《应用随机过程》

2013年秋学期期终考试

111人参加期末考试,其中本科生103人, 最高分83分,第二高分80, 平均33.33.

我向这次考试最高分(83分)获得者,期中考试最高分(79分)获得者, 总分最高分(140分)获得者三位同学表示祝贺,

同时也遗憾地披露,楼某某同学交卷晚于规定时间,被我扣除卷面分5分,相当于半道题目的损失.

出乎我的意料,同学们试卷前半部分(跳过程)的表现不如后半部分(布朗运动),

难道几个星期不打交道,同学们就淡忘了?

做作业有好处吗? 11位同学交了全部13次作业, 其中9人获得90分或90分以上.

另有11位同学交了12次作业, 获得90分或90分以上仅有4人.

少一次作业有这么大差别吗? 前者更是完美主义者,对自己要求更高.这有助于他/她自己发挥个人潜力.

16位不及格/缓考同学中有9位一次也没有交过作业,两位只交过1次,一位交过3次.

期末答疑时间(暂定)

12月30日 下午2:00—4:00

12月31日 下午2:00—4:00

1月2日 上午9:00---11:00

1月3日 上午9:00---11:00

授课对象：数学学院本科三年级

上课时间：周二15:10-17:00 周五10:10-12:00 (双周)

上课地点：理教303

教材： 《应用随机过程》，钱敏平龚光鲁陈大岳章复熹合编，高等教育出版社 2011年， 勘误表

参考书： 1. Introduction to Stochastic Processes, by Gregory Lawler, CRC Press

中译本《随机过程导论》 张景肖译，机械工业出版社，2010年

2. One Thousand Exercises in Probability by Geoffrey Grimmett & David Stirzaker, Oxford Univ. Press, 2001

国内影印本《概率论题解1000例》，（英）格里梅特　等著，世界图书出版公司，2011

助教; 熊杰超 李照男

答疑时间： 周三下午2:00-4:00 地点： 理科一号楼1494

作业：

9月10日 §1.1 2，3，4，8，9，12，13

9月17日 §1.2 1，2，3，4，5

§1.3 2，3， 4

9月24日 §1.4 1，2，3，4，5， 6， 7， 8， 9

10月8日 §1.5 3

§1.6 1，2，3，4，5，7， 8

10月15日 §1.7 1，2，3

§1.8 1，2，3，

10月22日 §1.13 4, 10, 11, 13, 14, 15

10月29日 §1.9 2，3，4，7

§1.10 3，4，

11月15日 §2.1 3, 5, 6, 7

11月19日 §2.2 1， 3, 5, 6, 9 期中考试第9题第一部分解答

11月19日 §2.3 1，2, 3, 5, 6

§2.4 3, 4, 5

12月3日 §2.5 1，2, 6

§2.6 1，2

12月10日 §3.1 1，2，3，4，5，6，7，8

12月17日 §3.2 3

§3.3 1，3，5，7，8

12月24日 §3.4 2，3，5，6

§3.5 2，4，6，8

葛颢的演讲报告 Stochastic Processes in Physics, Chemistry and Biology — a personal perspective

中国研究布朗运动第一人是王明贞教授， 详见百度百科http://baike.baidu.com/view/56989.htm

她写的文章可从下列网址下载 http://rmp.aps.org/abstract/RMP/v17/i2-3/p323_1

葛颢（北京大学研究员） Stochastic Processes in Physics, Chemistry and Biology — a personal perspective

　
布朗运动
　　作者：gyro 来源：新语丝
 
　　取一滴水，把它分成两半，把其中的一半再分成两半，这个过程可以一直进
行下去吗？还是最终会达到一个不能分割的水的"单元"？到了19世纪中叶，大
部分化学家都接受后一种观点，即认为水由水分子构成，水分子再被分割就不是
水了，而是分解为氢原子和氧原子。物质结构的分子、原子理论解释了那时观察
到的主要化学现象，即化学反应中的当量。但严格说来分子理论还只是一个假说。
虽然化学家已经习惯地使用化合物的分子式，测定了分子量，但这些分子式只是
用来表示化学反应当量的"记号"。比如水的分子式是H2O， 但这只是用来表示
2克氢气和16克氧气，按2比1的体积比例，发生反应生成18克水这个事实。 
 
