简介
1
预备知识
1.1
概率空间
1.1.1
样本空间
1.1.2
\(\sigma\)
代数
1.1.3
集合极限
1.1.4
概率
1.1.5
测度和完备概率空间
1.2
随机变量与分布函数
1.2.1
随机变量
1.2.2
随机向量
1.2.3
常用分布
1.3
数字特征、矩母函数与特征函数
1.3.1
Riemann-Stieltjes积分
1.3.2
数字特征
1.3.3
随机向量的期望和方差阵
1.3.4
矩母函数
1.3.5
特征函数
1.4
收敛性
1.5
独立性与条件期望
1.5.1
独立性
1.5.2
独立随机变量和的分布
1.5.3
关于一个随机变量的条件期望
1.5.4
关于
\(\sigma\)
代数的条件期望
1.6
补充内容
1.6.1
事件条件独立例子
1.6.2
取帽子问题
1.6.3
随机元和弱收敛
1.6.4
Lebesgue积分
1.6.5
测度变换
1.6.6
Borel-Cantelli第二引理证明
2
随机过程的基本概念和基本类型
2.1
基本概念
2.2
有限维分布与Kolmogorov定理
2.3
随机过程的基本类型
2.3.1
平稳过程
2.3.2
独立增量和平稳增量
3
泊松过程
3.1
泊松过程定义
3.2
与泊松过程相联系的若干分布
3.2.1
\(X_n\)
和
\(T_n\)
的分布
3.2.2
事件发生时刻的条件分布
3.3
泊松过程的推广
3.3.1
非齐次泊松过程
3.3.2
复合泊松过程
3.3.3
条件泊松过程
3.4
补充
3.4.1
泊松过程的无记忆性
3.4.2
泊松过程的马氏性
3.4.3
泊松过程合并与分解
3.4.4
剩余寿命和年龄
4
更新过程
4.1
更新过程的定义及若干分布
4.1.1
定义
4.1.2
性质
4.2
更新方程及其应用
4.2.1
更新方程
4.2.2
更新方程在人口学中的一个应用
4.3
更新定理
4.3.1
Feller基础更新定理
4.3.2
Blackwell更新定理
4.3.3
关键更新定理
4.4
更新过程的推广
4.4.1
延迟更新过程
4.4.2
更新回报过程
4.4.3
交替更新过程
4.5
附录：一些证明
4.5.1
引理@ref(lem:ren-prop-possumexc)证明
4.5.2
引理@ref(lem:ren-prop-negexp)证明
5
马氏链
5.1
基本概念
5.1.1
定义和例子
5.1.2
多步转移概率与C-K方程
5.2
状态的分类及性质
5.3
极限定理及平稳分布
5.3.1
极限定理
5.3.2
平稳分布
5.3.3
平稳可逆分布
5.3.4
强大数律
5.4
马氏链的应用
5.4.1
群体消失模型(离散时间分支过程)
5.4.2
人口结构变化的马氏链模型
5.5
连续时间马氏链
5.5.1
概念
5.5.2
泊松过程的例子
5.5.3
其它例子
5.5.4
转移速率矩阵
5.5.5
Kolmogorov微分方程
5.6
连续时间连续状态的马氏过程
5.7
补充
5.7.1
级数的极限定理
5.7.2
定理@ref(thm:markovc-lim-sta-ergo)证明
5.7.3
强马氏性
5.7.4
Kolmogorov向后方程证明
6
鞅
6.1
基本概念
6.1.1
定义
6.1.2
例子
6.1.3
凸函数变换
6.1.4
下鞅分解定理
6.2
鞅的停时定理及其应用
6.2.1
停时
6.2.2
有界停时定理
6.2.3
停时定理
6.2.4
上鞅停时定理
6.2.5
停时定理的应用——关于期权值的界
6.3
一致可积性
6.4
鞅收敛定理
6.5
连续鞅
6.5.1
定义
6.5.2
停时定理和极限定理
6.6
补充材料
6.6.1
可测性
6.6.2
\(\sigma\)
代数流
6.6.3
补充证明
7
布朗运动
7.1
高斯分布
7.1.1
一元正态分布
7.1.2
高斯分布
7.1.3
高斯过程
7.2
布朗运动概念与性质
7.2.1
对称随机游动
7.2.2
定义
7.2.3
高斯过程性质
7.2.4
联合密度的分解
7.2.5
二次变差
7.3
布朗运动的鞅性质
7.4
布朗运动的马氏性
7.5
布朗运动的最大值变量及反正弦律
7.5.1
首达时
7.5.2
最大值和最小值的分布
7.5.3
有零点的概率
7.6
布朗运动的几种变化
7.6.1
Brown桥
7.6.2
有吸收值的布朗运动
7.6.3
在原点反射的布朗运动
7.6.4
几何布朗运动
7.6.5
漂移布朗运动
7.7
高维布朗运动
7.8
补充内容
7.8.1
布朗运动的构造
7.8.2
带漂移的布朗运动的首达时
7.8.3
\(B(t)/t\)
极限
8
随机积分
8.1
关于随机游动的随机积分
8.2
Itô积分
8.2.1
连续可微函数的随机积分
8.2.2
非随机阶梯函数的随机积分
8.2.3
可料阶梯过程的随机积分
8.2.4
被积函数为一般过程的随机积分
8.3
Itô积分定义的鞅
8.3.1
鞅性
8.3.2
非随机被积函数时的高斯过程
8.3.3
二次变差
8.4
Itô公式
8.4.1
与黎曼积分的对比
8.4.2
布朗运动微分的运算
8.4.3
Itô公式
8.4.4
Itô过程
8.4.5
多维Itô公式
8.5
补充
8.5.1
Hilbert空间
8.5.2
布朗运动连续变换的积分
8.5.3
布朗运动乘以连续函数作为被积函数
8.5.4
关于连续可微函数的随机积分
8.5.5
空间
\(V\)
的完备性
8.5.6
等距性证明
8.5.7
推广的随机积分性质
9
随机过程在金融中的应用
9.1
金融市场的术语与基本假定
9.1.1
无套利原则
9.1.2
看涨期权
9.1.3
看跌期权
9.1.4
无套利原则下的看涨与看跌平权关系
9.2
Black-Scholes模型
9.2.1
期权定价问题的描述
9.2.2
Black-Scholes公式
9.2.3
Black-Scholes公式的推导
10
随机过程在保险中的应用
10.1
基本概念
10.2
经典破产理论介绍
11
MCMC方法
11.1
计算积分的蒙特卡洛方法
11.2
MCMC方法简介
11.3
Metropolis-Hastings算法
11.4
Gibbs抽样
11.5
贝叶斯MCMC估计方法
参考文献
应用随机过程
10
随机过程在保险中的应用
10.1
基本概念
10.2
经典破产理论介绍