布朗运动， \(\{X(t), \mathscr F(t), t\geq 0\}\)为可料阶梯过程， 其伊藤随机积分定义为 \[\begin{align} \int_0^T X(t) \,dB(t) = \sum_{i=0}^{n-1} \xi_i [B(t_{i+1}) - B(t_i)] . \tag{8.3} \end{align}\]

\(\int_0^T X(t) \,dB(t)\)是一个随机变量。

对\(0 < t \leq T\)，设\(t \in (t_k, t_{k+1}]\)， 定义 \[\begin{align} \int_0^t X(u) \,dB(u) = \sum_{i=0}^{k-1} \xi_i [B(t_{i+1}) - B(t_i)] + \xi_k [B(t) - B(t_k)] . \tag{8.4} \end{align}\]

对\(0 \leq s < t \leq T\)， 定义 \[ \int_s^t X(u) \,dB(u) = \int_0^t X(u) \,dB(u) - \int_0^s X(u) \,dB(u) . \]

下面讨论可料阶梯过程的随机积分性质。

8.2.3.1 适应性

\(\int_0^t X(u) \,dB(u)\)关于\(\{\mathscr F(t) \}\)适应。 定义(8.4)中\(\xi_i \in \mathscr F_{t_i} \subset \mathscr F_t\), \(\xi_k \in \mathscr F_{t_k} \subset \mathscr F_t\)， \(B(t_{i+1}) - B(t_i) \in \mathscr F_{t_{i+1}} \subset \mathscr F_{t_k} \subset \mathscr F_t\)， \(B(t) - B(t_k) \in \mathscr F_t\)， 所以\(\int_0^t X(u) \,dB(u) \in \mathscr F_t\)。

8.2.3.2 零均值

这时， \[\begin{aligned} & E | \xi_i [B(t_{i+1}) - B(t_i)] | \\ \leq & \| \xi_i \| \cdot \| B(t_{i+1}) - B(t_i) \| \quad (\text{Schwarz不等式})\\ =& [E(\xi_i^2)]^{1/2} (t_{i+1} - t_i)^{1/2} < \infty, \end{aligned}\] 且 \[\begin{aligned} & E\left\{ \xi_i [B(t_{i+1}) - B(t_i)] \right\} \\ =& E \left\{ E \left[\xi_i (B(t_{i+1}) - B(t_i)) \,|\, \mathscr F(t_i) \right] \right\} \\ =& E \left\{ \xi_i \, E \left[B(t_{i+1}) - B(t_i) \,|\, \mathscr F(t_i) \right] \right\} \\ =& 0, \end{aligned}\] 所以\(E \int_0^T X(t) \,dB(t) = 0\)， 即随机积分均值为零。

8.2.3.3 常值过程积分

由定义可知 \[ \int_a^b \xi \,dB(t) = \int_{[a,b]} \xi \,dB(t) = \int_{(a,b]} \xi \,dB(t) = \xi[B(b) - B(a)] . \] 其中\(\xi\)关于\(\mathscr F(a)\)可测且\(E \xi^2 < \infty\)。

8.2.3.4 线性

易见如果\(\{X(t)\}\), \(\{Y(t)\}\)是简单可料过程， \(\alpha\), \(\beta\)是常数， 则 \[ \int_0^T [\alpha X(t) + \beta Y(t)] \,dB(t) = \alpha \int_0^T X(t) \,dB(t) + \beta \int_0^T Y(t) \,dB(t) . \] 这是随机积分的线性性质。

证明： 可以找到\([0,T]\)的分割\(0 = t_0 < t_1 < \dots < t_n = T\) 使得\(\{ X(t) \}\)和\(\{ Y(t) \}\)在每个小区间上都不随\(t\)变化， 且细分后仍保持\(\xi_i \in \mathscr F(t_i)\)这样的要求。 于是设 \[\begin{aligned} X(t) =& \sum_{i=0}^{n-1} \xi_i I_{(t_i, t_{i+1}]}(t), \\ Y(t) =& \sum_{i=0}^{n-1} \eta_i I_{(t_i, t_{i+1}]}(t), \end{aligned}\] 则 \[\begin{aligned} & \alpha X(t) + \beta Y(t) \\ =& \sum_{i=0}^{n-1} (\alpha \xi_i + \beta \eta_i) I_{(t_i, t_{i+1}]}(t), \\ & \int_0^T [\alpha X(t) + \beta Y(t) ] \,dB(t) \\ =& \sum_{i=0}^{n-1} (\alpha \xi_i + \beta \eta_i) [B(t_{i+1}) - B(t_i)] \\ =& \alpha \sum_{i=0}^{n-1} \xi_i [B(t_{i+1}) - B(t_i)] + \beta \sum_{i=0}^{n-1} \eta_i [B(t_{i+1}) - B(t_i)] \\ =& \alpha \int_0^T X(t) \,dB(t) + \beta \int_0^T Y(t) \,dB(t) . \end{aligned}\]

8.2.3.5 鞅

\(\{\int_0^t X(u) \,dB(u),\mathscr F(t), t \in [0,T]\}\)是鞅。

证明： 对任意\(0 \leq s \leq t \leq T\)， 设\(s \in (t_k, t_{k+1}]\)， 不妨设\(t = T\)(\(t < T\)可类似证明)，则 \[\begin{aligned} &E \left( \left. \int_0^T X(u) \,dB(u) \; \right|\; \mathscr F(s) \right) \\ =& \sum_{i=0}^{k-1} E \left( \xi_i [B(t_{i+1}) - B(t_i)] \;|\; \mathscr F(s) \right) \\ & + E \left( \xi_k [B(t_{k+1}) - B(t_k)] \;|\; \mathscr F(s) \right) \\ & + \sum_{i=k+1}^{n-1} E \left( \xi_i [B(t_{i+1}) - B(t_i)] \;|\; \mathscr F(s) \right) \\ =& \sum_{i=0}^{k-1} \xi_i [B(t_{i+1}) - B(t_i)] \\ & + \xi_k E \left( [B(t_{k+1}) - B(s)] + [B(s) - B(t_k)] \;|\; \mathscr F(s) \right) \\ & + \sum_{i=k+1}^{n-1} E \big[ E\left( \xi_i [B(t_{i+1}) - B(t_i)] \;|\; \mathscr F(t_i) \right) | \mathscr F(s) \big] \\ =& \sum_{i=0}^{k-1} \xi_i [B(t_{i+1}) - B(t_i)] \\ & + \xi_k [B(s) - B(t_k)] \\ & + \sum_{i=k+1}^{n-1} E \left[ \xi_i \, E\left( B(t_{i+1}) - B(t_i) \;|\; \mathscr F(t_i) \right) | \mathscr F(s) \right] \\ =& \sum_{i=0}^{k-1} \xi_i [B(t_{i+1}) - B(t_i)] \\ & + \xi_k [B(s) - B(t_k)] \\ =& \int_0^s X(u) \,dB(u) . \end{aligned}\]

说明： 可以将\(\{B(t) \}\)看成证券价格， \(t_i\)看成是交易日期， \(B(t_{i+1}) - B(t_i)\)是证券价格变化， 将\(\xi_i\)看成是\((t_i, t_{i+1}]\)区间的持仓量， \(\xi_i\)可以依赖于\([0, t_i]\)的价格信息但不能依赖于\(t_i\)以后的价格信息， 则\(\int_0^t X(u) \,dB(u)\)是截止到\(t\)时刻的投资收益。 如果是公平市场且不考虑现金的时间价值因素， 投资收益应该期望不变， 具有鞅性质。

8.2.3.6 等距性

\[\begin{aligned} & \text{Var}\left( \int_0^t X(u) \,dB(u) \right) = E \left[ \left( \int_0^t X(u) \,dB(u) \right)^2 \right] \\ =& E \int_0^t X^2(u) \,du = \int_0^t E X^2(u) \,du . \end{aligned}\]

证明： 对\(t=T\)证明，对\(t \in [0,T]\)证明同理。

\[\begin{aligned} & \text{Var}\left( \int_0^T X(u) \,dB(u) \right) \\ =& E \left\{ \left( \sum_{i=0}^{n-1} \xi_i [B(t_{i+1}) - B(t_i)] \right)^2 \right\} \\ =& \sum_{i=0}^{n-1} E \left[ \xi_i^2 (B(t_{i+1}) - B(t_i))^2 \right] \\ & + 2 \sum_{i<j} E \left[ \xi_i \xi_j (B(t_{i+1}) - B(t_i)) (B(t_{j+1}) - B(t_j)) \right] . \end{aligned}\] 其中 \[\begin{aligned} & E \left[ \xi_i^2 (B(t_{i+1}) - B(t_i))^2 \right] \\ =& E \left\{ E \left[ \xi_i^2 (B(t_{i+1}) - B(t_i))^2 \,|\, \mathscr F(t_i) \right] \right\} \\ =& E \left\{ \xi_i^2 \, E \left[ (B(t_{i+1}) - B(t_i))^2 \,|\, \mathscr F(t_i) \right] \right\} \\ =& E \left\{ \xi_i^2 \, E \left[ (B(t_{i+1}) - B(t_i))^2 \right] \right\} \\ =& E(\xi_i^2) (t_{i+1} - t_i), \end{aligned}\] 而 \[\begin{aligned} & E \left[ \xi_i \xi_j (B(t_{i+1}) - B(t_i)) (B(t_{j+1}) - B(t_j)) \right] \\ =& E\left\{ E \left[ \xi_i \xi_j (B(t_{i+1}) - B(t_i)) \; (B(t_{j+1}) - B(t_j)) \,|\, \mathscr F(t_j) \right] \right\}\\ =& E\left\{ \xi_i \xi_j (B(t_{i+1}) - B(t_i)) \; E \left[ (B(t_{j+1}) - B(t_j)) \,|\, \mathscr F(t_j) \right] \right\}\\ =& 0, \end{aligned}\] 故 \[ \text{Var}\left( \int_0^T X(u) \,dB(u) \right) = \sum_{i=0}^{n-1} E(\xi_i^2) (t_{i+1} - t_i) . \]

注意到 \[ X^2(u) = \sum_{i=0}^{n-1} \xi_i^2 I_{(t_i, t_{i+1}]}(u) + \xi_0'^2 I_{\{0\}}(u), \] 所以 \[\begin{aligned} & \text{Var}\left( \int_0^T X(u) \,dB(u) \right) \\ =& \sum_{i=0}^{n-1} E(\xi_i^2) (t_{i+1} - t_i) \\ =& \int_0^T E X^2(u) \,du \\ =& E \sum_{i=0}^{n-1} \xi_i^2 (t_{i+1} - t_i) \\ =& E \int_0^T X^2(u) \,du . \end{aligned}\]

8.2.3.7 推广的等距性

设\(\{X(t)\}\), \(\{ Y(t)\}\)是可料阶梯过程， 对\(0 \leq s \leq t \leq T\)有 \[\begin{aligned} & \text{Cov}\left( \int_0^s X(u) \,dB(u), \, \int_0^t Y(u) \,dB(u) \right) \\ =& E \left( \int_0^s X(u) \,dB(u) \cdot \, \int_0^t Y(u) \,dB(u) \right) \\ =& E \int_0^s X(u) Y(u) \,du \\ =& \int_0^s E[X(u) Y(u)] \,du . \end{aligned}\]

证明： 存在\([0,T]\)的分割使得\(\{X(t)\}\), \(\{ Y(t)\}\)都可以用同一个分割写成可料阶梯过程表示， 从而\(X(t) + Y(t)\)也是简单可料过程。 令\(X(u)=0\)对\(u>s\), \(Y(u)=0\)对\(u>t\)， 由恒等式\(x y = \frac{1}{2}[(x+y)^2 - x^2 - y^2]\)可得 \[\begin{aligned} & E \left( \int_0^s X(u) \,dB(u) \cdot \, \int_0^t Y(u) \,dB(u) \right) \\ =& E \left( \int_0^T X(u) \,dB(u) \cdot \, \int_0^T Y(u) \,dB(u) \right) \\ =& \frac{1}{2} E \left\{ \left[ \int_0^T X(u) \,dB(u) + \int_0^T Y(u) \,dB(u)\right]^2 \right\} \\ & - \frac{1}{2} E \left\{ \left[ \int_0^T X(u) \,dB(u)\right]^2 \right\} \\ & - \frac{1}{2} E \left\{ \left[ \int_0^T Y(u) \,dB(u)\right]^2 \right\} \\ =& \frac{1}{2} E \left\{ \left[ \int_0^T (X(u) + Y(u)) \,dB(u) \right]^2 \right\} \\ & - \frac{1}{2} E \left\{ \left[ \int_0^T X(u) \,dB(u)\right]^2 \right\} \\ & - \frac{1}{2} E \left\{ \left[ \int_0^T Y(u) \,dB(u)\right]^2 \right\} \\ =& \frac{1}{2} \int_0^T E[(X(u) + Y(u))^2] \,du \\ & - \frac{1}{2} \int_0^T E[X^2(u)] \,du \\ & - \frac{1}{2} \int_0^T E[Y^2(u)] \,du \\ =& \int_0^T E[X(u) Y(u)] \,du . \end{aligned}\]

注意到\(X(u) Y(u)\)的表达式也是可料阶梯过程（不一定二阶矩有限）， \(E|X(u)Y(u)| \leq \| X(u) \| \cdot \| Y(u) \| < \infty\)， 所以 \(\int_0^T E[X(u) Y(u)] \,du = E \int_0^T X(u) Y(u) \,du\)。

8.2.4 被积函数为一般过程的随机积分

设\((\Omega, \mathscr F, P)\)是完备的概率空间， 随机过程的集合\(V\)定义为 \[\begin{aligned} V = \Bigg\{& \{X(t,\omega):\; t \geq 0, \omega \in \Omega \}:\; \{ X(t, \omega) \}\text{关于} \mathscr B([0,T]) \times \mathscr F \text{二元可测}, \\ & \text{关于} \mathscr F_t \text{适应}, \; \int_0^T E[ X^2(t,\omega) ] \,dt < \infty \Bigg\} . \end{aligned}\] 其中\(\{ \mathscr F_t, t \geq 0 \}\)为单调增\(\sigma\)代数流， \(\{B(t), \mathscr F_t, t \geq 0 \}\)适应， 且\(B(t) - B(s)\)与\(\mathscr F(s)\)独立对任意\(0 \leq s \leq t\)。 有些教材记\(V\)为\(\mathscr L_T^2\)或\(\mathscr L^2[0,T]\)。

在V中可以定义内积 \[ \langle X, Y \rangle = \int_0^T E[X(t) Y(t)] \,dt , \] 这使得\(V\)成为Hilbert空间（完备内积空间）， 导出模 \[ \| X \| = \left( \int_0^T E \left[ X^2(t,\omega) \right] \,dt \right)^{1/2} . \]

如果考虑\([0, \infty)\)上的过程， 可以将\(V\)的空间变成\(\int_0^T E[X^2(t, \omega)] \,dt < \infty\), \(\forall T > 0\)，并定义 \[ \| X \| = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} \min \left[1, \left( \int_0^n E \left[ X^2(t,\omega) \right] \,dt \right)^{1/2} \right] . \] 下面我们仅考虑定义在\([0,T]\)的过程。

因为要求\(X(t,\omega)\)二元可测， 所以非负可测函数\(X^2(t,\omega)\)是积分可交换的， 有： \[\begin{aligned} & \int_0^T E [X^2(t,\omega)] \,dt = \int_0^T \int_{\Omega} X^2(t,\omega) \,dP(\omega) \,dt \\ =& \int_{[0,T] \times \Omega} X^2(t,\omega) \,dt \,dP(\omega) \\ =& \int_{\Omega} \int_0^T X^2(t,\omega) \,dt \,dP(\omega) = E \left[ \int_0^T X^2(t,\omega) \,dt \right] . \end{aligned}\]

