2020年秋季  高等数学A (一)

 

授课教师：李智强

办公室: 78105W-1
答疑时间: 预约
E-mail: zli at math.pku.edu.cn

地点时间:

理教107，第一周至第十六周，周二1-2节，周四3-4节

习题课: 第一周至第十六周，周二10-11节

教学目的:

通过此课的学习，使有关专业的低年级学生了解微积分学科的整体框架： 以实数为平台（集合）， 以极限为工具， 以一元函数为研究对象，来研究函数的三观： （中观）连续、（微观）可导和（宏观）可积， 然后再把平台由实数拓广到多元函数所在的平台Rn。 因此，教学目的应凸显出一元场景下的基础性和多元场景下的丰富性。 高数A 注重培养学生的直观猜测能力、严格的逻辑推理能力、抽象思维能力， 以及运用数学知识解决实际问题的能力，培养和提升学生严谨的数学思维和勇于探索的科学精神。

教学内容:

1、 序列极限：微积分的历史和意义，实数公理，确界原理，可数集、序列极限的定义，无穷小和无穷大，序列极限的性质，单调有界收敛，常数e和欧拉常数，区间套定理，有限覆盖定理，聚点原理，子序列收敛定理，柯西准则，序列的上、下极限等（约18学时）。

2、 函数极限：函数极限的定义、性质以及它和序列极限的关系，函数极限的存在性，两个重要函数极限等（约4学时）。

3、 连续与间断：连续的基本概念，间断的类型，单调函数的间断，一致连续，闭区间上连续函数的三大定理，无穷小（大）量的阶（约6学时）。

4、 导数与微分：导数的定义、性质和几何，单侧导数，初等函数的导数，复合函数求导，隐函数求导，反函数求导，参数函数求导，微分的定义，几何及其和导数的关系，一阶微分形式不变性，高阶导数和高阶微分等（约10学时）。

5、 微分中值定理：费马定理，达布定理（导函数的介值性），罗尔微分中值定理，拉格朗日微分中值定理，柯西微分中值定理，单侧导数极限定理，微分中值定理的应用，函数的单调性与极值，洛必塔法则等（约8学时）。

6、 泰勒公式： 泰勒公式的计算与应用，拉格朗日插值，函数的凹凸性，凸函数，函数作图等（约6学时）。

7、 不定积分：不定积分的基本概念、性质与计算，换元法和分部积分法，有理函数的不定积分等（约4学时）。

8、 定积分（上）：定积分的基本概念，微积分基本定理，换元法和分部积分法，原函数的存在性和变项定积分，可积函数的逼近，阶梯函数，积分的连续性等（约8学时）。

参考书目：

教材：数学分析（I）、（II），伍胜健编著，北京大学出版社。

拓展：（1）Mathematical Analysis (I)，V.A.Zorich；

      （2）微积分学教程（I），菲赫金哥尔茨。

评分方法：

作业（比例待定），期中考试（比例待定），期末考试（比例待定）。

期中考试安排：

时间：11月19日3-4节（随堂考）

地点：理教107

期末考试安排：

时间：2021年1月14日 （周四）上午

地点：待定

作业布置（每周二习题课交上周作业）：

Last Updated: 12/4/2020