　　十九世纪的物理学家也使用分子假说来解释一个重要的概念――热。这就是
由克劳修斯，麦克思韦，波尔兹曼等人建立的分子热运动理论。按这个理论，物
质是由肉眼不可见的微观颗粒――分子－－组成，分子总是处于杂乱无规则的热
运动中；气体对器壁的压力是由于分子撞击器壁所致；分子的热运动速度服从正
则分布，其平均动能等于波尔兹曼常数和气体绝对温度的乘积。分子热运动理论
成功地解释了很多现象，比如关于气体的波意尔定律，盖·吕萨克定律。波尔兹
曼甚至用分子动力论推导出熵增加定律。尽管如此，分子热运动论仍是一个假说。
很多物理学家仍坚持"热素"说， 即认为热是一种特殊物质――热素， 当不同
温度的物体相接触时，热素从高温物体流向低温物体。 
 
　　到了十九世纪末，光谱学的发展，对阴极射线的研究以及放射性的发现使得
对物质结构的争论成为当时物理学里最重要的争论。物质结构的原子、分子理论
提供了一个解释所有这些现象――化学反应中的当量，热，物质的特征光谱，放
射性－－的共同基础。但分子是如此之小，不可能被直接观察，"分子真的存在
吗？"仍是很多科学家心中挥之不去的疑团。促使人们最终承认分子的实体地位
的是二十世纪初有关布朗运动的实验和理论研究。 
 
1827年实用植物学家布朗在显微镜下观察悬浮在水中的花粉颗粒时，发现这
些颗粒总是不停地作无规则的运动。这些颗粒的直径大约在1微米。布朗起初认
为这可能是由于这些颗粒来自有生命的植物，但随后证实无生命的矿物颗粒也有
同样的现象。这种微小颗粒在液体中的永不停息的无规运动后来被称为"布朗运动"。
布朗运动在被发现后的几十年内没有得到科学家的重视。人们对布朗运动的机制
有过各种猜想，比如有人认为小尺度的液体流动可能导致布朗运动，就像室内悬
浮在空气中的灰尘在阳光下游走不定。也有人认为布朗运动可能是一种电现象。
因为缺少一个定量地理论描述，关于布朗运动机制的各种猜想未能得到深入的研究。 
直到麦克斯韦等人建立了分子运动论后，人们才把布朗运动和分子热运动联系起来，
并通过比较精确的实验测量和理论语言而最终证实分子运动论为分子的存在提供了
间接但强有力的证据。 
 
　　在分子运动论里，"分子"只是微观颗粒的代名词。组成物质的微观颗粒不
必有相同的质量和尺寸。只要在热平衡状态，不同的颗粒都会有相同的平均动能。
是不是可以把悬浮在水中的花粉颗粒看作参与热运动的微观颗粒呢？观察到的一些
布朗运动的性质，比如越小的颗粒无规运动的速度越快，和热运动理论是相符合的。
为了进一步地确立布朗运动的热运动本质，必须从分子运动论出发推导出一些定量
关系，并和实验观测相比较。 
 
　　从分子运动论出发，可以推导出布朗运动的两个重要性质： 
 
　　1. 悬浮液颗粒的浓度随高度的玻尔兹曼分布 
 
假设颗粒的浓度在高度为零处为n0， 在高度为h处是n， 悬浮颗粒的密度是D，
液体的密度是d， 颗粒大小均匀，体积为v。玻尔兹曼分布的数学表述为 
　　2W log（n0/n）＝3v（D-d）gh 
式中g为重力加速度， W是颗粒的平均动能。如果在同样温度的水中，换用不同的颗
粒（大小，质量）测得的浓度分布都符合玻尔兹曼分布，且测得的W都一样，热运动
理论就得到了证实。 
 