在对\(V\)中的被积函数可以定义Itô随机积分。

8.2.4.1 用可料简单过程逼近

引理8.1 对\(\{X(t,\omega)\} \in V\)， 存在可料阶梯过程\(\{\phi_n(t, \omega) \}\)使得\(\| \phi_n - X \| \to 0\)，即 \[ \int_0^T E \left[ |X(t,\omega) - \phi_n(t,\omega)|^2 \right] \,dt \to 0, \ n \to \infty . \]

证明参考(张波, 商豪, and 邓军 2020)， (钱敏平 1990)节8.2命题8.8， (龚光鲁 and 钱敏平 2019)节1.2 P.11命题1.5。

证明 分三个步骤逼近。

步骤一、 设\(\{ X \} \in V\)有界， 且对每个\(\omega \in \Omega\)，\(X(t,\omega)\)关于\(t\)连续。 则存在简单可料过程\(\{ \phi_n \}\)序列： \[ \phi_n(t,\omega) = \sum_{j=0}^{n-1} X(t_j, \omega) I_{(t_j, t_{j+1}]}(t), \] 易见\(\phi_n \in V\)，其中\(0 = t_0 < t_1 < \dots < t_n = T\)是\([0,T]\)的一个分割且\(n\to\infty\)时\(\delta_n = \max_j (t_{j+1} - t_j) \to 0\)。 对每个\(\omega \in \Omega\), \(n \to \infty\)时有 \[ \int_0^T (X - \phi_n)^2 \,dt \to 0 . \] 这是由于\(X(\cdot,\omega)\)连续则一致连续， 所以\(X - \phi_n\)一致地趋于0， 从而其平方的积分趋于0。

由于\(X\)有界故\((X-\phi_n)^2\)有界， 从而\(\int_0^T (X - \phi_n)^2 \,dt\)有界， 由概率论的有界收敛定理可知 \[ \lim_{n\to \infty} E \int_0^T (X - \phi_n)^2 \,dt = E \lim_{n\to \infty} \int_0^T (X - \phi_n)^2 \,dt = 0 . \]

步骤二、 设\(\{ X \} \in V\)有界（不要求关于\(t\)连续）。 设 \[ X(t,\omega) \leq M, \ \forall t, \omega . \] 定义 \[ h_n(t, \omega) = \int_0^t K_n(s-t) X(s,\omega) \,ds, \] 其中\(K_n(s)\)是\((-\infty, \infty)\)上的非负连续函数， 使得对\(s \notin (-\frac{1}{n}, 0)\)有\(K_n(s) = 0\)， 且\(\int_{-\frac{1}{n}}^0 K_n(s) \,ds = 1\)， 如 \[ K_n(s) = \begin{cases} 2n + 2n^2 , & s \in [-\frac{1}{n}, 0], \\ 0, & \text{其它} . \end{cases} \]

这样定义的\(h_n(\cdot,\omega)\)是对\(X(\cdot,\omega)\)的一个左侧局部平均（光滑）， 易见\(h_n(\cdot,\omega)\)连续， 且仍关于\(\mathscr F(t)\)适应。 由勒贝格平方可积空间的逼近性质可知对任意\(\omega\in\Omega\)都有 \[ \int_0^T (h_n(s,\omega) - X(s, \omega))^2 \,ds \to 0, \ n \to \infty . \] 由概率论的有界收敛定理可知 \[ E \int_0^T (h_n(s,\omega) - X(s, \omega))^2 \,ds \to 0, \ n \to \infty . \]

步骤三、 设\(\{X\} \in V\)。 这时，令 \[ X_n(t,\omega) = \begin{cases} -n, & \text{若} X(t,\omega) < -n, \\ X(t,\omega), & \text{若} -n \leq X(t,\omega) \leq n, \\ n, & \text{若} X(t,\omega) > n . \end{cases} \] 则\(X_n(t,\omega) \to X(t,\omega)\), \(n\to\infty\)。 这时\((X - X_n)^2\)有上界函数： \[\begin{aligned} & [X(t,\omega) - X_n(t,\omega)]^2 \\ =& [X(t,\omega) - X_n(t,\omega)]^2 I_{\{ |X(t,\omega) > n\}} \\ \leq& [2 X^2(t,\omega) + 2 X_n^2(t,\omega)] I_{\{ |X(t,\omega) > n\}} \\ \leq& 4 X^2(t,\omega) I_{\{ |X(t,\omega) > n\}} \\ \leq& 4 X^2(t,\omega) . \end{aligned}\] 因为\(E \int_0^T X^2(t,\omega) \,dt < \infty\)所以\(\int_0^T X^2(t,\omega) \,dt < \infty\)，a.s.， 由\(L^2[0,T]\)勒贝格平方可积空间的控制收敛定理可知 \[\begin{aligned} & \lim_{n\to\infty} \int_0^T [X(t,\omega) - X_n(t,\omega)]^2 \,dt \\ \leq& \lim_{n\to\infty} \int_0^T 4 X^2(t,\omega) I_{\{ |X(t,\omega) > n\}} \,dt \\ =& 0 , \text{ a.s.} \end{aligned}\] 因为\(E \left\{ \int_0^T 4 X^2(t,\omega) \,dt \right\} < \infty\)， 由概率论的控制收敛定理得 \[\begin{aligned} \lim_{n\to\infty} E \int_0^T [X(t,\omega) - X_n(t,\omega)]^2 \,dt = 0 . \end{aligned}\]

这样，由步骤三， 对\(\{ X \} \in V\)存在有界的\(\{ X_n \} \subset V\)， 使得 \[ E \int_0^T [X(t,\omega) - X_n(t,\omega)]^2 \,dt < \frac{1}{9n} . \]

由步骤二，对每个\(\{ X_n(t,\omega) \}\)， 存在有界且关于\(t\)连续的\(\{ h_n(t,\omega) \} \in V\)使得 \[ E \int_0^T [X_n(t,\omega) - h_n(t,\omega)]^2 \,dt < \frac{1}{9n} . \]

由步骤一，对每个\(\{h_n(t,\omega) \}\)存在可料阶梯过程\(\{ \phi_n(t,\omega) \} \in V\)使得 \[ E \int_0^T [h_n(t,\omega) - \phi_n(t,\omega)]^2 \,dt < \frac{1}{9n} . \]

这样，由于 \[\begin{aligned} \,[X - \phi_n]^2 \leq 3 [X - X_n]^2 + 3[X_n - h_n]^2 + 3[h_n - \phi_n]^2, \end{aligned}\] 就有 \[ E \int_0^T [X(t,\omega) - \phi_n(t,\omega)]^2 \,dt \leq \frac{1}{n} \to 0, \ n \to \infty . \] 注意到 \[ E \int_0^T [X(t,\omega) - \phi_n(t,\omega)]^2 \,dt = \int_0^T E [X(t,\omega) - \phi_n(t,\omega)]^2 \,dt , \] 引理证毕。

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注：对\(V\)中的过程\(X\)， 存在“可料修正”\(\tilde X\)， 使得\(P(\tilde X_t = X_t) = 1\), \(\forall t \in [0,T]\)， 且\(\tilde X(t)\)左连续。 所以可以认为\(V\)中的过程都是左连续的。

8.2.4.2 伊藤随机积分定义

定义8.3 (伊藤积分) 对\(X \in V\)， 设可料简单过程\(\phi_n\)使得\(\int_0^T E |\phi_n - X|^2 \,dt \to 0\)， 定义伊藤(Itô)积分\(\int_0^T X(t, \omega) \,dB(t)\)为\(\int_0^T \phi_n(t, \omega) \,dB(t)\)的均方极限。

定理8.1 上述伊藤积分存在且不依赖于\(\phi_n\)的选取， 不同\(\phi_n\)得到的均方极限必a.s.相等。

证明 由可料简单函数的伊藤积分的线性性质和等距性， \[\begin{aligned} & E \left| \int_0^T \phi_n(t) \,dB(t) - \int_0^T \phi_m(t) \,dB(t) \right|^2 \\ =& E \left| \int_0^T [\phi_n(t) - \phi_m(t)] \,dB(t) \right|^2 \\ =& \int_0^T E |\phi_n(t) - \phi_m(t)|^2 \,dt \\ \leq& 2 \int_0^T E | \phi_n(t) - X(t) |^2 \,dt + 2 \int_0^T E | \phi_m(t) - X(t) |^2 \,dt \\ \to& 0, \ n, m \to \infty, \end{aligned}\] 所以\(\int_0^T \phi_n(t) \,dB(t)\)是\(L^2(\Omega, \mathscr F, P)\)（即\((\Omega, \mathscr F, P)\)中所有二阶矩有限随机变量组成的Hilbert空间）中的基本列， 所以有极限且极限有二阶矩。 这里利用了非负可测函数的积分与期望可交换次序。

设\(\phi_n, \psi_n\)都可以逼近\(X\)， 则类似地有 \[\begin{aligned} & E \left| \int_0^T \phi_n(t) \,dB(t) - \int_0^T \psi_n(t) \,dB(t) \right|^2 \\ =& E \left| \int_0^T [\phi_n(t) - \psi_n(t)] \,dB(t) \right|^2 \\ =& \int_0^T E |\phi_n(t) - \psi_n(t)|^2 \,dt \\ \leq& 2 \int_0^T E | \phi_n(t) - X(t) |^2 \,dt + 2 \int_0^T E | \psi_n(t) - X(t) |^2 \,dt \\ \to& 0, \ n \to \infty, \end{aligned}\] 由\(L^2(\Omega, \mathscr F, P)\)中内积的连续性和上式可知， \[\begin{aligned} & \lim_{n\to\infty} E \left| \int_0^T \phi_n(t) \,dB(t) - \int_0^T \psi_n(t) \,dB(t) \right|^2 \\ =& E \left| \lim_{n\to\infty} \int_0^T \phi_n(t) \,dB(t) - \lim_{n\to\infty} \int_0^T \psi_n(t) \,dB(t) \right|^2 \\ =& 0, \end{aligned}\] 即\(\int_0^T \phi_n(t) \,dB(t)\)和\(\int_0^T \psi_n(t) \,dB(t)\)的\(L^2\)极限a.s.相等。

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8.2.4.3 伊藤随机积分定义推广

可以放松\(V\)中对\(\int_0^T E [X^2(t,\omega)] \,dt < \infty\)的要求， 仅要求\(\int_0^T X^2(t,\omega) \,dt < \infty\), a.s.， 这样的适应过程的空间记为\(V^*\)， 可以在\(V^*\)上定义伊藤随机积分。 有些教材记\(V^*\)为\(\mathscr L^{2,\text{loc}}[0,T]\)。 进一步将对固定\(T\)的限制去掉， 令 \[\begin{aligned} V^* = \Bigg\{& \{X(t,\omega):\; t \geq 0, \omega \in \Omega \}:\; \{ X(t, \omega) \}\text{关于} \mathscr B([0,\infty)) \times \mathscr F \text{二元可测}, \\ & \text{关于} \mathscr F_t \text{适应}, \; \int_0^T X^2(t,\omega) \,dt < \infty, \text{ a.s.}, \forall T>0 \Bigg\} . \end{aligned}\]

伊藤随机积分的另一定义为： 设\(\{X(t)\} \in V^*\)， 对\([0,T]\)的分割\(0 = t_0 < t_1 < \dots < t_n = T\)， 满足\(\lim_{n\to\infty} \max_j (t_{j+1} - t_j) = 0\)， 如果 \[ \sum_{j=0}^{n-1} X(t_j, \omega) [B(t_{j+1} - B(t_j))] \] 均方极限存在且不依赖于分割的选取， 则定义极限为伊藤积分\(\int_0^T X(t,\omega) \,dB(t)\)。

命题8.1 若\(Z \sim \text{N}(0, 1)\)， 则 \[ E e^{u Z^2} = \begin{cases} (1 - 2 u)^{-\frac{1}{2}}, & 0 < u < \frac{1}{2}, \\ +\infty, & u \geq \frac{1}{2} . \end{cases} \]

证明: \[\begin{aligned} E(e^{u Z^2}) =& \int_{-\infty}^\infty e^{u z^2} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} z^2} \,dz \\ =& \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}(1 - 2u) z^2} \,dz, \end{aligned}\] 当\(u \geq \frac{1}{2}\)时 \[ E(e^{u Z^2}) \geq \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot 1 \,dz = +\infty, \] 当\(0 < u < 1\)时， \[\begin{aligned} E(e^{u Z^2}) =& (1 - 2u)^{-1/2} \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi} (1 - 2u)^{-1/2}} \exp\{ -\frac{1}{2} \frac{z^2}{(1 - 2u)^{-1}} \} \,dz \\ =& (1 - 2u)^{-1/2} . \end{aligned}\]

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例8.1 设\(f\)是连续函数， 考虑\(\int_0^1 f(B(t)) \,dB(t)\). 因为\(B(t)\)有连续的路径， 所以\(f(B(t))\)也在\([0,1]\)上连续, 从而\(\int_0^1 f(B(t)) dB(t)\)有定义. 然而根据\(f\)的不同， 这个积分可以有(或没有)有限的矩. 例如：

(1) 取\(f(t)=t\), 则由于 \[ \int_0^1 E[B^2(t)] \,dt = \int_0^1 t \,dt = \frac{1}{2} < \infty, \] 所以被积函数\(B(t) \in V\)， 于是\(E[\int_0^1 B(t) dB(t)] = 0\)， 并且由Itô积分的等距性有 \[ E \left [ \int_0^1 B(t) \, dB(t) \right]^2 =\int_0^1 E[B^2(t)] \,dt = \frac{1}{2} . \]

实际上， 可以利用定义计算出\(\int_0^t B(u) \, dB(u)\)。 将\([0, t]\)等分为\(n\)段， 取\(B(u)\)的可料简单过程逼近， 在每一段\((t_i, t_{i+1}]\)用左端点的值\(B(t_i)\)代表， 用下面的随机积分逼近\(\int_0^t B(u) \, dB(u)\): \[\begin{aligned} \sum_{i=0}^{n-1} B(t_i)[B(t_{i+1}) - B(t_i)] . \end{aligned}\] 其中\(t_i = \frac{i}{n}\)，简记\(B_i = B(t_i)\)。 注意\(B_0 = B(0) = 0\), \(B_n = B(t)\)，且 \[\begin{aligned} & \frac{1}{2} \sum_{i=0}^{n-1} [B_{i+1} - B_i]^2 \\ =& \frac{1}{2} \sum_{i=0}^{n-1} B_{i+1}^2 + \frac{1}{2} \sum_{i=0}^{n-1} B_{i}^2 - \frac{1}{2} \sum_{i=0}^{n-1} B_{i} B_{i+1} \\ =& \frac{1}{2} B_n^2 + \sum_{i=0}^{n-1} B_{i}^2 - \frac{1}{2} \sum_{i=0}^{n-1} B_{i} B_{i+1} \\ =& \frac{1}{2} B^2(t) + \sum_{i=0}^{n-1} B_i [B_{i} - B_{i+1}], \end{aligned}\] 从而 \[\begin{aligned} & \sum_{i=0}^{n-1} B_i [B_{i+1} - B_{i}] \\ =& \frac{1}{2} B^2(t) - \frac{1}{2} \sum_{i=0}^{n-1} [B_{i+1} - B_i]^2 \\ \to& \frac{1}{2} B^2(t) - \frac{1}{2} [B,B](t) = \frac{1}{2} B^2(t) - \frac{1}{2} t . \end{aligned}\] 即 \[ \int_0^t B(u) \, dB(u) = \frac{1}{2} B^2(t) - \frac{1}{2} t . \]

在第8.4中我们将用Itô公式直接算出这个结果。

(2) 取\(f(t)=e^{t^2}\)， 此时考虑\(\int^1_0 e^{B^2(t)} dB(t)\). 令\(X(t) = e^{B^2(t)}\)， 则 \[ \int_0^1 X^2(t) \,dt = \int_0^1 e^{2 B^2(t)} \,dt < \infty, \text{ a.s.}, \] 这是因为被积函数轨道连续。 于是，\(\{X(t) \} \in V^*\)， 随机积分\(\int^1_0 e^{B^2(t)} dB(t)\)存在。 但是， \[ E[e^{2 B^2(t)}] = E[e^{2 t Z^2}] = \begin{cases} (1 - 4t), & 0 < t < \frac{1}{4}, \\ +\infty, & t \geq \frac{1}{4}, \end{cases} \] 所以\(\{ X(t) \} \notin V\)， \(E\left( \int^1_0 e^{B^2(t)} dB(t) \right)^2 = \infty\)。

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例8.2 求积分\(J = \int_0^1 t \,d B(t)\)的均值与方差.

