本周练习：

1. 从单位球面 \(S: x^2+y^2+z^2=1\) 的北极点 \((0, 0, 1)\) 向平面 \(z=0\) 作球极投影，记球面上的点为 \((\xi, \eta, \zeta)\) ，平面上的点为 \((u, v, 0)\) （或用复坐标 \(w=u+vi\)）。

1. 试给出该投影 \(\pi\) 及其逆投影 \(\pi^{-1}\) 的坐标表示，并用解析几何方法验证其保圆性。（提示：注意球面上的圆周是该球面与一个平面的截线， \(x, y, z\) 满足一个线性方程。）
2. 球面 \(S\) 上由竖直的一族平行平面 \(x=t\) （参数 \(t\) 在 \((-1, 1)\) 之间取值）截出的圆周（球面上的同心圆族），在球极投影下，映为一族什么样的圆周？

（注：设球面 \(S\) 上给定一个圆 \(\sigma\) （不是大圆），则有与此球相切于 \(\sigma\) 的圆锥面及其顶点 \(O\) 。球面上两点 \(A, B\)，若其连线恰通过 \(O\)，则称 \(A, B\) 关于此圆 \(\sigma\) 对称。超出考试范围，让我们指出以下一系列有趣的事实：在通常的球极投影下，球面上关于 \(\sigma\) 对称的两点 \(A, B\) ，其投影像 \(A', B'\) 也关于 \(\sigma\) 的投影像 \(\sigma'\) 对称。于是，对于球面上两个相邻的圆周 \(\sigma_1, \sigma_2\) ，取它们各自的切锥顶点并连线，与球面交于两点 \(A, B\)，则 \(A, B\) 在球面上关于这两个圆周均对称。经过球极投影到平面上，恰好可以看到，对应的像 \(A', B'\) 会是投影后的一对相离的圆 \(\sigma_1', \sigma_2'\) 的“焦点”。）

2. 设圆 \(C\) 和 \(C_0\) 彼此外切，两者都内切于圆 \(C'\) ，且圆心在同一条对称轴上，以下依次有圆 \(C_{i+1}\) 与 \(C, C', C_i\) 均相切， \(i\) 从 \(0\) 直到正无穷。利用一个适当的反演来证明： \(C_i\) 的圆心到对称轴距离 \(h_i\) 是 \(C_i\) 半径 \(r_i\) 的 \(2i\) 倍。
（此图形称为“鞋匠之刀”，图形见https://mathworld.wolfram.com/Arbelos.html）

3. 证明“Steiner 圆链定理”：给定两个相套的圆周 \(C, C^*\) （大的套小的，彼此相离）。如果从某个给定的小圆 \(C_1\) 开始，存在一连串小圆 \(C_2, \cdots, C_n\) ，使得它们相邻的两个都彼此外切，并且都与 \(C, C^*\) 相切，那么从任何一个与 \(C, C^*\) 都相切的小圆 \(D_1\) 开始，都有这么一串小圆，顺序彼此相切并与 \(C, C^*\) 相切，最后又回到 \(D_n\) 且与 \(D_1\) 相切。

4. 两个彼此正交的圆 \(\sigma_1, \sigma_2\) ，各自的方程在直角坐标系下写成 \(f_i(x, y)=x^2+y^2+2D_ix+2E_iy+F_i=0, i=1, 2.\) 请用系数 \(D_i, E_i, F_i\) 的关系式表达这个“正交”条件，并由此证明：如果 \(\sigma_1, \sigma_0\) 均与 \(\sigma_2\) 正交，各自的方程用 \(f_i(x, y)=x^2+y^2+2D_ix+2E_iy+F_i=0\) 来表示，则含参数 \(t\) 的方程 \(f_0+tf_1=0\) 所表达的一族圆（称为 \(\sigma_1, \sigma_0\) 决定的“线性系” (linear system)），都与 \(\sigma_2\) 正交。

（这个命题中揭示的关系是：多个圆及其关系，有可能用线性代数的工具来表达和研究。这把莫比乌斯几何及莫比乌斯变换群，纳入到线性空间和矩阵群的主流框架。）