| 《拓扑学》2007 年秋季学期教学纲要 |
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| 注意：这个纲要中不包括期末考试不考的“选讲”内容（比如泛复迭空间的存在性定理） |
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| 第1周9月12日：拓扑学的直观认识，课程简介，集合论简单回顾 |
| 主要概念： | 集合，子集，幂集，交，并，差，余集，De Morgan 公式，映射，像，原像，单射，满射，复合，恒同映射，包含映射，笛卡尔积，关系，等价关系，商集 |
| 特别关注： | 等价关系 |
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| 第1周9月14日：拓扑公理，拓扑空间中的一些基本概念，度量空间 |
| 主要概念： | 拓扑公理，开集，邻域，内点，内部，闭集，聚点，闭包，稠密，可分，点列的收敛性，子空间拓扑，度量空间 |
| 常用例子： | 欧氏拓扑，平凡拓扑，离散拓扑，余有限拓扑，余可数拓扑，度量拓扑 |
| 特别关注： | 拓扑公理，度量空间 |
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| 第2周9月19日：连续映射及其基本性质，同胚映射 |
| 主要概念： | 映射在一点处的连续性，连续映射，同胚，拓扑性质，拓扑概念，粘接引理，开/闭映射 |
| 常用例子： | 常值映射，球极投射，嵌入映射，度量空间中的连续性 |
| 特别关注： | 连续映射，同胚 |
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| 第2周9月26日：拓扑基与邻域基，乘积空间，可数公理（上） |
| 主要概念： | 拓扑基，邻域基，两个拓扑空间的乘积，投射，分量，C1 及 C2 可数公理，拓扑性质的遗传性和可乘性 |
| 常用结论： | 到乘积空间的映射连续当且仅当分量都连续，可分度量空间满足 C2 公理 |
| 特别关注： | 拓扑基，邻域基 |
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| 第3周9月28日：分离公理，可数公理（下），一些较难构造的相关反例 |
| 主要概念： | T1，T2，T3，T4 分离公理，Hausdorff 空间，拓扑流形，C1，C2 可数公理 |
| 常用结论： | T2=>T1，T1+T3=>T2，T1+T4=>T3，度量空间满足 T1，T2，T3，T4 公理，C2+T3=>T4 |
| 特别关注： | Hausdorff 空间，C2 空间 |
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| 第5周10月10日：Urysohn 引理及相关定理 |
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| 主要概念： | Urysohn 引理，Tietze 扩张定理，Hilbert 空间，可度量化，Urysohn 度量化定理，收缩核，收缩映射 |
| 特别关注： | Urysohn 引理 |
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| 第5周10月12日：紧致与列紧 |
| 主要概念： | 覆盖，紧致，列紧，δ-网，Lebesgue 数，Hausdorff 空间的紧致子集，紧致的可乘性，局部紧致，一点紧化 |
| 常用结论： | 度量空间中紧<=>列紧，紧空间的闭子集紧，紧空间的连续像紧，Hausdorff 空间的紧子集闭，紧空间到 Hausdorff 空间的可逆连续映射是同胚，紧空间的乘积紧 |
| 特别关注： | 紧致性 |
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| 第6周10月17日：仿紧等其它紧性，连通性 |
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| 主要概念： | 连通，连通分支，局部连通 |
| 常用结论： | E1 的子集连通<=>是区间，连通空间的连续像连通，有连通稠密子集的空间连通，连通核心+连通覆盖=>连通，连通分支是互不相交的闭集 |
| 特别关注： | 连通性 |
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| 第7周10月24日：道路连通性，拓扑性质与同胚 |
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| 主要概念： | 道路，起点，终点，闭道路，点道路，乘积道路，逆道路，道路连通，道路分支，局部道路连通 |
| 常用结论： | E1 的子集道路连通<=>是区间，道路连通=>连通，道路连通空间的连续像道路连通，道路连通核心+道路连通覆盖=>道路连通，局部道路连通空间中道路分支=连通分支 |
| 特别关注： | 道路连通分支 |
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| 第7周10月26日：商空间与商映射 |
| 主要概念： | 商空间，商拓扑，粘合映射，商映射，几何锥，拓扑锥，实射影空间，贴空间 |
| 常用结论： | 开/闭映射是商映射，紧致空间到 Hausdorff 空间的连续满射是商映射，商映射在定义域上诱导的关系决定的商空间同胚于其完全像空间 |
| 特别关注： | 商映射 |
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| 第8周10月31日：拓扑流形，闭曲面分类定理（上） |