解： 因为\(t^2\)是\([0,1]\)上的连续函数所以\(\int_0^1 t^2 \,dt < \infty\)， \(X(t) = t\)非随机， 必为\(\{ \mathscr F_t \}\)适应的（取常数值的随机变量关于任一\(\sigma\)代数可测）， 即有\(\{ X(t) \} \in V\)， 从而由Itô积分性质有\(E[J]=0\), \[ E[J^2] = \int_0^1 t^2 dt = \frac{1}{3} . \]

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例8.3 求使得积分\(\int_0^1 (1-t)^{-\alpha} \,d B(t)\)满足\(V\)中被积函数条件的\(\alpha\)的值.

解： 取\(\alpha\)令 \[ \int_0^1 (1-t)^{-2\alpha} \,dt < \infty, \] 这个积分的瑕点是\(t=1\)， 只要\(\alpha <\frac{1}{2}\)， 这时被积函数属于\(V\)。

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8.2.4.4 Itô积分不是黎曼-斯蒂尔杰斯积分

例8.4 当\(f(t)\)为非随机连续可微函数时， \(\int_a^b f(t) \,d B(t)\)与轨道的黎曼-斯蒂尔杰斯积分相同， 尽管\(B(t)\)的轨道不是有界变差的。 如果\(f(t)\)是随机过程， 则因为\(\{B(t), t \geq 0 \}\)的处处连续但处处不可微， 所以轨道的黎曼-斯蒂尔杰斯积分可能不存在。 给出反例。

证明： 设\(\{ \xi(t), t \geq 0 \}\)为随机过程， 则沿轨道定义的黎曼-斯蒂尔杰斯积分\(\int_a^b \xi(t) \,d B(t)\)不一定存在。 例如，考虑 \[ \int_0^t B(s) \,d B(s) . \]

按照黎曼-斯蒂尔杰斯积分， 应该取\([0,t]\)的分割\(0=t_0 < t_1 < \dots < t_n = t\)， 使得最大区间间距\(\delta_n \to 0\)， 可任取\(t_i^* \in [t_i, t_{i+1}]\)构造达布和 \[ S_n = \sum_{i=0}^n B(t_i^*)(B(t_{i+1}) - B(t_i)), \] 达布和收敛到积分， 且不依赖于\(t_i^*\)的具体选取。令 \[\begin{aligned} S_n = \sum_{i=0}^{n-1} B(t_i)(B(t_{i+1}) - B(t_i)), \\ S_n' = \sum_{i=0}^{n-1} B(t_{i+1})(B(t_{i+1}) - B(t_i)), \end{aligned}\] 则\(n \to \infty\)时 \[ \| S_n - S_n' \|^2 = \left\| \sum_{i=0}^{n-1} (B(t_{i+1}) - B(t_i))^2 \right\|^2 \to t \neq 0, \] 说明黎曼-斯蒂尔杰斯积分不存在。 所以在伊藤积分中\(t_i^*\)固定地取为区间的左端点\(t_i\)， 这可以保证伊藤积分过程的鞅性。

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8.3 Itô积分定义的鞅

设\(\{B(t), \mathscr F(t), t \geq 0 \}\)为适应的标准布朗运动， \(B(t) - B(s)\)与\(\mathscr F(s)\)独立(\(\forall t \geq s \geq 0\))。 设\(\{ X(t,\omega) \} \in V\)， \[ Y(t,\omega) = \int_0^t X(s,\omega) \,dB(s), \ t \in [0,T], \] \(\{ Y(t, \omega), t \in [0,T]\}\)为随机过程， 此随机过程有如下性质：

性质：

• (1) 适应性：\(\{ Y(t), \mathscr F(t), t \in [0,T] \}\)是适应过程。
• (2) 零均值：对\(X \in V\)有\(EY(t) = 0\)。
• (3) 线性性质：对\(\alpha_1, \alpha_2 \in \mathbb R\), \(\xi, \eta \in V\)， 有\(\int_0^T (\alpha_1 \xi + \alpha_2 \eta) \,dB(t) = \alpha_1 \int_0^T \xi \,dB(t) + \alpha_2 \int_0^T \eta \,dB(t)\)。
• (4) 等距性：\(E \left[\int_0^T X \,dB(t)\right]^2 = \int_0^T EX^2 \,dt\)。
• (5) 推广的等距性：对\(\xi, \eta \in V\) 有\(E \left[ \int_0^T \xi(t) \,dB(t) \; \int_0^T \eta(t) \,dB(t)\right] = \int_0^T E(\xi(t) \eta(t)) \,dt\)。
• (6) 鞅性：\(\{ Y(t), \mathscr F(t), t \in [0,T] \}\)是鞅。
• (7) 轨道连续性：存在轨道连续的\(\{ Z(t), t \in [0,T] \}\)使得\(P(Y(t) = Z(t))=1\)， \(\forall t \in [0,T]\)(即\(Y\)的修改)。 可以认为\(\{ Y(t)\}\)轨道连续。

8.3.1 鞅性

关于Itô积分过程的鞅性质：

定理8.2 设\(\{ X(t) \}\in V\)， 对\(0 \leq s < t\)，\(B(t) - B(s)\)与\(\mathscr F(s)\)独立， 则 \[ Y(t) = \int_0^t X(s) dB(s), \ 0 \leq t \leq T, \] 是零均值的连续的二阶矩有界的鞅.

证明： 零均值用可料阶梯过程逼近可得。 连续性证明略去。

关于二阶矩有界， 由等距性， \[ E \left( \int_0^t X(u) \,dB(u) \right)^2 = \int_0^t E[X^2(u)] \,du \leq \int_0^T E[X^2(u)] \,du < \infty, \] 故二阶矩有界。

来证明鞅性。 对\(\{X(t)\}\)存在可料阶梯过程\(\phi_n(t)\)使得 \[\begin{aligned} & \int_0^T E |X(t) - \phi_n(t) |^2 \,dt \to 0 \ (n \to \infty), \\ & E \left| \int_0^t X(t) \,dB(t) - \int_0^t \phi_n(t) \,dB(t) \right|^2 \to 0, \ (n \to \infty) , \forall 0 < t \leq T. \end{aligned}\]

对\(0 \leq s < t \leq T\)， \(\forall A \in \mathscr F_s\), \[\begin{aligned} &\left| E \left\{ I_A \int_0^t X(u) \,dB(u) \right\} - E \left\{ I_A \int_0^t \phi_n(u) \,dB(u) \right\} \right| \\ =& \left| E \left\{ I_A \int_0^t [X(u) - \phi_n(u)] \,dB(u) \right\} \right| \\ \leq& \left(E I_A^2 \right)^{1/2} \left( \int_0^t E [X(u) - \phi_n(u)]^2 \,du \right)^{1/2} \\ \leq& \left( P(A) \right)^{1/2} \left( \int_0^T E [X(u) - \phi_n(u)]^2 \,du \right)^{1/2} \\ \to& 0 . \end{aligned}\] 同理上面\(t\)替换成\(s\)时也成立。 由可料阶梯过程的Itô积分的鞅性（见8.2.3.5）， 有 \[ E \left( \int_0^t \phi_n(u) \,dB(u) | \mathscr F_s \right) = \int_0^s \phi_n(u) \,dB(u), \] 于是 \[\begin{aligned} & E \left( I_A \int_0^t \phi_n(u) \,dB(u) \right) \\ =& E \left\{ E \left( \left. I_A \int_0^t \phi_n(u) \,dB(u) \right| \mathscr F_s \right) \right\} \\ =& E \left\{ I_A E \left( \left. \int_0^t \phi_n(u) \,dB(u) \right| \mathscr F_s \right) \right\} \\ =& E \left\{ I_A \int_0^s \phi_n(u) \,dB(u) \right\}, \end{aligned}\] 上式左侧趋于\(E \left( I_A \int_0^t X(u) \,dB(u) \right)\), 右侧趋于\(E \left( I_A \int_0^s X(u) \,dB(u) \right)\), 所以有 \[ E \left( I_A \int_0^t X(u) \,dB(u) \right) = E \left( I_A \int_0^s X(u) \,dB(u) \right), \ \forall A \in \mathscr F_s, \ 0 \leq s < t . \] 即 \[ E \left( \left. \int_0^t X(u) \,dB(u) \right| \mathscr F_s \right) = \int_0^s X(u) \,dB(u), \ 0 \leq s < t . \] 得证。

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推论8.1 对任意有界的Borel可测函数\(f\), \(\int_0^t f(B(s)) \,dB(s)\)是零均值、轨道连续、二阶矩有界的鞅.

证明 \(X(t)=f(B(t))\)是可测适应的, 并且由\(f\)的有界性可知存在常数\(K>0\)使得\(|f(x)|<K\), 于是\(\int_0^T E[f^2(B(s))] \,ds \leq K^2 T < \infty\). 由定理8.2可得结论。

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8.3.2 非随机被积函数时的高斯过程

上述定理提供了构造鞅的方法. 在节8.2中我们已经证明， 非随机的阶梯函数的Itô积分是正态分布的随机变量. 更一般地，我们有下述定理.

定理8.3 如果\(g(t)\)非随机的函数， 且\(\int_0^T g^2(s) \,ds < \infty\)， 则 \[ Y(t) = \int_0^t g(s) \,dB(s), \ 0 \leq t \leq T \] 是高斯过程， 其均值函数为零，协方差函数为 \[ \text{Cov}(Y(t), \; Y(t + u)) = \int_0^t g^2(s) \,ds, \ 0 \leq t \leq t+u \leq T . \] \(\{Y(t)\}\)也是二阶矩有界的轨道连续的鞅.

证明： 关于\(\{ Y(t) \}\)是高斯过程， 可以用阶梯函数逼近\(g(t)\)， 用阶梯函数的随机积分逼近\(g(t)\)的随机积分， 利用正态分布的极限分布为正态分布， 以及有限维分布服从多元正态分布， 当且仅当其任意线性组合服从一元正态分布。 具体证明略。

因为被积函数是非随机的， 所以 \[ \int_0^t E[g^2(s)]ds = \int_0^t g^2(s) ds < \infty . \] 由定理8.2知\(Y\)为零均值、轨道连续、二阶矩有界的鞅。

为计算协方差函数，利用鞅性得 \[\begin{aligned} & \text{Cov}(Y(t),Y(t+u)) \\ =& E\left[ \int_0^t g(s) \,dB(s) \cdot \int_0^{t+u} g(s) \,dB(s) \right] \\ =& E\left[ E \left( \left. \int_0^t g(s) \,dB(s) \cdot \int_0^{t+u} g(s) \,dB(s) \right| {\mathscr F}_t \right) \right] \\ =& E\left[ \left. \int_0^t g(s) \,dB(s) \cdot E \left( \int_0^{t+u} g(s) \,dB(s) \right| {\mathscr F}_t \right) \right] \\ =& E\left[ \int_0^t g(s) \,dB(s) \int_0^{t} g(s) \,dB(s) \right] \\ =& E\left[ \int_0^t g(s) \,dB(s) \right]^2 \\ =& \int_0^t E[g^2(s)] \, ds = \int_0^t g^2(s) \,ds . \end{aligned}\] 证毕。

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证明也可参见(Shreve 2004)定理4.4.9和例4.7.3。

例8.5 根据定理8.3可得\(J = \int_0^t s dB(s) \sim N(0, \frac{t^3}{3})\).

定理8.4 设\(\{ X(t) \}\in V^*\)， 对\(0 \leq s < t\)，\(B(t) - B(s)\)与\(\mathscr F(s)\)独立， \[ Y(t) = Y(0) + \int_0^t X(s) dB(s), \ 0 \leq t \leq T, \] 如果\(Y(t) \geq 0\), \(\forall t \in [0,T]\)， 则\(\{Y(t), \mathscr F(t), t \in [0,T] \}\)是上鞅； 如果进一步地\(E[Y(t)] = c\)不依赖于\(t\), 则\(\{ Y(t), \mathscr F(t), t \in [0,T] \}\)是鞅。

证明略， 参见(Glasserman 2004)定理B.3.1。

8.3.3 二次变差

下面讨论Itô积分的二次变差.

定义8.4 设\(Y(t) = \int_0^t X(s) \,dB(s)\), \(0 \leq t \leq T\)是Itô积分， 如果在依概率收敛的意义下，极限 \[ \lim_{\delta_n \to 0} \sum_{i=0}^{n-1} | Y(t_{i+1}^n) - Y(t_i^n)|^2 \] 当\(\{ t^n_i \}_{i=0}^n\)遍取\([0,t]\)的分割， 且其模\(\delta_n = \max_{0 \leq i \leq n-1}(t^n_{i+1} - t^n_i) \to 0\) 时存在， 则称此极限为\(Y\)的二次变差， 记为\([Y,Y](t)\).

定理8.5 设\(Y(t) = \int_0^t X(s) \,dB(s)\), \(0 \leq t \leq T\)是Itô积分过程， 则\(Y\)的二次变差为 \[ [Y,Y](t) = \int_0^t X^2(s) \,ds . \]

证明： 这里仅考虑\(\{ X(s) \}\)为可料阶梯过程的情形， 对一般情形，我们可以用可料阶梯过程逼近的方法得到。

不妨假定\(X(s)\)在\([0,T]\)上只取两个不同的值, 取任意有限多个值的情形可类似证之. 为简单起见， 设\(T=1\)， \(X(t)\)在\([0,1/2]\)上取\(\xi_0\)， 在\((1/2,1]\)上取\(\xi_1\)，即 \[ X(t) = \xi_0 I_{[0, \frac{1}{2}]}(t) + \xi_1 I_{(\frac{1}{2}, 1]}(t) . \]

于是 \[\begin{aligned} Y(t) =& \int_0^t X(s) \,dB(s) \\ =& \begin{cases} \xi_0 B(t), & \text{若} 0 \leq t \leq \frac{1}{2} \\ \xi_0 B(\frac{1}{2}) + \xi_1 (B(t) - B(\frac{1}{2})), & \text{若} \frac{1}{2} < t \leq 1 . \end{cases} \end{aligned}\]

因此，对\([0,t]\)的任何分割，有 \[ Y(t_{i+1}^n) - Y(t_i^n) = \begin{cases} \xi_0 (B(t_{i+1}^n) - B(t_i^n)) & \text{当} t_i^n < t_{i+1}^n \leq \frac{1}{2} \\ \xi_1 (B(t_{i+1}^n) - B(t_i^n)) & \text{当} \frac{1}{2} \leq t_i^n < t_{i+1}^n \leq 1 . \end{cases} \] 当\(t \leq \frac{1}{2}\)时， \[\begin{aligned} {}[Y,Y](t) =& \lim_{n\to\infty} \sum_{i=0}^{n-1} ( Y(t_{i+1}^n) - Y(t_i^n))^2 \\ =& \xi_0^2 \lim_{n\to\infty} \sum_{i=0}^{n-1} (B(t_{i+1}^n) - B(t_i^n))^2 \\ =& \xi_0^2 [B,B](t) = \xi_0^2 t = \int_0^t X^2(s) ds . \end{aligned}\]

当\(t > \frac{1}{2}\)时， \[\begin{aligned} {}[Y,Y](t) =& \lim_{n\to\infty} \sum_{i=0}^{n-1} (Y(t_{i+1}^n) - Y(t_i^n))^2 \\ =& \xi_0^2 \lim_{n\to\infty} \sum_{t_i < \frac{1}{2}} (B(t_{i+1}^n) - B(t_i^n))^2 + \xi_1^2 \lim_{n\to\infty} \sum_{t_i > \frac{1}{2}} (B(t_{i+1}^n) - B(t_i^n))^2 \\ =& \xi_0^2 [B,B](\frac{1}{2}) + \xi_1^2 [B,B] ((\frac{1}{2}, t]) =\int_0^t X^2(s) \,ds. \end{aligned}\] 这里的极限都是当\(\delta_n \to 0\)时在依概率收敛意义下的极限.