　　2. 描述布朗颗粒无规行走的爱因斯坦方程 
　　假设x为布朗颗粒的位移沿任一方向的投影，t为观测时间。爱因斯坦方程是 
　　<X>2＝2Dt 
式中D为颗粒的扩散常数，D＝W/(9  *r*ζ)， r为粒子半径，ζ为液体的粘滞
系数。<…>代表对大量颗粒的平均. 
上述两个方程的实验验证都由法国人贝兰完成。这里只介绍他的第一组验证玻尔
兹曼分布的实验。为了进行实验，悬浮颗粒必须有相同尺寸。贝兰通过长时间的离心分
离技术获得了少量这样的均匀颗粒。为了测量颗粒浓度随高度的分布，贝兰把一块很薄
的玻璃片（只有约0.1mm厚）中间打穿一个洞，然后把这个玻璃片平放在一个玻璃板上。
这样被凿穿的薄玻璃片上的洞就形成了一个很浅的柱形容器。待观测的悬浮液就放在柱
间，并立刻从上面用另一块玻璃盖板密封。承放悬浮液的玻璃板被小心地移到被精密调
节东欧水平位置的显微镜座上。显微镜的放大倍很高但聚焦深度非常小，只有准确处在
焦平面上的那一层悬浮颗粒才能被看清。即便如此，因为颗粒数量多（～100）而且每个
布朗粒子一直处于无规则游走之中，数这些颗粒的数目并非易事。贝兰通过拍摄瞬时照
片才获得了颗粒浓度的数据。 
 
贝兰的实验数据和玻尔兹曼分布完全符合。他对不同密度、不同大小的数据重复上
述实验，发现颗粒的平均动能w不随粒子的尺寸和浓度而改变。这和分子热运动理论完
全符合，即处于热平衡状态的各种粒子，其平均动能是个常数。 
 
贝兰接着完成的实验又完全证实了爱因斯坦方程。更重要的是由两个独立的实验推
算出的阿佛家德罗常数也符合，大约为N～7x1023.这个数值比后来用电化学方法测得的
数值略高（N～6x1023），但贝兰的实验定量地证实了基于热运动假设而推出的布朗运动
的玻尔兹曼分布和爱因斯坦方程，也令人信服地证实了分子的存在。 
 
　　因为对布朗运动的研究，贝兰获得了1926年度的诺贝尔物理学奖。 
 
到19世纪末，科学家们在物质光谱、放射性、带电粒子等领域已经积累了十分
丰富的知识。结合那时已经被人们掌握的化学知识和热学知识，可以说，物质结构
的分子、原子理论已经有了充分的实验证据。但如前所述，迟至20世纪初仍然有很
多科学家对分子学说持怀疑态度，一直到爱因斯坦、贝兰等人的研究结果公布后才
最终接受分子假说。为什么会这样呢？一个可能原因是，对光谱、放射性的研究都
是借助以前没有的新设备，而布朗运动只要用普通的显微镜就可以观察，应了"眼见
为实"这句老话。另一个重要原因是，为了推导玻尔兹曼分布和爱因斯坦方程而引进
的假设以分子热运动为主，不包含其他的不确定因素。而对光谱、阴极射线等现象
的解释最终还要引入其他革命性的观念，比如波粒二象性和量子，因此这些现象作
为分子学说的证据就不如布朗运动那样恰如其分。 
 
