Class 4

习题课安排：第一章：第四，五节

作业：P35,(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)，P43，(3)(4)(9)。P44，(13)。

一：习题课中的一些问题：

	二：大课内容简单回顾：本章第四节‘向量的外积’内容是引进又一种向量运算，主要来解决面积的计算问题。利用外积可以方便的表示于两向量都垂直的向量。第五节‘向量的混合积’主要用来解决体积的计算问题。
	三：某些关键点：
	1：这两节主要应该理解好向量外积和混合积的几何意义。外积和混合积是与前面的运算都不一样的新运算。外积表示两向量的有向面积。混合积表示三向量的有向体积。

向量的内积运算是由两条向量得到第三个向量。具有如下性质：

1)：若a,b是向量，则axb是向量。

2)：axb=-bxa（反交换律）

3)：ax(b+c)=axb+axc

4)：axλb=λaxb

5)：ax(bxc)+bx(cxa)+cx(axb)=0 （Jocobi恒等式）

	向量的混合积的基本性质：
	向量的混合积运算是三重的运算，它由三条向量得到一个实数。它是一种复合运算，具有如下性质：
	1)：对任一分量具有线形性质。 2)：〈axb,c〉=〈b,cxa〉=〈c,axb〉（交换律）
	3：二重外积公式和lagrange公式

1：ax(bxc)=〈a,c〉b-〈a,b〉c

2：〈axb,cxd〉=〈a,c〉〈b,d〉-〈a,d〉〈b,c〉

这两条性质实实在在的反映了空间的内在结构。

	4：外积和混合积的一些应用。
	利用外积和混合积的坐标表示可以方便的计算面积，体积。判断共线和共面。例如推导球面三角的正弦和余弦定理。
	四：课上习题

1） i)：证明向量a，b，c不共面当且仅当axb，bxc，cxa也不共面。

ii)：若a，b，c不共面，将向量d表示成a，b，c的线形组合，求组合系数。

（用a,b,c,d表示）。

iii)：P44，(14)。

iv)：证明：Jacobi恒等式。

	2）：P36,(13)
	3）：将方程axy=b按分量展开，写成形如三元三次方程的形式。设每个方程的系数向量为c1，c2，c3，证明：c1，c2，c3共面。