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对同一个布朗运动\(\{ B(t) \}\)关于两个不同被积函数的Itô积分 \[ Y_1(t) = \int_0^t X_1(s) \,dB(s), \quad Y_2(t) = \int_0^t X_2(s) \,dB(s), \] 由于 \[ Y_1(t) + Y_2(t) = \int_0^t (X_1(s) + X_2(s)) \,dB(s) , \] 我们可以定义\(Y_1\)和\(Y_2\)的二次协变差: \[ [Y_1, Y_2](t) = \frac{1}{2}\left( [Y_1 + Y_2, Y_1 + Y_2](t) - [Y_1, Y_1](t) - [Y_2, Y_2](t) \right) . \] 由定理8.5，有 \[ [Y_1, Y_2](t) = \int_0^t X_1(s) X_2(s) \,ds. \]

二次协变差也可以定义为 \[ [Y_1, Y_2](t) = \lim_{\delta_n \to 0} \sum_{i=0}^{n-1} [Y_1(t_{i+1}^n) - Y_1(t_{i}^n)] [Y_2(t_{i+1}^n) - Y_2(t_{i}^n)], \] 其中极限为依概率极限。

事实上， \[\begin{aligned} & \lim_{\delta_n \to \infty} \sum_{i=0}^{n-1} [Y_1(t_{i+1}^n) - Y_1(t_{i}^n)] [Y_2(t_{i+1}^n) - Y_2(t_{i}^n)] \\ =& \frac{1}{2} \lim_{\delta_n \to 0} \sum_{i=0}^{n-1} \left\{ [Y_1(t_{i+1}^n) - Y_1(t_{i}^n) + Y_2(t_{i+1}^n) - Y_2(t_{i}^n)]^2 \right. \\ & \left. - [Y_1(t_{i+1}^n) - Y_1(t_{i}^n)]^2 - [Y_2(t_{i+1}^n) - Y_2(t_{i}^n)]^2 \right\} \\ =& \frac{1}{2} \left\{ \lim_{\delta_n \to 0} \sum_{i=0}^{n-1} [(Y_1(t_{i+1}^n) + Y_2(t_{i+1}^n)) - (Y_1(t_{i}^n) + Y_2(t_{i}^n))]^2 \right. \\ & - \lim_{\delta_n \to 0} \sum_{i=0}^{n-1} [Y_1(t_{i+1}^n) - Y_1(t_{i}^n)]^2 \\ & \left . - \lim_{\delta_n \to 0} \sum_{i=0}^{n-1} [Y_2(t_{i+1}^n) - Y_2(t_{i}^n)]^2 \right\} \\ =& \frac{1}{2} \{ [Y_1 + Y_2, Y_1 + Y_2](t) - [Y_1, Y_1](t) - [Y_2, Y_2](t) \} . \end{aligned}\]

8.4 Itô公式

Itô公式，随机分析中的变量替换公式或链锁法则， 是随机分析中的一个主要工具， 许多重要的公式， 例如Dynkin公式，Feynman-Kac公式以及分部积分公式，都是由Itô公式导出的.

问题：设\(f(\cdot)\)为可微函数， 是否有 \[ f(B(T)) - f(0) = \int_0^T f'(B(u)) \,d B(u) ? \] 可以证明这个公式不成立。 Itô公式则是解决了类似的问题。

8.4.1 布朗运动微分的运算

因为布朗运动在\([0,t]\)上的二次变差为\(t\)， 即在依概率收敛的意义下 \[ \lim_{\delta_n \to 0} \sum_{i=0}^{n-1} [B(t_{i+1}^n) - B(t_i^n)]^2 = t , \] 这里\(\{t_i^n\}\)是\([0,t]\)的分割， \(\delta_n = \max_{0 \leq i \leq n-1}(t_{i+1}^n - t_i^n)\), 上式从形式上可表示为 \[ \int_0^t \,[dB(s)]^2 =\int_0^t \,ds = t , \] 或 \[ [dB(t)]^2 = dt . \]

上面结果的严格意义为以下定理.

定理8.6 设\(g(x)\)是\(\mathbb R\)上的连续函数， 满足\(\int_0^T E[g^2(B(u))] \,du < \infty\)， \(\{t_i^n\}\)是\([0,t]\)的分割， 则对\(B(t_i^n)\)和\(B(t_{i+1}^n)\)之间的任意值\(\theta_i^n\)， 依概率收敛意义下有 \[\begin{equation} \lim_{\delta_n \to 0} \sum_{i=0}^{n-1} g(\theta_i^n) [B(t_{i+1}^n) - B(t_i^n)]^2 = \int_0^t g(B(s)) \, ds . \tag{8.5} \end{equation}\] 可以将结论记作 \[ [d B(t)]^2 = dt . \]

证明： 首先取\(\theta_i^n = B(t_i^n)\)， 由\(g(x)\)的连续性和\(B(s)\)的轨道连续性可知\(g(B(s))\)的轨道a.s.地可积， 按黎曼积分定义有 \[\begin{equation} \sum_{i=0}^{n-1} g(B(t_i^n)) (t_{i+1}^n - t_i^n) \to \int_0^t g(B(s)) \, ds , \text{ a.s.} \tag{8.6} \end{equation}\] 存在有限。 这个极限是a.s.收敛， 也依概率收敛。

我们来证明 \[\begin{equation} \left\| \sum_{i=0}^{n-1} g(B(t_i^n)) (B(t_{i+1}^n) - B(t_i^n))^2 - \sum_{i=0}^{n-1} g(B(t_i^n)) (t_{i+1}^n - t_i^n) \right\|^2 \to 0 \ (n \to \infty) , \tag{8.7} \end{equation}\] 这样， \(\sum_{i=0}^{n-1} g(B(t_i^n)) (B(t_{i+1}^n) - B(t_i^n))^2\)与\(\sum_{i=0}^{n-1} g(B(t_i^n)) (t_{i+1}^n - t_i^n)\)有相同的依概率极限， 由(8.6)和(8.7)就可知 \[\begin{equation} \sum_{i=0}^{n-1} g(B(t_i^n)) (B(t_{i+1}^n) - B(t_i^n))^2 \to \int_0^t g(B(s)) \, ds, \tag{8.8} \end{equation}\] 其中的极限是依概率收敛。

记\(\Delta B_i = B(t_{i+1}^n) - B(t_i^n)\), \(\Delta t_i = t_{i+1}^n - t_i^n\)， 则由布朗运动的独立增量性可知\(\Delta B_j\)与\(\mathscr F_{t_j}\)独立，有 \[\begin{aligned} & E \{g(B(t_{i}^n)) g(B(t_{j}^n)) \; [(\Delta B_i)^2 - \Delta t_i] \; [(\Delta B_j)^2 - \Delta t_j] \} \\ =& E \left\{ E \left( g(B(t_{i}^n)) g(B(t_{j}^n)) [(\Delta B_i)^2 - \Delta t_i] [(\Delta B_j)^2 - \Delta t_j] \;|\; \mathscr F_{t_j} \right) \right\} \\ =& E \left\{ g(B(t_{i}^n)) [(\Delta B_i)^2 - \Delta t_i] g(B(t_{j}^n)) \; E \left( [(\Delta B_j)^2 - \Delta t_j] \;|\; \mathscr F_{t_j} \right) \right\} \\ =& E \left\{ g(B(t_{i}^n)) [(\Delta B_i)^2 - \Delta t_i] g(B(t_{j}^n)) \; E [(\Delta B_j)^2 - \Delta t_j] \right\} \\ &= 0, \ \forall i < j, \end{aligned}\] 于是 \[\begin{aligned} & E\left[ \sum_{i=0}^{n-1} g(B(t_i^n)) [(\Delta B_i)^2 - \Delta t_i] \right]^2 \\ =& E\left( \sum_{i=0}^{n-1} g^2(B(t_i^n)) [(\Delta B_i)^2 - \Delta t_i]^2 \right) \\ & + 2 \sum_{i < j} E\left( g(B(t_i^n)) g(B(t_j^n)) [(\Delta B_i)^2 - \Delta t_i] [(\Delta B_j)^2 - \Delta t_j] \right) \\ =& E\left( \sum_{i=0}^{n-1} g^2(B(t_i^n)) [(\Delta B_i)^2 - \Delta t_i]^2 \right) + 0 \\ =& \sum_{i=0}^{n-1} E\left( g^2(B(t_i^n)) [(\Delta B_i)^2 - \Delta t_i]^2 \right) \\ =& \sum_{i=0}^{n-1} E \left\{ E\left( g^2(B(t_i^n)) [(\Delta B_i)^2 - \Delta t_i]^2 \;|\; \mathscr F_{t_i} \right) \right\} \\ =& \sum_{i=0}^{n-1} E \left\{ g^2(B(t_i^n)) E\left( [(\Delta B_i)^2 - \Delta t_i]^2 \;|\; \mathscr F_{t_i} \right) \right\} \\ =& \sum_{i=0}^{n-1} E \left\{ g^2(B(t_i^n)) E\left( [(\Delta B_i)^2 - \Delta t_i]^2 \right) \right\}, \end{aligned}\] 其中\(\Delta B_i \sim \text{N}(0, \Delta t_i)\)， 令\(\Delta B_i = \sqrt{\Delta t_i} Z\)， \(Z \sim \text{N}(0,1)\)，可得 \[\begin{aligned} E\left( [(\Delta B_i)^2 - \Delta t_i]^2 \right) =& (\Delta t_i)^2 E(Z^2 - 1)^2 \\ =& (\Delta t_i)^2 (E Z^4 - 2 EZ^2 + 1) = 2 (\Delta t_i)^2 . \end{aligned}\] 从而 \[\begin{aligned} & E\left[ \sum_{i=0}^{n-1} g(B(t_i^n)) [(\Delta B_i)^2 - \Delta t_i] \right]^2 \\ =& 2 \sum_{i=0}^{n-1} E[g^2(B(t_i^n))] \Delta t_i^2 \\ \leq& 2 \delta_n \sum_{i=0}^{n-1} E[g^2(B(t_i^n))] \Delta t_i \\ \to& 0 \times \int_0^t E[g^2(B(t))] \,dt = 0 . \end{aligned}\]

因此，在均方收敛的意义下 \[ \sum_{i=0}^{n-1} g(B(t_i^n)) ((\Delta B_i)^2 - \Delta t_i) \to 0 , \] 其依概率极限也趋于0， 从而\(\sum_{i=0}^{n-1} g(B(t_i^n)) (B(t_{i+1}^n) - B(t_i^n))^2\)与\(\sum_{i=0}^{n-1} g(B(t_i^n)) (t_{i+1}^n - t_i^n)\)有相同的依概率极限。

再来考虑一般的\(\theta_i^n\)的选取。 对\(B(t_i^n)\)和\(B(t_{i+1}^n)\)之间的任意值\(\theta_i^n\)， 当\(\delta_n \to 0\)时， \[\begin{aligned} & \sum_{i=0}^{n-1} [g(\theta_i^n) - g(B(t_i^n))] (\Delta B_i)^2 \\ \leq& \max_i [(g(\theta_i^n) - g(B(t_i^n))] \sum_{i=0}^{n-1} [B(t_{i+1}^n) - B(t_i^n)]^2 , \end{aligned}\] 由\(g(x)\)连续以及\(B(t)\)轨道连续， 可知\(g(B(t))\)每条轨道为闭区间\([0, t]\)上的连续函数， 每条轨道一致连续从而\(\max_i [ g(\theta^n_i)-g(B(t^n_i) ] \to 0\), a.s. 由布朗运动二次变差性质得\(\sum_{i=0}^{n-1} [B(t_{i+1}^n) - B(t_i^n)]^2 \to t\)(依概率收敛)。 于是当\(\delta_n\to 0\)时， \[ \sum_{i=0}^{n-1} [g(\theta_i^n) - g(B(t_i^n))](\Delta B_i)^2 \to 0, \] 极限为依概率收敛。 因此\(\sum_{i=0}^{n-1} g(\theta_i^n) (\Delta B_i)^2\)与\(\sum_{i=0}^{n-1} g(B(t_i^n))(\Delta B_i)^2\)具有相同的依概率收敛意义的极限 \(\int^t_0 g(B(s))ds\), 定理结论成立。

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注： 若\(\| \xi_n - \eta_n \|^2 = E(\xi_n - \eta_n)^2 \to 0\)， 则\(\xi_n - \eta_n\)依概率趋于0， 若\(\xi_n \to \xi\)为依概率收敛， 则\(\eta_n \to \xi\)依概率收敛。 事实上 \[ \eta_n - \xi = (\xi_n - \xi) + (\eta_n - \xi_n) = o_p(1) + o_p(1) = o_p(1), \] 其中\(o_p(1)\)表示依概率趋于0的随机变量序列， 两个这样的序列的和仍为依概率趋于0。

如果\(\xi_n \to 0\)(依概率收敛)， \(\eta_n \to \eta\)(依概率收敛)， 则\(\xi_n \eta_n \to 0\)(依概率收敛)。 这个性质记为\(o_p(1) \cdot O_p(1) = o_p(1)\)。 \(O_p(1)\)表示依概率有界的随机变量序列， 依概率收敛或者依分布收敛都推出依概率有界。 \(\{ X_n \}\)称为依概率有界， 若\(\forall \epsilon > 0\), \(\exists M > 0\)使得 \[ \sup_{n \geq 1} P(|X_n| > M) < \epsilon . \]

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与\([d B(t)]^2 = dt\)类似的结论有\((dt)^2 = 0\), \(dB(t) \,dt = 0\)， 其严格含义为如下定理。

定理8.7 设\(g(x)\)是\(\mathbb R\)上的连续函数， \(\{t_i^n\}\)是\([0,t]\)的分割， 则对\(B(t_i^n)\)和\(B(t_{i+1}^n)\)之间的任意值\(\theta_i^n\)， 有 \[\begin{align} & \lim_{\delta_n \to 0} \sum_{i=0}^{n-1} g(\theta_i^n) (t_{i+1}^n - t_i^n)^2 = 0, \text{ a.s.,} \tag{8.9} \\ & \lim_{\delta_n \to 0} \sum_{i=0}^{n-1} g(\theta_i^n) [B(t_{i+1}^n) - B(t_i^n)] (t_{i+1}^n - t_i^n) = 0 , \text{ a.s.} \tag{8.10} \end{align}\] 将这两个结论记作 \[ dt\,dt = 0, \quad dB(t) \,dt = 0 . \]

