本周作业：无尤书习题。另外补充如下。未加说明的都是必做题。
1. 关于共面的四个向量的交比（尤承业书 235 页；也可见王长平讲义），请证明以下结论：
- 这个交比的取值，只依赖于四个向量所在的直线方向；把四个向量各自任意放缩若干倍，这个交比值不变。（于是这给出了 well-defined 的共面四线交比定义。再利用中心直线把模型，这也可以看作是共线四点的交比定义。）
- 取这四个方向所确定的过 \(O\) 点的共面四线，并与另一条不过 \(O\) 点的直线 \(l\) 与它们交于四点。试验证：上述交比，与这四点交比，恰好相等。
- 考虑三维空间中的任意一组四个共面向量，利用射影变换所对应的 3×3 矩阵表示，证明：四向量交比（共面四线交比，共线四点交比）是射影变换下的不变量。
- 若取平面仿射坐标系，并把这四个向量表示为二维列向量，排成以下矩阵：\[\begin{pmatrix}
a_1 & a_2 & a_3 & a_4 \\
b_1 & b_2 & b_3 & b_4 \\
\end{pmatrix}
\]
试用这个矩阵的二阶子式（若干二阶行列式）的运算，给出四个向量交比的表达式。
2. 给定仿射平面上 \((x,y)=(\pm 1,\pm 1)\) 这四点。
- 画出过这四点的二次曲线族的图示。
- 说明过平面上任意一点恰好有其中一条。
- 这些二次曲线何时退化？
- 证明：给定平面上一般位置的 4 点，有单参数的一族二次曲线，可以写成 \(\Gamma_0+t\Gamma_1\) ，其中 \(\Gamma_0,\Gamma_1\) 过这四点，而且恰好有三次退化（对应其中三个不同的参数值）。
（这是另一个角度描述的“5 点确定一圆锥曲线”。其中 \(\Gamma_0+t\Gamma_1\) 称为 \(\Gamma_0,\Gamma_1\) 生成的“线性系” （linear system）。看过此题，再做尤承业书中 142 页 11 题，会不会有启发？）
3. 在 Steiner 定理和 Pascal 定理中，任选一个，证明其逆定理成立。
（逆定理的表述在课上大致说过，即：给定 5 点后，满足特定性质的动点轨迹是一个圆锥曲线 \(\Gamma\)。当时忘了强调一句，这个 \(\Gamma\) 也经过这 5 个给定的初始点。）
4. 请给 Brianchon（布里安松）定理一个初等的证明，即：圆锥曲线外切六边形的三条主对角线交于一点。
（提示：可以考虑把 \(\Gamma\) 映为圆，把其中两条主对角线的交点映为该圆圆心，再来证明。）
5. 对于 \(\Sigma\) 平面上的抛物线 \(\gamma\) ，方程为 \(\tilde{y}=\tilde{x}^2\) 。请验证：
- 在中心直线把模型里，通过对应法则 \(\tilde{y}=y/z, \tilde{x}=x/z\) ，它可以对应于一个二次锥面 \(f(x,y,z)=0\) . 请写出以下三个对象的方程（齐次坐标）：
这个二次锥面； \(\Sigma\) 对应的平面； \(\gamma\) 上无穷远点 \(p\) （对应于 \(\gamma\) 的渐近方向）。
- 通过换元 \(u=\frac{y+z}{2},v=\frac{y-z}{2}\) ， \(\gamma\) 及其无穷远点 \(p\) ，对应到 \((x,u,v)\) 坐标系中的什么曲面方程和方向？
- 再取 \(u=1\) 平面截这个二次锥面，等价于将 \(\gamma\) 从原来的 \(\Sigma\) 平面投影到 \(u=(y+z)/2=1\) 平面上。请写出以下对象在这个仿射平面上的新方程（新坐标）：
原 \(\Sigma\) 平面的无穷远直线 \(l_{\infty}\) ；原渐近方向 \(p\) ；原 \(\gamma\) 曲线。
- 将上述三者对应记为 \(l_*, p_*, \gamma_*\). 试验证： \(l_*\) 与 \(\gamma_*\) 相切于 \(p_*\).
6. （选做题）
我们给“\(\Sigma\) 平面上的光滑曲线 \(\gamma\) 与直线 \(l\) 在 \(p\) 点相切”一个更严密的定义，并适用于无穷远的情形，即：
这句话成立，当且仅当“\(\gamma\) 在中心直线把中所对应的锥面 \(S\) （由 \(O\) 与 \(\gamma\) 所连直线构成），以及直线 \(l\) 所对应的平面 \(\pi\) ，两者沿 \(Op\) 直线相切。”（这里假设你知道如何定义曲面的切平面。）
试根据这个定义，验证抛物线与无穷远直线在一个无穷远点相切。
7. （选做题）
- 利用 Steiner 定理，给出“\(\Gamma\) 上四点的交比”一个良好的定义。
- 在 \(\Gamma\) 内取一点 \(O\) ，把 \(\Gamma\) 上任意一点 \(p\) 映为 \(Op\) 与 \(\Gamma\) 的交点 \(f(p)=p'\) 。证明：这个映射保持 (1) 中合理定义的“交比”。
- 同上，但这一次 \(O\) 取在 \(\Gamma\) 外部，请问结论照样成立吗？
- 把 \(O\) 点取在 \(\Gamma\) 上，再另取一条直线 \(l\) ，将 \(\Gamma\) 上任意一点 \(p\) 映为 \(Op\) 与 \(l\) 的交点 \(g(p)=p'\) 。试证明这是一个保持交比的映射，即： \(\Gamma\) 上四点交比，在对应下保持不变，成为 \(l\) 上共线四点的交比。
- 取 \(\Gamma\) 为平面直角坐标系中的单位圆， \(O\) 为 \((0,1)\) ，按上面的方式投影到 \(x\) 轴上，请写出具体的参数表达式。这称为圆锥曲线的“有理参数化”。
8. （选做题）
对于一条圆锥曲线 \(\Gamma\) ，可以利用对偶对应 \([x,y,z]^T \mapsto [x,y,z]\) 得到其“对偶”的对象（也就是“射影点”对应的行向量转置，得到列向量所对应的“射影线”。试验证，这样对偶得到的，其实是一条圆锥曲线的切线族。（可以取一个特例来验证，例如圆或标准方程表示的椭圆/抛物线/双曲线。）