　　对布朗运动的理论研究导致一类重要的数学工具的诞生。在观察的时间尺度
上看，如果把布朗颗粒的运动轨迹看作一条连续的曲线，这条曲线是处处不可导
的。每个颗粒在下一时刻的位置是不可预测的，而只能用概率来描述。严格地描
述布朗运动的努力最终促生了如维纳过程，伊藤积分等现代概率论中被广泛使用
的概念。金融领域的一些衍生工具的诞生也得益与布朗运动的研究，比如，诺贝
尔经济奖得主Black和Scholes对Option价格的分析就是建立在伊藤积分的概念上。 
 
(XYS20090127)

Kakutani = 角谷静夫

A mathematics course is not a stockpile of raw material nor a random selection

of vignettes. It should offer a sustained tour of the field being surveyed and

a preferred approach to it. Such a course is bound to be somewhat subjective

and tentative, neither stationary in time nor homogeneous in space. But it

should represent a considered effort on the part of the author to combine his

philosophy, conviction, and experience as to how the subject may be learned

and taught. The field of probability is already so large and diversified that

even at the level of this introductory book there can be many different views

on orientation and development that affect the choice and arrangement of its

content. The necessary decisions being hard and uncertain, one too often takes

refuge by pleading a matter of "taste." But there is good taste and bad taste

in mathematics just as in music, literature, or cuisine, and one who dabbles in

it must stand judged thereby.

2011年秋学期教学安排

课程： 应用随机过程

授课对象：本科三年级

教材： 《应用随机过程》，钱敏平龚光鲁陈大岳章复熹合编，高等教育出版社 2011年，

勘误表

参考书 Introduction to Stochastic Processes, by Gregory Lawler, CRC Press

中译本《随机过程导论》 张景肖译，机械工业出版社

期终考试解答及评述

大考时间：2012年1月3日下午2:00-4:00, 地点：三教503，505，507

补课通知: 因为我要到日本参加一次会议, 12月6日的课改为12月16日

（周五）上午8:00-10:00在理教203教室.

授课时间：周二78节 周四（双）34节

地点： 一教201室

答疑时间：周三下午2:30-4:00,周五上午10:20-11:50

地点： 理科一号楼1494

期中考试

时间: 2011年11月15日（星期二）下午15:00－17:00

地点: 理教207

考试范围：马氏链

作业

9月13日 §1.1 1,2,13, 4,5,6, 8,9,10, 12

§1.2 1,2,3,4,5,

9月20日 §1.3 1,2,3,4

§1.4 1,2,3,4,5,6,7,8

9月27日 §1.5 1,2,3

§1.6 2,3,4, 7,8

10月11日 §1.7 1,2,3

§1.8 1,2,3

10月18日 §1.9 1,2,3,4,5

10月25日 §1.10 1,2,3,4,5

　 §1.11 1

11月1日 §2.1 1,2,3,5,6,7

11月8日 §2.2 1, 3, 4,5,6,9

11月22日 §2.3 1, 2, 3

§2.4 3, 4, 5

11月29日 §3.1 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

12月8日 §3.2 1, 2, 3,

12月13日 §3.3 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8

答某某同学

和多数北大教师一样，我十分愿意听取同学们对我教学工作的意见。所以你不必担心，我还是有时间和胆量阅读匿名信的，并感谢你将真实感受告诉我。你旁听《应用随机过程》、参加期中考试，花了时间而效果不彰，作为任课教员我感到非常遗憾。如果我上课时“洋洋自得”的语言或神态冒犯了你的自尊，我愿就此道歉。现就来信中所提几个问题，试答如下。

首先必须指出，解“一大坨（线性）递推方程”和矩阵求逆是等价的，用“行变换”把矩阵变为上三角阵就对应着解方程组时的消元法，所以不能用“狭隘的数学观”把矩阵归为代数方法，而把解“一大坨方程”归为分析方法，“应该站在更高的地方看所有的问题”。诚如来信所言，无论分析方法也好，代数工具也好，能够解决问题就是好方法。课上所说的解答只是我能想到的解答或者我看到的同学们的解答，决没有“排斥其它更优秀方法”的意思。但知道可行途径和能够执行完毕是有区别的，光说不练是不够的。譬如第五题第二部分，如果你能在考卷上正确写出三个特征值组成的对角阵和对角化阵V，或者不写V但用其他方法求得正确答案，完全可以得分；如果只有表达式而没有最终结果，或者只有最终答案而没有中间必要的推导过程，就不能得分或者就要扣分。这不是方法途径的问题，而是执行力的问题。