证明： \[\begin{aligned} & \lim_{\delta_n \to 0} \sum_{i=0}^{n-1} |g(\theta_i^n)| (t_{i+1}^n - t_i^n)^2 \\ \leq& \lim_{\delta_n \to 0} \delta_n \sum_{i=0}^{n-1} |g(\theta_i^n)| (t_{i+1}^n - t_i^n) \\ =& \lim_{\delta_n \to 0} \delta_n \lim_{\delta_n \to 0} \sum_{i=0}^{n-1} |g(\theta_i^n)| (t_{i+1}^n - t_i^n) \\ =& 0 \times \int_0^t |g(B(s))| \,ds = 0 , \text{ a.s.} \end{aligned}\] 这时因为\(g(x)\)连续而\(B(s)\)轨道连续则\(|g(B(s))|\)轨道连续， 于是可积。

另一方面， \[\begin{aligned} & \sum_{i=0}^{n-1} |g(\theta_i^n)| \cdot |B(t_{i+1}^n) - B(t_i^n)| \cdot (t_{i+1}^n - t_i^n) \\ \leq& \max_i |B(t_{i+1}^n) - B(t_i^n)| \cdot \sum_{i=0}^{n-1} |g(\theta_i^n)| (t_{i+1}^n - t_i^n), \end{aligned}\] 因为\(B(s)\)轨道连续所以在\([0, t]\)轨道一致连续， 有 \[ \lim_{\delta_n \to 0} \max_i |B(t_{i+1}^n) - B(t_i^n)| = 0 , \text{ a.s.} \] 而 \[ \sum_{i=0}^{n-1} |g(\theta_i^n)| (t_{i+1}^n - t_i^n) \to \int_0^t |g(B(s))| \,ds, \text{ a.s.}, \] 所以有 \[ \lim_{\delta_n \to 0} \sum_{i=0}^{n-1} |g(\theta_i^n)| \cdot |B(t_{i+1}^n) - B(t_i^n)| \cdot (t_{i+1}^n - t_i^n) = 0 . \] ○○○○○○

8.4.2 Itô公式

对于普通的微积分， 我们有微分链式法则： \[ d f(g(t)) = f'(g(t)) \,d g(t) = f'(g(t)) g'(t) , \] 和积分变量替换法则： \[\begin{aligned} & \int_0^t f'(g(s)) \,d g(s) \\ =& \int_{g(0)}^{g(t)} f'(u) \,du \\ =& f(g(t)) - f(g(0)) . \end{aligned}\] 对上式求导， 则得到 \[ f'(g(t)) d g(t) = d[f(g(t))] . \] 如果是Itô积分， 是否有： \[ d f(B(t)) = f'(B(t)) d B(t) , \] 或者 \[ \int_0^t f'(B(s)) d B(s) = f(B(t)) - f(B(0)) ? \] 答案是否定的， 因为\(B(t)\)不可微。

我们给出布朗运动的变换的Itô公式， 这相当于是对上述问题的修正结果。 公式比普通微积分多出了一项\(\frac{1}{2} \int_0^t f''(B(s)) \, ds\)， 这是由布朗运动的二次变差非零引起的。 注意连续可微函数的二次变差等于零。

定理8.8 如果\(f(x)\)是二次连续可微函数， 则对任何\(t \geq 0\)， 有 \[\begin{equation} f(B(t)) = f(0) + \int_0^t f'(B(s)) \,dB(s) + \frac{1}{2} \int_0^t f''(B(s)) \, ds . \tag{8.11} \end{equation}\]

证明： 因为\(f'(B(s))\)轨道连续，适应， \(\int_0^t [f'(B(s))]^2 \,ds < \infty\), a.s.， 所以\(\int_0^t f'(B(s)) \,dB(s)\)的被积函数属于\(V^*\)， 是Itô积分。 因为\(f''(B(s))\)轨道连续所以\(\int_0^t f''(B(s)) \, ds\)在a.s.的黎曼积分意义下有定义。

取\([0,t]\)的分割\(\{ t_i^n \}\)， \(0 = t_0 < t_1 < \dots < t_n = t\), 有 \[ f(B(t)) = f(0) + \sum_{i=0}^{n-1}[f(B(t_{i+1}^n)) - f(B(t_i^n))] . \] 对\(f(B(t_{i+1}^n)) - f(B(t_i^n))\)每条轨道应用Taylor公式得 \[ f(B(t_{i+1}^n)) - f(B(t_i^n)) = f'(B(t_i^n)) [B(t_{i+1}^n) - B(t_i^n)] + \frac{1}{2} f''(\theta_i^n) [B(t_{i+1}^n) - B(t_i^n)]^2, \] 其中\(\theta_i^n\)取值于\(B(t_{i}^n)\)和\(B(t_{i+1}^n)\)之间. 于是 \[\begin{aligned} f(B(t)) =& f(0) + \sum_{i=0}^{n-1} f'(B(t_i^n)) [B(t_{i+1}^n) - B(t_i^n)] \\ & + \frac{1}{2} \sum_{i=0}^{n-1} f''(\theta_i^n) [B(t_{i+1}^n) - B(t_i^n) ]^2 . \end{aligned}\] 令\(\delta_n \to 0\)取极限， 则上式的第一个和收敛于Itô积分\(\int_0^t f'(B(s)) \,dB(s)\), 利用定理8.6可知第二个和收敛于\(\int_0^t f''(B(s)) \,ds\), 都是依概率极限。

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注1：式(8.11)称为布朗运动的伊藤公式（Itô公式）。 也可以形式地写成 \[\begin{align} d f(B(t)) = f'(B(t)) \,d B(t) + \frac{1}{2} f''(B(t)) \,dt . \tag{8.12} \end{align}\]

为了帮助记忆(8.12)， 可以利用\(f(B(t))\)的泰勒展开形式地认识到 \[\begin{aligned} & d f(B(t)) \\ =& f'(B(t)) \,d B(t) + \frac{1}{2} f''(B(t)) [d B(t)]^2 + o([d B(t)]^2) \\ =& f'(B(t)) \,d B(t) + \frac{1}{2} f''(B(t)) \,dt + o(dt), \end{aligned}\] 其中\([d B(t)]^2 = dt\)的严格含义是定理8.6。

注2：在定理8.8的证明中， 为什么不直接使用一阶泰勒展开，如： \[ f(B(t_{i+1}^n)) - f(B(t_i^n)) = f'(\theta_i^n) [B(t_{i+1}^n) - B(t_i^n)], \] 其中\(\theta_i^n\)取值于\(B(t_{i}^n)\)和\(B(t_{i+1}^n)\)之间, 从而 \[\begin{aligned} f(B(t)) =& f(0) + \lim_{\delta_n \to 0} \sum_{i=0}^{n-1} f'(\theta_i^n) [B(t_{i+1}^n) - B(t_i^n)] \\ =& f(0) + \int_0^t f'(B(s)) \,d B(s) ? \end{aligned}\] 这是因为\(\theta_i^n\)的选取会影响到极限结果， 参见例8.4。 于是进行了二阶泰勒展开， 使得\(f'(\cdot)\)的自变量固定取为小区间左端点处的值\(B(t_i^n)\)， 这恰好符合Itô积分定义。

注3：为了使得定理更严格， 可以增加条件 \[ \int_0^T E\{[f'(B(s))]^2 \} \,ds < \infty, \quad \int_0^T |f''(B(s))| \,ds < \infty, \text{ a.s.} \] 但Itô公式在更一般的条件下适用。

例8.6 计算\(\int_0^t B(u) \,d B(u)\)。

解： 在例8.1中我们已经计算了这个积分的均值和方差， 并用定义给出了积分结果。下面用Itô公式计算。 这里\(f'(x) = x\)， 从而\(f(x) = \frac{1}{2} x^2\)， \(f''(x) = 1\)， 则由伊藤公式 \[\begin{aligned} \frac{1}{2} B^2(t) =& f(B(t)) \\ =& f(0) + \int_0^t f'(B(s)) \,dB(s) + \frac{1}{2} \int_0^t f''(B(s)) \,ds \\ =& 0 + \int_0^t B(s) \,dB(s) + \frac{1}{2} \int_0^t 1 \,ds \\ =& \int_0^t B(s) \,dB(s) + \frac{t}{2} . \end{aligned}\] 即有 \[ \int_0^t B(s) \,dB(s) = \frac{1}{2} B^2(t) - \frac{t}{2} . \]

如果\(B(t)\)换成某个可微函数\(h(t)\)，\(h(0)=0\)，则结果应为 \[ \int_0^t f'(h(u)) dh(u) = \int_0^t d f(h(u)) = \frac{1}{2} h^2(t), \] 没有\(-\frac{t}{2}\)这一项。

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例8.7 计算\(d(e^{B(t)})\)。

解： 令\(f(B(t)) = e^{B(t)}\)， 注意\(f'(x) = f''(x) = e^x\), 所以 \[\begin{aligned} d(e^{B(t)}) =& d f(B(t)) \\ =& f'(B(t)) \,dB(t) + \frac{1}{2} f''(B(t)) \,dt \\ =& e^{B(t)} \,dB(t) + \frac{1}{2} e^{B(t)} \,dt . \end{aligned}\]

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8.4.3 Itô过程

由式(8.11)看出， 布朗运动的函数可以表示为一个Itô积分加上一个轨道绝对连续的过程. 我们称这类过程为Itô过程，严格地，我们有下面定义.

定义8.5 如果过程\(\{ Y(t), 0 \leq t \leq T \}\)可以表示为 \[\begin{equation} Y(t) = Y(0) + \int_0^t \mu(s) \,ds + \int_0^t \sigma(s) dB(s), \ 0 \leq t \leq T, \tag{8.13} \end{equation}\] 其中过程\(\{ \mu(t) \}\)和\(\{ \sigma(t) \}\)满足

(1) \(\mu(t)\)是适应的并且\(\int_0^T |\mu(t)| \,dt < \infty\), a.s.,

(2) \(\{ \sigma(t) \} \in V^*\).

则称\(\{ Y(t) \}\)为Itô过程.

有时我们也将Itô过程(8.13)记为微分的形式 \[\begin{equation} d Y(t) = \mu(t) \, dt + \sigma(t) \,dB(t), \ 0 \leq t \leq T . \tag{8.14} \end{equation}\] 其中函数\(\mu(t)\)称为漂移系数, \(\sigma(t)\)称为扩散系数, 它们可以依赖于\(Y(t)\)或\(B(t)\)， 甚至过去的路径\(\{B(s), 0 \leq s \leq t\}\)， 例如\(\mu(t) =\cos (M(t) + t)\)， 这里\(M(t) = \max_{0 \leq s \leq t} B(s)\).

一类非常重要的情形是\(\mu(t)\)与\(\sigma(t)\)仅仅通过\(Y(t)\)依赖于\(t\)， 在这种情况下， 式(8.14)应改写为 \[\begin{equation} d Y(t) = \mu(Y(t)) \,dt + \sigma(Y(t)) \,dB(t), \ 0 \leq t \leq T . \tag{8.15} \end{equation}\]

例8.8 股票投资的随机微分方程。

解： 在金融应用中，股票的价格\(S(t)\)是用随机微分方程 \[ dS(t) = \mu S(t) \, dt + \sigma S(t) \,dB(t) \] 描述的. 上述方程也可以写成 \[ \frac{d S(t)}{S(t)} = \mu \,dt + \sigma \,dB(t), \] 即股价增长率包括一个恒定速率的部分和一个随机部分， 随机部分的方差为\(\sigma^2 \,dt\)。

如果\(a(t)\)表示在时刻\(t\)投资者的股票持仓量， 那么在整个时间区间\([0,T]\)内的收益为 \[ \int_0^T a(t) \,dS(t) = \mu \int^T_0 a(t) S(t) \, dt + \sigma \int_0^T a(t)S(t) \, dB(t) . \]

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关于Itô过程可以给出其链式法则的Itô公式：

定理8.9 设\(\{ X(t) \}\)是由 \[ dX(t) = \mu(t) \,dt + \sigma(t) \,dB(t) \] 给出的Itô过程， \(g(t,x)\)是\([0,\infty) \times {\mathbb R}\)上的二次连续可微函数. 则 \[ \{ Y(t) = g(t, X(t)), t \geq 0 \} \] 仍为Itô过程， 并且 \[\begin{equation} dY(t) = \frac{\partial g}{\partial t}(t,X(t)) \,dt +\frac{\partial g}{\partial x}(t,X(t)) \, dX(t) +\frac{1}{2} \frac{\partial^2 g}{\partial x^2}(t,X(t)) \cdot (dX(t))^2 , \tag{8.16} \end{equation}\] 其中\((dX(t))^2 = (dX(t)) \cdot (dX(t))\)按照下面规则计算： \[ dt \cdot dt=dt \cdot dB(t) = dB(t) \cdot dt=0, \quad dB(t) \cdot dB(t) = dt . \] 即 \[\begin{align} dY(t) =& \left( \frac{\partial g}{\partial t}(t,X(t)) + \frac{\partial g}{\partial x}(t,X(t)) \mu(t) + \frac{1}{2} \frac{\partial^2g}{\partial x^2}(t,X(t)) \sigma^2(t) \right) \,dt \\ & + \frac{\partial g}{\partial x}(t,X(t))\sigma(t)dB(t) . \tag{8.17} \end{align}\]

特别地， 如果\(g(t,x) = g(x)\)只是\(x\)的函数， (8.17)简化为 \[\begin{align} dY(t) =& \left[g'(X(t)) \mu(t) + \frac{1}{2} g''(X(t)) \sigma^2(t) \right] \,dt \\ & + g'(X(t)) \sigma(t) \,dB(t) . \tag{8.18} \end{align}\]

证明： 我们形式地对公式进行证明。 将\(g(t, x)\)进行二阶Taylor展开并取\(x = X(t)\)， 有 \[\begin{aligned} d g(t, X(t)) =& \frac{\partial}{\partial t} g(t, X(t)) \,dt + \frac{\partial}{\partial x} g(t, X(t)) \,dX(t) \\ & + \frac{1}{2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} g(t, X(t)) \,dt\,dt \\ & + \frac{1}{2} \frac{\partial^2}{\partial x^2} g(t, X(t)) \,dX(t)\,dX(t) \\ & + \frac{\partial^2}{\partial t \partial x} g(t, X(t)) \,dt\,dX(t) \\ =& \frac{\partial}{\partial t} g(t, X(t)) \,dt + \frac{\partial}{\partial x} g(t, X(t)) \,dX(t) + \frac{1}{2} \frac{\partial^2}{\partial x^2} g(t, X(t)) \,dX(t)\,dX(t) . \end{aligned}\]

将\(dX(t) = \mu(t) \,dt + \sigma(t) \,dB(t)\)代入， 并注意 \[\begin{aligned} & dX(t) \,dX(t) \\ =& \mu^2(t) \,dt\,dt + \sigma^2(t) \,dB(t)\,dB(t) + 2 \mu(t) \sigma(t) \,dt\,dB(t) \\ =& \sigma^2(t) \,dt, \end{aligned}\] 简记\(\frac{\partial}{\partial t} g(t, X(t))\)为\(\frac{\partial g}{\partial t}\)并类似简化， 则有 \[\begin{aligned} & d g(t, X(t)) \\ =& \frac{\partial g}{\partial t} \,dt + \frac{\partial g}{\partial x}[\mu(t) \,dt + \sigma(t) \,dB(t)] \\ & + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 g}{\partial x^2} \sigma^2(t) \,dt \\ =& \left[ \frac{\partial g}{\partial t} + \frac{\partial g}{\partial x} \mu(t) + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 g}{\partial x^2} \sigma^2(t) \right] \,dt \\ & + \frac{\partial g}{\partial x} \sigma(t) \,dB(t) . \end{aligned}\]

