音 乐 与 数 学

Music and Mathematics

2017 - 2018 学年第二学期

课程性质：全校通选课（北京大学通识教育核心课程）

时　　间：每周一晚上10－11节（18:40－20:30）；2018年2月26日开始第一次课

地　　点：理教108

先修课程：无

课程简介：本课程希望通过介绍音乐与数学(也包括一些声学方面的知识)之间密不可分、却又为常人所不知的关系, 以期探讨音乐这门抽象的艺术与数学和自然科学之间的互动, 比较两者的思想方法之异同, 打通文理界限, 提高学生的艺术修养和分析能力, 最终达到提高学生综合素养的目的. 也正是出于这样的考虑, 在课程设计方面并不要求听课的学生具有音乐或者数学方面的先修课程, 而是随着教学的进程陆续介绍一些与课程内容有直接关联的音乐理论知识和数学知识. 在数学方面, 只假定听众具有高中数学的知识水平. 对于需要用到的几何、代数（群论）、组合计数等方面的内容都尽量做了比较详细、直观的介绍. 如果你学过高等数学, 肯定会对理解课程内容有所帮助. 但即便是没有学过高等数学的听众, 也同样能够通过本课程了解音乐与数学之间的密切联系以及相关的一些数学思想和方法. 实际上, 音乐理论中比较艰深的部分, 如律学、和弦等, 对应的数学知识并不复杂,主要是比例(分数)、对数等. 而像波动方程的解、傅里叶级数等数学内容, 对应的音乐现象反倒是比较容易理解的, 例如泛音列、音色、音高与弦长之间的关系等等.

内容提要：

I．音乐基础知识：声音的物理属性；乐音体系；唱名法；音乐的坐标系―五线谱；音程；协和音程与不协和音程

II．乐器是如何发声的：一维振动方程；振动模态与泛音列；傅里叶级数与拨弦振动；管乐器

III．乐律—乐音体系的生成：三分损益法；毕达哥拉斯五度相生法；纯律（just intonation）；平均律；音分（cents）的概念

IV．调式、音阶与和弦：调式与音阶；和弦；调式中的和弦；等价关系与音级类（pitch class）

V．节奏与几何：固定节奏型；节奏的影子与轮廓；Bjorklund算法与欧几里得节奏；相移与Clapping Music

VI．旋律与对称：旋律的移调变换；倒影与逆行；音乐变换群；十二音技术

VII．和弦与音网：和弦的几何；再看音阶；三和弦之间的变换；音网（Tonnetz）；新黎曼理论

VIII．音乐与随机过程：音乐骰子游戏；随机音乐；机器作曲·人工智能；有色彩的噪声、1/f音乐

参考教材：

1. 基本乐理通用教材，李重光，高等教育出版社，北京，2004

2. 数学与音乐，周明儒，高等教育出版社，北京，2015

3. Tonal Harmony: with an introduction to twentieth-century music, S. Kostka, D. Payne, and B. Almén, McGraw-Hill, New York, 7th edition, 2013

4. The Math Behind the Music, Leon Harkleroad, Cambridge University Press, Cambridge, 2006

5. Music: A Mathematical Offering, David J. Benson, Cambridge University Press, Cambridge, 2007

6. Mathematics and Music, David Wright, Amer. Math. Soc., Providence, R. I., 2009

7. The geometry of musical rhythm, Godfried T. Toussaint, CRC Press, Boca Raton, 2013

8. From Music to Mathematics, Gareth E. Roberts, Johns Hopkins University Press, Baltimore, 2016