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| 主要概念： | 拓扑流形，边界，内部，闭流形，闭曲面，平环，Mobius 带，射影平面，环面，Klein 瓶，环柄，交叉帽，曲面的可定向性及亏格，标准多边形表示，连通和 |
| 常用结论： | 闭曲面分类定理 |
| 特别关注： | 闭曲面的分类 |
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| 第9周11月9日：Euler 数与定向，其它内容选讲 |
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| 主要概念： | 单形，复形，闭曲面的三角剖分，闭曲面的 Euler 数，单形上的定向，被剖分的闭曲面的可定向性 |
| 常用结论： | gT2 可定向且 Euler 数为 2-2g，kP2 不可定向且 Euler 数为 2-k |
| 特别关注： | Euler 数 |
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| 第10周11月14日：关于群的常用知识（上），映射的同伦 |
| 主要概念： | 群，同态，同构，交换群，循环群，正规子群，陪集，商群，换位子，交换化，同伦，伦移，映射类，柱化，零伦，相对同伦，道路的定端同伦，道路类 |
| 特别关注： | 映射的同伦 |
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| 第11周11月21日：基本群 |
| 主要概念： | 基点，闭道路类的运算，基本群，连续映射诱导的基本群的同态，基点移动轨迹诱导的基本群的共轭，单连通，圆周的基本群，圈数 |
| 常用结论： | 道路连通空间基本群同构类是拓扑不变量，π1(S1)≌Z，n>1 时 Sn 单连通 |
| 特别关注： | 基本群的定义 |
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| 第11周11月23日：基本群的同伦不变性 |
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| 主要概念： | 同伦等价，同伦逆，收缩，形变收缩，强形变收缩，圆束，可缩空间 |
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| 常用结论： | 同伦的映射诱导的基本群的同态只差一个同构，同伦等价诱导基本群的同构，与粘法相容的形变收缩诱导商空间的形变收缩 |
| 特别关注： | 形变收缩 |
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| 第12周11月28日：关于群的常用知识（中），Van Kampen 定理，基本群的应用 |
| 主要概念： | 字，约化字，自由群，生成元，关系，有限表出群，自由积，Van Kampen 定理（包括两种空间分解条件和两个常用特例） |
| 主要例子： | Brouwer 不动点定理，代数基本定理，区分曲面的边界点和内点 |
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| 特别关注： | Van Kampen 定理 |
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| 第13周12月5日：关于群的常用知识（下），闭曲面分类定理（下），Jordan 曲线定理 |
| 主要概念： | 交换化，有限生成交换群的直和分解，秩和挠系数及其算法 |
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| 主要例子： | 计算闭曲面基本群->计算该群的交换化->证明 gT2 和 kP2 各不相同 |
| 特别关注： | 闭曲面基本群的计算 |
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| 第13周12月7日：复迭空间 |
| 主要概念： | 复迭映射，复迭空间，底空间，基本邻域，纤维，叶数，轨道空间，映射的提升，半单连通，局部半单连通 |
| 常用结论： | 映射提升的唯一性，道路提升的存在唯一性，复迭空间的基本群 |
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| 特别关注： | 复迭空间 |
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| 第14周12月12日：关于映射提升的几个定理 |
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| 常用结论： | 同伦提升定理，映射提升定理 |
| 特别关注： | 映射提升的存在性 |
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| 第15周12月19日：复迭空间的同构，复迭变换，正则复迭空间 |
| 主要概念： | 复迭空间的同态和同构，复迭变换，复迭变换群，正则复迭空间，透镜空间，泛复迭空间 |
| 主要结论： | 存在复迭变换 h:e|->f 当且仅当 He=Hf，正则复迭空间中 D(E,p)=π1(B,b)/He |
| 特别关注： | 正则复迭空间 |
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| 第15周12月21日：复迭空间的存在性，其他例子选讲 |
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| 第16周12月26日：期末总结复习 |
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