若\(g(t, x) = g(x)\)， 则上式中\(\frac{\partial g}{\partial t} = 0\), \(\frac{\partial g}{\partial x} = g'(X(t))\), \(\frac{\partial^2 g}{\partial x^2} = g''(X(t))\)， 公式变成 \[\begin{aligned} & dg(X(t)) \\ =& \left[ g'(X(t)) \mu(t) + \frac{1}{2} g''(X(t)) \sigma^2(t) \right] \,dt \\ & + g'(X(t)) \sigma(t) \,dB(t) . \end{aligned}\]

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例8.9 讨论几何布朗运动的模型。

解： 设\(\{ X(t) \}\)满足 \[\begin{aligned} d X(t) = (r - \frac{1}{2} \sigma^2) \,dt + \sigma dB(t) . \end{aligned}\] 设\(S(0)\)为常数， \[\begin{aligned} S(t) = S(0) e^{X(t)}, \end{aligned}\] 令\(g(x) = S(0) e^x\)， 则\(g'(X(t)) = g''(X(t)) = S(t)\), \(dX(t) \,dX(t) = \sigma^2 \,dt\)， \[\begin{aligned} & dS(t) \\ =& \left[ g'(X(t)) (r - \frac{1}{2} \sigma^2) + \frac{1}{2} g''(X(t)) \sigma^2 \right] \\ & + g'(X(t)) \sigma \,dB(t) \\ =& \left[ S(t) (r - \frac{1}{2} \sigma^2) + \frac{1}{2} S(t) \sigma^2 \right] \,dt \\ & + S(t) \sigma \,dB(t) \\ =& S(t) r \,dt + S(t) \sigma \,dB(t) . \end{aligned}\] 所以价格\(S(t)\)的模型也是Itô过程， 漂移系数为\(r S(t)\)， 扩散系数为\(\sigma S(t)\)。

将方程改写为 \[ \frac{d S(t)}{S(t)} = r \,dt + \sigma \,dB(t), \] 左侧表示股票的瞬时收益率， 或对数收益率\(d \log(S(t))\)， 它服从\(\text{N}(r\,dt, \sigma^2 \,dt)\)。 由 \[ d \log(S(t)) = r \,dt + \sigma \,dB(t) \] 可得 \[\begin{aligned} \int_0^t d \log(S(u)) =& \log(S(t)) - \log(S(0)) \\ =& \int_0^t r \,dt + \int_0^t \sigma \,dB(u) \\ =& r t + \sigma B(t) \sim \text{N}(r t, \sigma^2 t) , \end{aligned}\] 即\(S(t)/S(0)\)服从对数正态分布\(\text{LN}(r t, \sigma^2 t)\)。

反过来， 已知\(S(t)\)服从如下的随机微分方程： \[\begin{aligned} \frac{dS(t)}{S(t)} = r \,dt + \sigma \,dB(t), \end{aligned}\] 则\(S(t)\)的漂移系数为\(r S(t)\)， 扩散系数为\(\sigma S(t)\)， 取\(g(S(t)) = \log(S(t)) - \log(S(0))\)， 有\(g'(S(t)) = [S(t)]^{-1}\), \(g''(S(t)) = -[S(t)]^{-2}\), 用Itô公式得 \[\begin{aligned} d X(t) =& d g(S(t)) \\ =& \left[ g'(S(t)) r S(t) + \frac{1}{2} g''(S(t)) \sigma^2 S^2(t) \right] \,dt \\ & + g'(S(t)) \sigma S(t) \,dB(t) \\ =& \left[ [S(t)]^{-1} r S(t) + \frac{1}{2} (-1) [S(t)]^{-2} \sigma^2 S^2(t) \right] \,dt \\ & + [S(t)]^{-1} \sigma S(t) \,dB(t) \\ =& (r - \frac{1}{2} \sigma^2) \,dt + \sigma \,dB(t) . \end{aligned}\]

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8.4.4 多维Itô公式

设\(\boldsymbol B(t) = (B_1(t), \dots, B_d(t))^T\), \(t \geq 0\)是多维标准布朗运动， 即每个分量为一维布朗运动且各分量随机过程之间相互独立， 设\(\{ \mathscr F_t, t \geq 0 \}\)为\(\sigma\)代数流， \(\{ \boldsymbol B(t), \mathscr F_t, t \geq 0 \}\)为适应过程， 且对任意\(0 \leq s < t\)， \(\boldsymbol B(t) - \boldsymbol B(s)\)与\(\mathscr F_s\)独立。

定义如下的多维Itô过程\(\boldsymbol X(t) = (X_1(t) ,\dots, X_n(t))^T\): \[ d X_i(t) = \mu_i(t) \,dt + \sum_{j=1}^d \sigma_{ij}(t) \,dB_j(t), \ i=1,2,\dots, n. \] 用矩阵形式写成 \[ d \boldsymbol X(t) = \boldsymbol\mu(t) + \Sigma(t) \,d \boldsymbol B(t), \] 其中\(\boldsymbol\mu(t) = (\mu_1(t), \dots, \mu_n(t))^T\)， \(\Sigma(t)\)的\((i,j)\)元素为\(\sigma_{ij}(t)\)，是\(n \times d\)矩阵。

设\(\boldsymbol g(t, \boldsymbol x) = (g_1(t, \boldsymbol x), \dots, g_m(t, \boldsymbol x))^T\)是\([0, \infty) \times \mathbb R^n\)到\(\mathbb R^m\)的二次连续可微函数， 令 \[ \boldsymbol Y(t) = g(t, \boldsymbol X(t)), \ 0 \leq t \leq T, \] 则\(\{ \boldsymbol Y(t) \}\)仍为多维Itô过程， 有如下的表达式。

定理8.10 (多维Itô公式) \[\begin{aligned} d Y_k(t) =& \frac{\partial g_k(t, \boldsymbol X(t))}{\partial t} \,dt \\ & + \sum_{j=1}^n \frac{\partial g_k(t, \boldsymbol X(t))}{\partial x_j} d X_j(t) \\ & + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{\partial^2 g_k(t, \boldsymbol X(t))}{\partial x_i \partial x_j} \,dX_i(t) \,dX_j(t) \\ =& \frac{\partial g_k(t, \boldsymbol X(t))}{\partial t} \,dt \\ & + \frac{\partial g_k(t, \boldsymbol X(t))}{ \partial \boldsymbol x^T} d \boldsymbol X(t) \\ & + \frac{1}{2} d \boldsymbol X^T(t) \frac{\partial^2 g_k(t, \boldsymbol X(t))}{ \partial \boldsymbol x^T \partial \boldsymbol x} d \boldsymbol X(t) , \\ & \ k=1, 2, \dots, m . \end{aligned}\] 其中 \[\begin{aligned} d \boldsymbol X(t) =& (dX_1(t), \dots, dX_n(t))^T, \\ \frac{\partial g_k(t, \boldsymbol X(t))}{ \partial \boldsymbol x^T} =& \left( \frac{\partial g_k(t, \boldsymbol X(t))}{\partial x_1}, \dots, \frac{\partial g_k(t, \boldsymbol X(t))}{\partial x_n} \right), \\ \frac{\partial^2 g_k(t, \boldsymbol X(t))}{ \partial \boldsymbol x^T \partial \boldsymbol x} =& \left( \frac{\partial^2 g_k(t, \boldsymbol X(t))}{ \partial x_i \partial x_j} \right)_{1 \leq i \leq n; 1 \leq j \leq n} . \end{aligned}\]

在展开\(d X_i(t)\)时，利用 \[\begin{aligned} dB_i(t) \,dB_j(t) = \delta_{ij} \,dt, \quad dt\,dt = dt \,dB_i(t) = dB_i(t)\,dt = 0 . \end{aligned}\]

推论8.2 (分部积分公式) 设\(X(t)\)，\(Y(t)\)是基于标准布朗运动\(\{ B(t), \mathscr F_t, t \geq 0\}\)的Itô积分， \[\begin{aligned} d X(t) =& \mu_X(t) \,dt + \sigma_X(t) \,dB(t), \\ d Y(t) =& \mu_Y(t) \,dt + \sigma_Y(t) \,dB(t), \end{aligned}\] 则 \[\begin{aligned} d(X(t) Y(t)) =& X(t) \,dY(t) + Y(t) \,dX(t) + d X(t) \,dY(t) \\ =& X(t) \,dY(t) + Y(t) \,dX(t) + \sigma_X(t) \sigma_Y(t) \,dt, \end{aligned}\] 从而 \[ \int_0^t Y(u) \,dX(u) = X(t) Y(t) - \int_0^t X(u) \,dY(u) - \int_0^t \sigma_X(u) \sigma_Y(u) \,du . \]

如果\(\sigma_X(t) \equiv 0\)或者\(\sigma_Y(t) \equiv 0\)， 则分部积分公式与通常的微积分的分部积分形式相同： \[ \int_0^t Y(u) \,dX(u) = X(t) Y(t) - \int_0^t X(u) \,dY(u) . \]

证明： 用多维Itô公式， 令\(g(t, x, y) = x y\)， 则 \[\begin{aligned} & \frac{\partial g}{\partial t} = 0, \ \frac{\partial g}{\partial x} = y, \ \frac{\partial g}{\partial y} = x, \\ & \frac{\partial^2 g}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 g}{\partial y^2} = 0, \ \frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y} = 1, \end{aligned}\] 于是 \[\begin{aligned} & d (X(t) Y(t)) = d g(t, X(t), Y(t)) \\ =& \frac{\partial g}{\partial t} \,dt + \frac{\partial g}{\partial x} \,dX(t) + \frac{\partial g}{\partial y} \,dY(t) \\ & + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 g}{\partial x^2} (dX(t))^2 + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 g}{\partial y^2} (dY(t))^2 \\ & + \frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y} dX(t) dY(t) \\ =& Y(t) \,dX(t) + X(t) \,dY(t) + dX(t) dY(t), \end{aligned}\] 其中 \[\begin{aligned} & dX(t) dY(t) \\ =& \mu_X(t) \mu_Y(t) \,dt\,dt + \mu_X(t) \sigma_Y(t) \,dt\,dB(t) + \sigma_X(t) \mu_Y(t) \,dB(t) \,dt \\ & + \sigma_X(t) \sigma_Y(t) \,dB(t)\,dB(t) \\ =& \sigma_X(t) \sigma_Y(t) \,dt . \end{aligned}\]

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例8.10 用分部积分公式计算\(\int_0^t u \,dB(u)\)。

解答： 令\(dX(t) = 0\,dt + \,dB(t)\)，\(dY(t) = dt + 0 \,dB(t)\), 由分部积分公式 \[\begin{aligned} & \int_0^t u \,dB(u) = \int_0^t Y(u) \,dX(u) \\ =& X(t)Y(t) - \int_0^t X(u) \,dY(u) - \int_0^t 0 \cdot 1 \,du \\ =& t B(t) - \int_0^t B(u) \,du . \end{aligned}\]

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8.5 补充：随机积分引入

先考虑以布朗运动的变换为被积函数的积分。

8.5.1 布朗运动连续变换的积分

8.5.1.1 存在性

定理8.11 设\(\{ B(t), t \geq 0 \}\)为标准布朗运动， \(g(t, x)\)为连续函数， 则 \[ X = \int_a^b g(t, B(t)) \,dt \] 为随机变量，其中\(0 \leq a < b\)。

证明： 因为\(B(t)\)轨道连续， 所以\(g(t, B(t))\)为\(t\)的连续函数（每条轨道）。 取\([a,b]\)的分割\(\{ t_i, i=0,1,\dots, n \}\), 使得\(\lim_{n\to\infty} \delta_n = \max\{t_{i+1} - t_i \} = 0\)， 令 \[ S_n = \sum_{i=0}^{n-1} g(t_i^*, B(t_i^*)) (t_{i+1} - t_i) \] 为达布和， 其中\(t_i^* \in [t_i, t_{i+1}]\)， 则\(S_n\)为随机变量且\(n \to \infty\)时 \(S_n \to \int_a^b g(t, B(t)) \,dt\), \(\forall \omega \in \Omega\)。 随机变量序列有点点极限则极限必为随机变量。

注：设\((\Omega, \mathscr F, P)\)为概率空间， \(\{ X_n \}\)为随机变量序列， \[ \lim_{n\to\infty} X_n(\omega) = X(\omega) \in (-\infty, \infty), \ \forall \omega \in \Omega, \] 则\(X\)为随机变量。事实上 \[ \{ X > x \} = \bigcup_{n=1}^\infty \bigcap_{m=n}^\infty \{ X_m > x \} , \] 由\(\{ X_m > x \} \in \mathscr F\)知\(\{ X > x \} \in \mathscr F\)， 即\(X\)为随机变量。

8.5.1.2 期望

定理8.12 设\(g(t, x)\)是\([0, \infty) \times (-\infty,\infty)\)上的可测函数， \(0 \leq a < b < \infty\)， \(\int_a^b E |g(u, B(u))| \,du < \infty\)，则 \[ E \int_a^b g(u, B(u)) \,du = \int_a^b E[g(u, B(u))] \,du . \]

证明： 由Fubini定理， \[\begin{aligned} & E \int_a^b g(u, B(u)) \,du \\ =& \int_{\Omega} \int_a^b g(u, B(u)) \,du \,dP(\omega) \\ =& \int_a^b \int_{\Omega} g(u, B(u)) \,dP(\omega) \,du \\ =& \int_a^b E[g(u, B(u))] \,du . \end{aligned}\]

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推论8.3 设\(g(t, x)\)是\([0, \infty) \times (-\infty,\infty)\)上的有界连续函数， \(0 \leq a < b < \infty\)，则 \[ E \int_a^b g(u, B(u)) \,du = \int_a^b E[g(u, B(u))] \,du . \]

证明： 设\(|g(t, x)| \leq C\), 则 \[ \int_a^b E|g(u, B(u))| \,du \leq C (b - a) < \infty . \]

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定理8.13 设\(g(x)\)是\((-\infty,\infty)\)上可微函数， 且\(|g'(x)| \leq C\), \(\forall x\)。 则 \[ E \int_a^b g(B(u)) \,du = \int_a^b E[g(B(u))] \,du . \]

证明： 取\([a,b]\)的分割\(\{ t_i , i=0,1,\dots,n-1 \}\), 使得\(\lim_{n\to\infty} \max_i (t_{i+1} - t_i) = 0\)， 记 \[ S_n = \sum_{i=0}^{n-1} g(B(t_i^*)) (t_{i+1} - t_i), \] 其中\(t_i^* \in [t_i, t_{i+1}]\)， 则 \[ \int_a^b g(B(u)) \,du = \lim_{n\to\infty} S_n . \]

来证明\(S_n\)均方收敛， 因为均方收敛和a.s.收敛必收敛到相同的随机变量， 所以\(S_n\)均方收敛到\(\int_a^b g(B(s)) \,ds\)。