这就牵涉到另一个问题，某一技能到底是“基本功”还是“奇技淫巧”，不同专业的判断就可能有所不同。譬如数学专业要求同学能够自己算积分，而其他专业也许只用查数学工具书就可以了。华罗庚先生是主张拳不离手、苦练基本功的，读书要“从薄到厚”，再“从厚到薄”，方可谈论“大道至简”。数学学院应当如何训练自己学生，你作为旁听生、作为非数学专业的学生，不容置喙。

我在第一次讲课时就指出，研究随机过程的方法工具分为分析、代数和概率直观三大类。讲义第7页上指明了不变分布和左特征向量的关系，并在附录中写了Perron-Frobenius定理，我是非常希望同学们了解的，决没有“藏着掖着”的意思。我非常赞同你的重视代数方法的主张，但不能同意把代数方法狭隘地理解为使用矩阵。现代随机过程理论的代数方法至少还应当包括群论和组合论，许多直观的对称性背后都有群的概念。讲义第56页引入了群上的随机游动，最后一篇参考文献也与此有关，这在国内同类课本中是绝无仅有的。至于直观的概率思想，更是本课程极力鼓吹的重点，所以你不必担心鄙人的“意识里竟然没有首达概率”。“首达概率”就是课本里的ρ_ij，俯拾皆是，第一次出现在第13页。根据全国科学技术名词审定工作委员会公布的科学词汇，hitting probability译为“命中概率”，hitting distribution译为“首中分布”，我既不满意这些翻译，也不愿意引入与之相左的名词徒增混淆，所以课本回避给它命名。非常遗憾，这些你似乎都没有听到或看到。

当你我走进考场时，我是考官你是考生，地位是不平等的，考官的意见高于考生的意见，历来如此，中外届然。我有责任也有权力，通过判卷，把我认为不对的或者不好做法加以修正，这不能算是我“把自己的观点通过暴力的手段强加于学生”。如果你担心我老眼昏花，那请把自己的解答写清楚，相信我还是有能力明辨是非，秉公判卷。如果你不按套路出牌，面对语焉不详的解答，我就要努力甄别你是“真懂”还是“投机取巧”。我非圣贤，孰能明察秋毫，如有冤假错案，实非本意。

正如不同产品有不同定位，不同品牌有不同的顾客群，我的课程也有特定的听众，需要一定的先修知识。非常抱歉，我没有能力满足所有同学的需求，兼顾所有同学的水平，我只能首先考虑数学学院三年级学生的学习特点，从未奢望成为你所说的“能使卖白菜的了解相对论”的（教学）大师，“阳春白雪”和“下里巴人”本来就是很难调和的。课本是我编的，我把我认为最重要的内容写进去了；课也是我在讲，讲的当然还是我认为最重要的内容，两者差异不可能太远。如果课本和演讲差异过小，使你失望，我一时也没有更好的办法，还请你另觅高明。我在第一天上课时就说过这学期还有一门双学位的同名课，是为非数学专业同学开设的，要求可以宽一些。对你来说，拙作晦涩难懂，耽误你的学习，我很抱歉，建议赶快换一本适合你的读本。拙作是否应该出版，那是出版社与鄙人商量决定的，你就不必多虑了。至于“北大数学系招了这么多数学天才而没有出来什么绝对大牛”，我该当何责？则是更加宏大的话题，不是你我几次通信就能讨论明白的，恕不展开来做进一步阐述。顺祝

