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几何学
黎曼几何引论
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几 何 学
几何学及其习题课是数学科学学院（为本院全体本科生和元培实验班的部分本科生）开设的第一门几何学课程。是我院的最重要的几门基础课之一。该课程担负着培养学生几何思想，加强学生几何素质的重要任务。该课主要介绍空间解析几何理论。也适当介绍几何学的基本思想，如几何不变量、群与几何的关系。用代数方法讨论空间曲线、曲面的几何性质和不变量。把图形和方程有机的联系起来。具体内容包括：向量代数，空间的平面和直线，常见曲面，坐标变换，二次曲线方程的化简及其性质，正交变换和仿射变换，射影平面和射影变换。 因此，该课既是学生阶段平面解析几何知识的延伸和扩展，同时也为学生在本科阶段的多元微积分，物理学等课程打下坚实基础。同时也为从事现代微分几何及相关领域的研究做多一些准备。
该课主要介绍空间解析几何理论。也适当介绍几何学的基本思想，如几何不变量、群与几何的关系。用代数方法讨论空间曲线、曲面的几何性质和不变量。把图形和方程有机的联系起来。具体内容包括：向量代数，空间的平面和直线，常见曲面，坐标变换，二次曲线方程的化简及其性质，正交变换和仿射变换，射影平面和射影变换。
内容提要：
第一章 向量代数
1.1 向量及其线性运算
1.2 仿射坐标系和直角坐标系
1.3 向量的内积
1.4 向量的外积
1.5 向量的混合积
第二章 空间的平面和直线
2.1 仿射坐标系中平面的方程, 两平面的相关位置
2.2 直角坐标系中平面的方程, 点到平面的距离
2.3 直线的方程, 直线、平面间的相关位置
2.4 点、直线和平面之间的度量关系
第三章 常见曲面
3.1 球面和旋转面
3.2 柱面和锥面
3.3 二次曲面
3.4 直纹面
第四章 坐标变换
4.1 平面的仿射坐标变换
4.2 矩阵及其运算
4.3 平面直角坐标变换
4.4 空间坐标变换
第五章 二次曲线方程的化简及其性质
5.1 二次曲线方程的化简
5.2 二次曲线的不变量
5.3 二次曲线的对称中心
5.4 二次曲线的直径和对称轴
5.5 二次曲线的切线、双曲线的渐近线
第六章 正交变换和仿射变换
6.1 映射
6.2 平面的正交变换
6.3 平面的仿射变换
6.4 图形的度量和仿射性质
6.5 二次曲线的正交分类和仿射分类
6.6 空间的正交变换和仿射变换
第七章 射影平面和射影变换
7.1 射影平面, 齐次坐标
7.2 射影平面上的对偶原理
7.3 交比
7.4 射影坐标和射影坐标变换
7.5 射影映射和射影变换
7.6 配极, 二次曲面的射影分类
参考书目：
丘维声，解析几何，北京大学出版社。
尤承业，解析几何，北京大学出版社。
吕林根和许子道，解析几何，高等教育出版社。
王汇淳等，几何学引论（上，下），高等教育出版社。
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http://www.math.pku.edu.cn:8000/misc/course/geometry/index.html
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黎 曼 几 何 引 论
课程编号 001 1 000 0 开课学期 春或秋 周学时3 学分 3
课程名称 黎曼几何引论
英文名称 Riemannian Geometry I
先修课程 微分流形
教学对象 研究生和高年级本科生 考试方式: 笔试
内容提要：
第一章 黎曼流形
1. 黎曼度量；曲线的长度；流形的体积；等度变换。
2. Levi-Civita 联络；张量的协变微分；Laplace-算子；Hodge *-算子。
3. 黎曼曲率张量；Ricci曲率张量；数量曲率；截面曲率；常曲率空间。
第二章 测地线
1. 向量的平行移动；测地线；指数映射。
2. 正规坐标系；测地线的局部最短性；凸邻域；完备黎曼流形和Hopf-Rinow定理。
3. 曲线的第一变分公式；第二变分公式；Jacobi向量场；Myers定理；Cartan-Hadamard定理；Cartan-Ambrose-Hicks定理。
第三章 子流形理论
1. 子流形的结构方程；第一基本形式；第二基本形式；Weingarten算子；主曲率；中曲率；Gauss方程；Codazzi方程；Ricci方程。
2. 体积的第一变分公式；第二变分公式；极小子流形。
3. Rn、Sn、Hn中的极小子流形；全脐子流形，等距超曲面。
参考书目：
M. P. doCarmo, Riemannian Geometry, Birkhaeuser, 1992.
陈省身，陈维桓，《微分几何讲义》，北京大学出版社，1992.
伍鸿熙，虞言林，沈纯理，《黎曼几何初步》，北京大学出版社，1989.
白正国，沈一兵，《黎曼几何初步》，高等教育出版社，1992.