只要证明\(\{S_n \}\)是\(L^2\)空间（有二阶矩的随机变量空间）的基本列。 对\(n, m\)，存在分割\(\{ t_i, i=0,1,\dots,k \}\)使得 \[\begin{aligned} S_n =& \sum_{i=0}^{k-1} g(B(t_i'))(t_{i+1} - t_i), \\ S_m =& \sum_{i=0}^{k-1} g(B(t_i''))(t_{i+1} - t_i), \end{aligned}\] 其中\(t_i', t_i'' \in [t_i, t_{i+1}]\)。 记\(\delta_k = \max_i (t_{i+1} - t_i)\)， 则 \[\begin{aligned} \| S_n - S_m \| \leq& \sum_{i=0}^{k-1} \| g(B(t_i')) - g(B(t_i'')) \| \, (t_{i+1} - t_i) \\ =& \sum_{i=0}^{k-1} \| g'(x_i^*) [g(B(t_i')) - g(B(t_i''))] \| \, (t_{i+1} - t_i) \\ \leq& C \sum_{i=0}^{k-1} \| [g(B(t_i')) - g(B(t_i''))] \| (t_{i+1} - t_i) \\ =& C \sum_{i=0}^{k-1} |t_i' - t_i''|^{1/2} (t_{i+1} - t_i) \\ \leq& C \delta_k^{1/2} (b-a) \to 0, \ n, m \to \infty, \end{aligned}\] 其中\(x_i^*\)取值于\(B(t_i')\)和\(B(t_i'')\)组成的闭区间内。 于是， \(S_n\)均方收敛， 可知其均方极限有二阶矩从而有一阶矩， 由\(L^2\)空间中内积的连续性可得 \[\begin{aligned} & E \int_a^b g(B(u)) \,du = E \lim_{n\to\infty} S_n = \lim_{n\to\infty} E S_n \\ =& \lim_{n\to\infty} \sum_{i=0}^n E[g(B(t_i^*))](t_{i+1} - t_i) = \int_a^b E[g(B(s))] \,ds . \end{aligned}\]

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8.5.2 布朗运动乘以连续函数作为被积函数

定理8.14 设\(\{ B(t), t \geq 0 \}\)是标准布朗运动， \(0 \leq a < b < \infty\)， 函数\(f(t)\)在\([a,b]\)连续，\(g(t)\)在\([c,d]\)连续， 则 \[ Y = \int_a^b f(t) B(t) \,dt \] 为随机变量，服从正态分布，期望为0，方差为 \[ 2 \int_a^b \int_a^t f(t) f(s) s \,ds \,dt \] 又\(\left( \int_a^b f(t) B(t) \,dt, \int_c^d g(s) B(s) \,ds \right)\)服从联合正态分布，且 \[ \text{Cov}\left( \int_a^b f(t) B(t) \,dt, \int_c^d g(s) B(s) \,ds \right) = \int_a^b \int_c^d f(t) g(s) (t \wedge s) \,ds \,dt . \]

证明：

(i) 令\(A = \max( \max_{t \in [a,b]} f(t), \max_{s \in [c,d]} g(s) )\)。 令\(\xi = \max_{s \in [0, b \vee d]} B(s) + \left| \min_{s \in [0, b \vee d]} B(s) \right|\)。 由节7.5.2可知\(E \xi^2 < \infty\)。

设\(\{ t_i \}\)，\(\{ s_i \}\)分别是\([a,b]\)和\([c,d]\)的分割， 且最大间距\(\delta_n \to 0\)。 令 \[ S_n = \sum_{i=0}^{n-1} f(t_i^*) B(t_i^*) (t_{i+1} - t_i) \] 为积分\(\int_a^b f(t) B(t) \,dt\)的达布和，其中\(t_i^* \in [t_i, t_{i+1}]\)， 则\(S_n\)是多元正态分布随机变量的线性组合， 也服从正态分布。 因为\(B(t)\)连续，所以对每一条轨道，\(\int_a^b f(t) B(t) \,dt\)积分存在有限， \(S_n\) 点点收敛到积分\(\int_a^b f(t) B(t) \,dt\)， 正态分布的极限\(\int_a^b f(t) B(t) \,dt\)仍为正态分布。

(ii) 来证明\(S_n\)均方收敛到\(\int_a^b f(t) B(t) \,dt\)。 \(\forall \epsilon>0\)， 对\(S_n\), \(S_m\), 取达布和\(S_k\)使得\(S_k\)的分点包含\(S_n\)和\(S_m\)的所有分点， 存在\(N\)使得\(n, m \geq N\)时 \[ \max(\delta_n, \delta_m, \delta_k) < \left( \frac{\epsilon}{4 A (b-a)} \right)^2, \] 由\(f(x)\)在闭区间的一致连续性可知当\(k\)充分大时对任意\(|x-y| < \delta_k\)都有 \[ |f(x) - f(y)| < \delta = \frac{\epsilon}{4 b^{1/2} (b-a)} . \] 这时设 \[\begin{aligned} S_n =& \sum_{i=0}^{k-1} f(t_i') B(t_i') (t_{i+1} - t_i), \\ S_k =& \sum_{i=0}^{k-1} f(t_i'') B(t_i'') (t_{i+1} - t_i) \end{aligned}\] 则 \[\begin{aligned} & \| S_n - S_k \| \\ \leq& \left\| \sum \left|f(t_i') B(t_i') - f(t_i'') B(t_i'') \right| (t_{i+1} - t_i) \right\| \\ \leq& \sum\left\| f(t_i') B(t_i') - f(t_i'') B(t_i'') \right\| (t_{i+1} - t_i) \\ \leq& \sum |f(t_i')| \cdot \| B(t_i') - B(t_i'') \| (t_{i+1} - t_i) \\ & + \sum |f(t_i') - f(t_i'')| \cdot \|B(t_i'') \| (t_{i+1} - t_i) \\ \leq& A \sum |t_i' - t_i''|^{1/2} (t_{i+1} - t_i) + \sum \delta b^{1/2} (t_{i+1} - t_i) \\ \leq& A \delta_k^{1/2} (b-a) + \delta b^{1/2} (b-a) \\ \leq& \frac{\epsilon}{2} , \end{aligned}\]

同理\(\| S_m - S_k \| \leq \frac{\epsilon}{2}\)，所以 \[\begin{aligned} & \| S_n - S_m \| \\ \leq& \| S_n - S_k \| + \| S_m - S_k \| \leq \epsilon, \end{aligned}\] 即\(\{ S_n \}\)是\(L^2\)空间中的基本列， 收敛到一个二阶矩随机变量， 记为\(\int_a^b f(t) B(t) \,dt\)， 另外\(S_n\)也a.s.收敛， 这两个极限是a.s.相等的。

(iii) 由于\(S_n\)服从正态分布， 由\(S_n\)a.s.收敛或者均方收敛都推出依分布收敛， 正态分布的依分布极限仍是正态分布， 极限分布期望为\(E Y = \lim_n ES_n\), 方差\(\text{Var}(Y) = \lim_n \text{Var}(S_n)\)。

因为\(E S_n = 0\)，故 \[ E \int_a^b f(t) B(t) \,dt = 0 . \]

证明\(E Y = \lim_n ES_n\)和\(\text{Var}(Y) = \lim_n \text{Var}(S_n)\)， 还可以用内积的连续性。 因为\(\| S_n - Y \| \to 0\)， 所以 \[ E(S_n \cdot 1) \to E(Y \cdot 1) = EY, \quad E(S_n \cdot S_n) \to E(Y \cdot Y) = \text{Var}(Y) . \]

下面给出\(\lim_n E(S_n^2)\)的值。 \[\begin{aligned} E (S_n^2) =& \sum_{i=0}^{n-1} \sum_{j=0}^{n-1} f(t_i) f(t_j) E[B(t_i^*) B(t_j^*)] (t_{i+1} - t_i) (t_{j+1} - t_j) \\ =& \sum_{i=0}^{n-1} \sum_{j=0}^{n-1} f(t_i) f(t_j) (t_i^* \wedge t_j^*) (t_{i+1} - t_i) (t_{j+1} - t_j) \\ \to& \int_a^b \int_a^b f(t) f(s) (t \wedge s) \,ds \,dt \\ =& 2 \int_a^b \int_a^t f(t) f(s) s \,ds \,dt . \end{aligned}\]

设\(S_n\)和\(S_n'\)分别为\(\int_a^b f(t) B(t) \,dt\)和\(\int_c^d g(s) B(s) \,ds\)的达布和， 由\(S_n\)和\(S_n'\)的均方收敛性可知 \[\begin{aligned} & \left\| \langle S_n, S_n' \rangle - \left\langle \int_a^b f(t) B(t) \,dt, \; \int_c^d g(s) B(s) \,ds \right\rangle \right \| \\ \leq & \left\| \left\langle S_n - \int_a^b f(t) B(t) \,dt, \; S_n' \right\rangle \right\| + \left\| \left\langle \int_a^b f(t) B(t) \,dt, \; S_n' - \int_c^d g(s) B(s) \,ds \right\rangle \right\| \\ \leq& \left\| S_n - \int_a^b f(t) B(t) \,dt \right\| \cdot \| S_n' \| + \left\| \int_a^b f(t) B(t) \,dt \right\| \cdot \left\| S_n' - \int_c^d g(s) B(s) \,ds \right\| \\ & \to 0, \ (n\to \infty), \end{aligned}\] 而\((S_n, S_n')\)为二元正态分布， 其极限分布也服从二元正态分布。

由内积的连续性可得 \[\begin{aligned} & \text{Cov} \left( \int_a^b f(t) B(t) \,dt, \; \int_c^d g(s) B(s) \,ds \right) \\ =& E \left( \int_a^b f(t) B(t) \,dt \cdot\; \int_c^d g(s) B(s) \,ds \right) \\ =& \lim_{n\to\infty} E(S_n S_n') \\ =& \lim_{n\to\infty} \sum_{i=0}^{n-1} \sum_{j=0}^{n-1} f(t_i) g(s_j) (t_i^* \wedge s_j^*) (t_{i+1} - t_i) (s_{j+1} - s_j) \\ =& \int_a^b \int_c^d f(t) g(s) (t \wedge s) \,ds \,dt . \end{aligned}\]

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下面考虑\(\int_a^b f(t) \,d B(t)\)这样的随机积分。

8.5.3 关于连续可微函数的随机积分

定理8.15 设函数\(f(t)\), \(g(t)\)在\([0, \infty)\)连续可微， 则 \[ X(t) = \int_0^t f(s) \,d B(s) = f(t) B(t) - \int_0^t f'(s) B(s) \,ds , \] 为随机变量，\(X(t)\)服从正态分布，且 \[\begin{aligned} E \int_0^t f(s) \,d B(s) =& 0, \\ \text{Var}\left(\int_0^t f(s) \,d B(s) \right) =& \int_0^t f^2(s) \,ds, \\ \text{Cov}\left( \int_0^t f(u) \,d B(u), \; \int_0^s g(u) \,d B(u) \right) =& \int_0^{t \wedge s} f(u) g(u) \,du . \end{aligned}\]

证明： 利用分部积分公式即可得 \[ X(t) = \int_0^t f(s) \,d B(s) = f(t) B(t) - \int_0^t f'(s) B(s) \,ds , \] 由定理8.14可知\(X(t)\)服从正态分布， 均值为0， 且可计算 \[\begin{align} & \text{Var}(X(t)) \\ =& t f^2(t) + \int_0^t \int_0^t f'(s) f'(u) (s \wedge u) \,du \,ds - 2 f(t) \int_0^t f'(s) s \,ds . \tag{8.19} \end{align}\]

(8.19)的第二项为 \[\begin{aligned} & \int_0^t \int_0^t f'(s) f'(u) (s \wedge u) \,du \,ds \\ =& 2 \int_0^t \int_s^t f'(s) f'(u) s \, du \,ds \\ =& 2 \int_0^t s f'(s) \left[ \int_s^t f'(u) \,du \right] \,ds \\ =& 2 \int_0^t s f'(s) [f(t) - f(s)] \,ds \\ =& 2 f(t) \int_0^t s f'(s) \,ds - 2 \int_0^t s f(s) f'(s) \,ds \end{aligned}\]

所以 \[\begin{aligned} \text{Var}(X(t)) =& t f^2(t) - 2 \int_0^t s f(s) f'(s) \,ds, \end{aligned}\] 其中 \[\begin{aligned} \int_0^t s f(s) f'(s) \,ds =& \int_0^t s f(s) \, df(s) \\ =& t f^2(t) - \int_0^t f^2(s) \,ds - \int_0^t s f(s) f'(s) \,ds , \end{aligned}\]

所以 \[ 2 \int_0^t s f(s) f'(s) \,ds = t f^2(t) - \int_0^t f^2(s) \,ds , \] 于是 \[\begin{aligned} \text{Var}(X(t)) =& \int_0^t f^2(s) \,ds . \end{aligned}\]

设\(0 < s < t\)， \[\begin{align} &\text{Cov}\left( \int_0^t f(u) \,dB(u), \; \int_0^s g(v) \,dB(v) \right) \\ =& E \left\{ \left[ f(t) B(t) - \int_0^t f'(u) B(u) \,du \right] \left[ g(s) B(s) - \int_0^s g'(v) B(v) \,dv \right] \right\} \\ =& f(t) g(s) s \\ & + \int_0^s \int_0^t f'(u) g'(v) (u \wedge v) \,du \,dv \\ & - f(t) \int_0^s g'(v) v \,dv \\ & - g(s) \int_0^t f'(u) (u \wedge s) \,du . \tag{8.20} \end{align}\]

(8.20)式第四项为 \[\begin{aligned} & - g(s) \int_0^t f'(u) (u \wedge s) \,du \\ =& -g(s) \int_0^s f'(u) u \,du - g(s) \int_s^t f'(u) s \,du \\ =& -g(s) \int_0^s f'(u) u \,du - f(t) g(s) s + f(s) g(s) s , \end{aligned}\] 化简得 \[\begin{align} &\text{Cov}\left( \int_0^t f(u) \,dB(u), \; \int_0^s g(v) \,dB(v) \right) \\ =& \int_0^s \int_0^t f'(u) g'(v) (u \wedge v) \,du \,dv \\ & - f(t) \int_0^s g'(v) v \,dv \\ & - g(s) \int_0^s f'(u) u \,du + f(s) g(s) s . \tag{8.21} \end{align}\]

(8.21)式中 \[\begin{aligned} & \int_0^s \int_0^t f'(u) g'(v) (u \wedge v) \,du \,dv \\ =& \int_0^s \int_0^v f'(u) g'(v) u \,du \,dv + \int_0^s \int_v^t f'(u) g'(v) v \,du \,dv \\ =& \int_0^s \int_u^s f'(u) g'(v) u \,dv \,du + \int_0^s \int_v^t f'(u) g'(v) v \,du \,dv \\ =& \int_0^s u f'(u) \left[\int_u^s g'(v) \,dv \right] \,du + \int_0^s v g'(v) \left[\int_v^t f'(u) \,du \right] \,dv \\ =& \int_0^s u f'(u) [g(s) - g(u)] \,du + \int_0^s v g'(v) [f(t) - f(v)] \,dv \\ =& g(s) \int_0^s u f'(u) \,du - \int_0^s u f'(u) g(u) \,du + f(t) \int_0^s v g'(v) \,dv - \int_0^s v f(v) g'(v) \,dv \end{aligned}\]

将上式代入(8.21)中化简得 \[\begin{aligned} &\text{Cov}\left( \int_0^t f(u) \,dB(u), \; \int_0^s g(v) \,dB(v) \right) \\ =& - \int_0^s u f'(u) g(u) \,du - \int_0^s v f(v) g'(v) \,dv + s f(s) g(s) \\ =& -\int_0^s u d[f(u) g(u)] + s f(s) g(s) \\ =& - s f(s) g(s) + \int_0^s f(u) g(u) \,du + s f(s) g(s) \\ =& \int_0^s f(u) g(u) \,du. \end{aligned}\]