学习进步！

陈大岳

2011-11-24

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2009年秋学期教学安排

课程： 应用随机过程

授课对象：本科三年级

教材： 同名讲义，陈大岳章复熹合编

授课时间：周三12节 周五（双）34节

地点： 理教107室

答疑时间：周二下午2:00-4:00 周三上午10:00-11:30

地点： 理科一号楼1494

期终考试时间 2010年1月7日（星期四）上午8:00－10:30

地点: 二教105

第6周（10月19日－23日）答疑时间改为周四（22日）下午14:00－14:50, 16:10-17:00

期中考试 11月11日（周三）上午1-2节，地点理教113。

考前答疑时间: 周一周二下午 14:00-16:00 or you can catch me.

作业 每周三上午9点在课堂收取、发放

9月16日 第一章 3 4 5 9 10 11 7

9月23日 第一章 12 13 14

10月9日 第二章 1 2 3 4 6 7

10月14日 第二章 14 16 17 18 22 26 29

10月23日 第二章 21 23 24 25 31 32 33

10月28日 第二章 39 43 44 45 46 50 54

11月4日 第二章 55 56 57 60 63 62

11月18日 第三章 1 3 4 5 6

11月25日 第三章 11 12 13 14 15 9

12月2日 第三章 16 18 23 25 26

12月9日 第三章 27 28 29 30 33 34 36

12月16日 第四章 1 2 3 5 7 8 9

12月23日 第四章 12 15 17 21 23 28 30

 
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《应用随机过程》  2008年秋

上课时间/地点 周二(单周) 14:40-16:30， 周五 8:00-9:50, 理科楼213

答疑时间/地点 周三下午2:00-4:00, 理科楼1494

期中考试时间/地点: 2008年11月14日上午8:00-10:00,哲学楼101  2004年考题

期末考试时间/地点: 待定 2004年考题

教材：钱敏平龚光鲁《应用随机过程》，北京大学出版社1998年

补充讲义1 补充讲义2 补充讲义3 补充讲义4 补充讲义5

　

R.Dobrushin (1989.6, 陈大岳摄于Madison, Wisconsin)

主要内容

第一章:随机游动

1. 简单随机游动

Green函数, 赌徒破产, 首达时间

概率空间, 停时, Wald引理, 反射原理,反正弦律

2.  注记: 群和树上的随机游动,

第二章: 马尔可夫链

1. 定义, 马尔可夫性质及其等价命题, 互通, 不可约, 常返和非常返

2. 平稳分布, 收敛速度, Dobrushin准则,

3. 可逆过程, 判断常返、 判断收敛的新办法, 图上随机游动

4. 分支过程,

第三章: Q-过程

1. Poisson过程, 指数分布的无记忆性

2. Q-过程的定义, 爆炸, 嵌入链和骨架过程,

3. 生灭过程, 排队模型, (有限) 接触过程

4. 注记: 高维Poisson过程, 更新过程和点过程, 马氏过程, Q-过程的构造

第四章: 布朗游动

1. 物理描述, 数学定义, 基本性质, 维纳空间

2. 用随机游动逼近布朗游动, 不变原理, 反正弦律

3. 布朗游动的轨道性质, 连续而处处不可微, 强马氏性

4. 用布朗游动解微分方程 (注记: 超过程和非线性微分方程, hydrodynamic limit)

5. Gauss过程和随机微分方程, OU过程,布朗桥

第五章: 其它随机过程简介

1. 渗流模型和伊辛模型 (包括random cluster model,随机场)

2. 平稳过程和遍历定理

　

讲课笔记及作业

第一周； 第二章 1 2 4 16 19  讲课笔记

第二周：第二章 15 16 20  讲课笔记

第三周：第三章： 1 3 5(a)(b)  讲课笔记

第四周： 第三章 5 6 11 12  讲课笔记

第五周： 第三章 10 14 16 19 21  讲课笔记

第六周： 第三章 18 23 24  讲课笔记

第七周： 无作业， 期中考试 讲课笔记