本周作业：
1. 在平面直角坐标系所确定的整数格点阵 \((m,n)\in \mathbb{Z}^2\subset \mathbb{R}^2\) 中，设点 \(A=(-1,0)\) , \(B=(-1,-1)\) , \(C=(-2,0)\) 。经过一个平面等距变换 \(\sigma\in Iso(\mathbb{R}^2)\) 的作用后，格点三角形 \(\triangle ABC\) 映为另一个格点三角形（即顶点都在整数格点上），其中 \(A'=\sigma(A)=(1,0)\)。
2. 设 \(\phi:l\to l'\) 是两条平面直线之间的一个“等距映射”，即保持直线 \(l\) 上任意一对点的距离在映射后不变。试证明：存在一个平面等距变换 \(\tilde\phi:\mathbb{E}^2\to \mathbb{E}^2\) ，使得其限制在 \(l\) 上的作用效果等于 \(\phi\) ，用符号表示即为 \(\tilde\phi|_l=\phi:l\to l'\) 。
3. 试证明两个平面旋转的复合还是旋转（旋转中心可以不同），除非两个旋转角之和是 \(0\) 或 \(2\pi\) （后一情形，两者复合的结果必定为平移或恒同）。
4. 平面四边形 \(ABCD\) ，对边 \(|AD|=|BC|\) . \(E,F\) 分别是对边 \(AB,CD\) 的中点，试利用向量代数的工具（内积），证明： \(EF\) 与 \(AD\) 的夹角，等于 \(EF\) 与 \(BC\) 的夹角。（背后更广的几何意义：线段 \(AD\) 经过一个滑反射得到线段 \(BC\) ，而滑反射轴恰好是直线 \(EF\) 。）
5. 在平面 \(\mathbb{E}^2\) 上，设 \(g\) 是关于直线 \(l\) 的反射， \(f\) 是一个平移，而且平移方向与 \(l\) 不垂直。试证明 \(f \circ g\) 是一个滑反射（不是反射）。
6. 王长平“几何学讲义” 43-44 页 14-15 题，如下：
设 \(\mathbb{P}\) 是一个凸多面体， \(A\) 为 \(\mathbb{P}\) 的一个顶点。记 \(\theta(A)\) 为所有以 \(A\) 为顶点的面在 \(A\) 点的角的总和（以弧度计算）。我们定义多面体在 \(A\) 点的“（离散）曲率” \(K(A)=2\pi-\theta(A).\) 显然，曲率越大， \(\theta(A)\) 越小，顶点 \(A\) 越“尖”。问：
7. 以下对象的自由度是多少？尝试回答并简要说明你的理由。以下“平面”均指一个固定的平面，空间均指三维欧氏空间。
8. 在 \(\mathbb{R}^4\) 中取定一组单位正交基，记为 \(1, i, j, k\)，则 \(\mathbb{R}^4=\{a+bi+cj+dk,\ \textrm{其中} \ a, b, c, d\in\mathbb{R}\}\) 上面除开通常定义的向量加法，零元素为 \(0=0+0i+0j+0k\) ，也有一个 Hamilton 发明的乘法结构，称为四元数 \(\mathbb{H}=\mathbb{R}^4\) ，定义如下：它是一个二元运算，取值仍然在 \(\mathbb{H}\) ，对向量加法和数乘满足线性（分配律），而在基上有： \(1\) 是乘法单位元，且 \(i^2=j^2=k^2=-1\), \(i\cdot j=-j\cdot i=k\), \(j\cdot k=-k\cdot j=i\), \(k\cdot i=-i\cdot k=j\) 。试回答：