得证。

证明中的一阶矩和二阶矩可以直接推论： 因为\(\int_0^t f^2(s) \,ds < \infty\)， 所以\(f \in V\)， 所以\(\int_0^t f(s) \,dB(s)\)期望为零， 根据等距性可得方差和协方差的结论， 正态性则利用了定理8.14的结论。

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推论8.4 设\(f(t)\)在\([0, \infty)\)连续可微， 对\(0 \leq a < b\)，\(t>0\)，定义 \[\begin{aligned} X(t) =& \int_0^t f(t) \,d B(t) , \\ \int_a^b f(u) \,d B(u) =& X(b) - X(a) = \int_0^b f(u) \,d B(u) - \int_0^a f(u) \,d B(u) , \end{aligned}\] 则\(\{ X(t) , t \geq 0 \}\)是高斯过程， 有独立增量， 增量\(\int_a^b f(u) \,d B(u)\)服从正态分布， 均值为0， 方差为 \[ \text{Var}\left( \int_a^b f(u) \,d B(u) \right) = \int_a^b f^2(u) \,du . \]

证明 由节8.5.2可知\((X(a), X(b))\)服从二元正态分布， 同理可知\(\{ X(t), t \geq 0 \}\)的任意有限维分布服从多元正态分布。 于是\(X(b) - X(a)\)均值为0，方差为 \[\begin{aligned} \text{Var} \left( \int_a^b f(u) \, dB(u) \right) =& \text{Var}(X(b) - X(a)) \\ =& \int_0^b f^2(u) \,du + \int_0^a f^2(u) \,du - 2\int_0^a f^2(u) \,du \\ =& \int_a^b f^2(u) \,du . \end{aligned}\]

对任意\(0 \leq t_1 < t_2 \leq t_3 < t_4\)， 有 \[\begin{aligned} & \text{Cov}(X(t_2) - X(t_1), \, X(t_4) - X(t_3)) \\ =& \text{Cov}(X(t_2), X(t_4)) - \text{Cov}(X(t_2), X(t_3)) - \text{Cov}(X(t_1), X(t_4)) + \text{Cov}(X(t_1), X(t_3)) \\ =& \int_0^{t_2} f^2(u) \,du - \int_0^{t_2} f^2(u) \,du - \int_0^{t_1} f^2(u) \,du + \int_0^{t_1} f^2(u) \,du \\ =& 0, \end{aligned}\]

因为\(\{ X(t), t \geq 0 \}\)是高斯过程， 不相关即独立， 所以\(\{ X(t), t \geq 0 \}\)是独立增量过程。

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补充：推论8.4高斯过程结论的另外证明方法， 来自(Shreve 2004)定理4.4.9和例4.7.3。

先证明\(X(t)\)服从正态分布。 显然\(\int_0^T E[f^2(s)] \,ds = \int_0^T f^2(s) \,ds < \infty\)， 所以\(\int_0^t f(s) \,dB(s)\)满足空间\(V\)的条件， 其均值和方差由Itô积分的鞅性质可得。 来证明\(X(t)\)的矩母函数等于 \[\begin{align} E[e^{u X(t)}] = \exp\left\{ \frac{1}{2} u^2 \int_0^t f^2(s) \,ds \right\} , \ \forall u \in \mathbb R . \tag{8.22} \end{align}\] 因为\(f\)非随机，上式等价于 \[ E \exp\left\{ u X(t) - \frac{1}{2} u^2 \int_0^t f^2(s) \,ds \right\} = 1, \ \forall u \in \mathbb R . \] 证明上式需要利用更多的理论， 参见(Glasserman 2004)定理B.2.3。 (Shreve 2004)中的讨论不够严格， 没有注意到被积函数是否在\(V\)空间的条件。

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推论8.5 若\(f(t)\)是非随机的连续可微函数， 则 \[ \int_0^T f(t) \,dB(t) = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=0}^{n-1} f(t_i^*)[B(t_{i+1}) - B(t_i)], \] 其中\(0 = t_0 < t_1 < \dots < t_n = T\)是\([0,T]\)的任意分割， 满足\(\delta_n = \max_i (t_{i+1} - t_i) \to 0\)， \(t_i^* \in [t_i, t_{i+1}]\)任意选取， 极限为\(L^2\)极限且不依赖于分割和\(t_i^*\)的选取。

证明： 易见\(f(t)\)看作一个随机过程满足空间\(V\)的条件， 定理8.1已经证明了当\(t_i^* = t_i\)的情形。 这里的结论是对非随机连续可微被积函数的一个增强结果， 即代表点不限于区间左端点。 记 \[ S_n = \sum_{i=0}^{n-1} f(t_i^*)[B(t_{i+1}) - B(t_i)], \] 定理8.15已证明\(S_n\)构成\(L^2\)基本列， 有均方极限在\(L^2\)空间中， 定义其均方极限为\(\int_0^T f(t) \,dB(t)\)。 下面证明极限不依赖于分割和\(t_i^*\)的选择。

设\(S_n\)和\(S_n'\)都是上述积分逼近序列但分割和代表点选择不同， 可以合并其分割点，使得\(S_n\)和\(S_n'\)可以写成 \[\begin{aligned} S_n =& \sum_{i=0}^{N_n} f(t_i') [B(t_{i+1}) - B(t_i)], \\ S_n' =& \sum_{i=0}^{N_n} f(t_i'') [B(t_{i+1}) - B(t_i)], \end{aligned}\] 由独立增量性， 可得 \[\begin{aligned} \| S_n - S_n' \|^2 =& \left\| \sum_{i=0}^{N_n} [f(t_i') - f(t_i'')]\, [B(t_{i+1}) - B(t_i)] \right\|^2 \\ =& \sum_{i=0}^{N_n} [f(t_i') - f(t_i'')]^2 \, \| B(t_{i+1}) - B(t_i) \|^2 \\ =& \sum_{i=0}^{N_n} [f(t_i') - f(t_i'')]^2 \, (t_{i+1} - t_i) \\ =& \sum_{i=0}^{N_n} [f'(\tilde t_i)]^2 (t_i' - t_i'')^2 \, (t_{i+1} - t_i) \\ \leq& \max_{t \in [0,T]} [f'(t)]^2 \sum_{i=0}^{N_n} (t_{i+1} - t_i)^2 \, (t_{i+1} - t_i) \\ \leq& \max_{t \in [0,T]} [f'(t)]^2 \delta_n^2 t \to 0, \ n \to \infty . \end{aligned}\] 因此极限不依赖于分割和代表点的选择。

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8.5.3.1 空间\(V\)的完备性

显然\(V\)是线性空间。定义模 \[\begin{align} \| X \| = \left( \int_0^T E [ X^2(t,\omega) ] \,dt \right)^{1/2} \tag{8.23} \end{align}\] 后， 按照此模导出的距离， \(V\)是可分Banach空间， 即定义定义了模(范数)和距离的线性空间， 完备（基本列都有极限且关于极限封闭）， 可分（有可数的稠密子集）。 参见(钱敏平 1990)节8.2 P.294， (龚光鲁 and 钱敏平 2019)节1.2 P.8命题1.4。

由Fubini定理， (8.23)式也可以写成 \[ \| X \| = \left( E \left[ \int_0^T X^2(t,\omega) \,dt \right] \right)^{1/2} . \]

来证明(8.23)式是\(V\)的模。 易见\(\| X \| \geq 0\)， 且\(\| X \| = 0\)当且仅当\(X(t,\omega)=0\), a.s.。 实际上， \[ E \left[ \int_0^T X^2(t,\omega) \,dt \right] = 0, \] 则依概率1地\(\int_0^T X^2(t,\omega) \,dt = 0\)， 从而对给定的\(\omega\)， \(X(t,\omega)\)作为\(t\)的函数是几乎处处为0的。 这作为\(V\)中\(0\)元素的理解。 对实数\(c\)有\(\| c X \| = |c| \cdot \| X \|\)。 要证明三角不等式\(\| X + Y \| \leq \| X \| + \| Y \|\)， 只要证明\(\| X + Y \|^2 \leq \| X \|^2 + \| Y \|^2 + 2 \| X \| \, \|Y\|\)。 事实上 \[\begin{aligned} \| X + Y \|^2 =& E \left[ \int_0^T (X + Y)^2 \,dt \right] \\ =& E \left[ \int_0^T X^2 \,dt \right] + E \left[ \int_0^T Y^2 \,dt \right] + E \left[ \int_0^T 2 X Y \,dt \right] \\ \leq& \|X\|^2 + \|Y\|^2 + 2 E \left[ \left( \int_0^T X^2 \,dt \right)^{1/2} \left( \int_0^T Y^2 \,dt \right)^{1/2}\right] \\ \leq& \|X\|^2 + \|Y\|^2 + 2 \left\{ E \left[ \left( \int_0^T X^2 \,dt \right)^{1/2} \right]^2 \right\}^{1/2} \; \left\{ E \left[ \left( \int_0^T Y^2 \,dt \right)^{1/2} \right]^2 \right\}^{1/2} \\ =& \|X\|^2 + \|Y\|^2 + 2 \left( E \int_0^T X^2 \,dt \right)^{1/2} \; \left( E \int_0^T Y^2 \,dt \right)^{1/2} \\ =& \|X\|^2 + \|Y\|^2 + 2 \|X\| \, \|Y\| . \end{aligned}\] 这里利用了\([0,T]\)上平方可积函数空间\(L^2[0,T]\)的Schwarz不等式， 和随机变量的Schwarz不等式。 这就证明了\(\| \cdot \|\)是\(V\)的模（范数）， \(V\)构成赋范线性空间。

将\(V\)中的\(X\)看成是\(([0,T]\times \Omega, \mathscr B([0,T]) \times \mathscr F, dt \times dP)\)测度空间上的平方可积函数组成的空间， 则按照测度论中\(L_p\)空间的理论可知\(\| \cdot \|\)是模，完备。 可分性从引理8.1可以看出。

由泛函分析的一般理论， 在\(V\)中定义内积 \[ \langle \phi, \psi \rangle = E \int_0^T \phi(u) \psi(u) \,du, \] 在\(V\)构成完备的内积空间（即Hilbert空间）， 且可分（有可数稠密子集）。

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8.5.3.2 等距性证明

被积函数是可料阶梯过程时， \(E[(\int X dB)^2] = \int E X^2 dt\)。 性质可以推广到\(X \in V\)的情形。

这里给出协方差的公式，这也包含了方差的公式。

定理8.16 设\(\{ X(u), u \in [0,s] \}\)和\(\{ Y(u), u \in [0,t] \}\)是\(V\)中的随机过程， 其中\(0 \leq s \leq t\), 则 \[\begin{aligned} & \text{Cov}\left(\int_0^s X(u) \,d B(u), \; \int_0^t Y(u) \,d B(u) \right) \\ =& \int_0^s E[X(u) Y(u)] \,du . \end{aligned}\]

证明： 随机积分期望为零，协方差等于乘积的期望， 由随机积分定义知存在简单过程\(\{ \phi_n(u) \}, \{ \psi_n(u) \} \in V\)， 使得 \[\begin{aligned} E \int_0^s [X(u) - \phi_n(u)]^2 du \to& 0, \\ \left\| \int_0^s X(u) \,dB(u) - \int_0^s \phi_n(u) \,dB(u) \right\| \to& 0, \\ E \int_0^t [Y(u) - \psi_n(u)]^2 du \to& 0 , \\ \left\| \int_0^s Y(u) \,dB(u) - \int_0^t \psi_n(u) \,dB(u) \right\| \to& 0 . \end{aligned}\]

由\(L^2(\Omega, \mathscr F, P)\)空间中内积的连续性和可料简单函数的推广等距性可知 \[\begin{aligned} & \text{Cov}\left(\int_0^s X(u) \,d B(u), \; \int_0^t Y(u) \,d B(u) \right) \\ =& E \left(\int_0^s X(u) \,d B(u) \cdot \int_0^t Y(u) \,d B(u) \right) \\ =& \lim_{n\to\infty} E \left(\int_0^s \phi_n(u) \,d B(u) \cdot \int_0^t \psi_n(u) \,d B(u) \right) \\ =& \lim_{n\to\infty} \int_0^s E[\phi_n(u) \psi_n(u)] \,du 。 \end{aligned}\]

计算 \[\begin{aligned} &\left| \int_0^s E[\phi_n(u) \psi_n(u) - X(u) Y(u)] \,du \right| \\ \leq& \int_0^s E[|\phi_n(u) - X(u)| \cdot |Y(u)|] \,du \\ & + \int_0^s E[|\phi_n(u)| \cdot |\psi_n(u) - Y(u)|] \,du \\ \leq& \int_0^s \| \phi_n(u) - X(u) \| \cdot \| Y(u) \| \,du \\ & + \int_0^s \| \phi_n(u) \| \cdot \| \psi_n(u) - Y(u) \| \,du \\ \leq& \left( \int_0^s \| \phi_n(u) - X(u) \|^2 \,ds \right)^{1/2} \left( \int_0^s \| Y(u) \|^2 \,du \right)^{1/2} \\ +& \left( \int_0^s \| \phi_n(u) \|^2 \,du \right)^{1/2} \left( \int_0^s \| \psi(u) - Y(u) \|^2 \,du\right)^{1/2} \\ =& \left( \int_0^s E[ \phi_n(u) - X(u) ]^2 \,ds \right)^{1/2} \left( \int_0^s E[Y^2(u)] \,du \right)^{1/2} \\ +& \left( \int_0^s E[ \phi_n(u) ]^2 \,du \right)^{1/2} \left( \int_0^s E[ \psi_n(u) - Y(u) ]^2 \,du\right)^{1/2} , \end{aligned}\] 其中 \[\begin{aligned} & \int_0^s E[ \phi_n(u) - X(u) ]^2 \,ds \to 0, \\ & \int_0^s E[ \psi_n(u) - Y(u) ]^2 \,du \to 0, \\ & \int_0^s E[Y^2(u)] \,du < \infty, \\ & \int_0^s E[ \phi_n(u) ]^2 \,du \leq 2 \int_0^s E[ \phi_n(u) - X(u) ]^2 \,du + 2 \int_0^s E[ X^2(u) ] \,du = O(1), \end{aligned}\] 于是有 \[\begin{aligned} & \left| \int_0^s E[\phi_n(u) \psi_n(u) - X(u) Y(u)] \,du \right| \to 0, \\ & \text{Cov}\left(\int_0^s X(u) \,d B(u), \; \int_0^t Y(u) \,d B(u) \right) \\ =& \int_0^s E[X(u) Y(u)] \,du . \end{aligned}\]

证明中利用了 \[ \left| \int_0^s f(u) g(u) du \right| \leq \left( \int_0^s f^2(u) \,du \right)^{1/2} \left( \int_0^s g^2(u) \,du \right)^{1/2} . \]

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参考文献

Glasserman, Paul. 2004. Monte Carlo Methods in Financial Engineering. Springer.

Shreve, Steven E. 2004. Stochastic Calculus for Finance II Continuous Time Models. Springer.

刘勇. 2022. 应用随机分析. https://www.math.pku.edu.cn/teachers/liuyong/asa/lectnote22.pdf.

张波, 商豪, and 邓军. 2020. 应用随机过程. 人民大学出版社.

钱敏平. 1990. 随机过程引论. 北京大学出版社.

龚光鲁, and 钱敏平. 2019. 随机微分方程引论. 第3版 ed. 电子工业出版社.