提示：10 月 9 日课上还有一次讲解和讨论。10 月 14 日周三习题课交。

定义：一个集合上元素之间的二元关系 \(\sim\)，如果满足“自反性、对称性、传递性”，就称为一个“等价关系”。自反性是指一个元素 \(a\) 总有 \(a\sim a\)。对称性是指若 \(a\sim b\) 则必有 \(b\sim a\)。传递性是指若 \(a\sim b, b\sim c\) 则必有 \(a\sim c\)。彼此等价的元素一起构成一个“等价类”。

（一）（必做）。设想一个二维的世界（可以叫曲面），有通常的直线（射线）、长度、角度概念，而且过任意两点都可以作唯一的一条直线。为了谈论“绝对方向”和“平行”的概念，我们在过各点的各条射线之间，建立一个“同向”关系，定义是：过 \(A\) 点的射线 \(a\) 与过 \(B\) 点的射线 \(b\) “同向”，当且仅当 \(A=B\) 且两条射线重合，或射线 \(AB\) 与 \(a,b\) 的同位角相等。

证明：若要“同向”是一个等价关系，等价于要求任何一个三角形的内角和是 180 度。

（二）（必做）。我们称两点 \(A, B\) 在直线 \(l\) 的“同侧”，如果连接这两点的直线段与 \(l\) 不相交。

证明：对于不在 \(l\) 上的点，（1）同侧关系是一个等价关系；（2）恰好有两个不同的等价类（每个等价类称为“一侧”）。

（提示：基于希尔伯特《几何基础》公理体系（见微信群文档）；要用到帕士公理。）

以下均为选做，请完成其中至少两道。

（三）关于直线“可以任意延伸”，这个表述很含糊。请看以下质疑：
球面上的大圆，算是可以任意延伸吗？
如果把北极点挖掉，那经线在接近这个“洞”时，是否还算可以“任意延伸”？
如果说“长度可以任意长”，那何时定义了长度呢（基于希尔伯特公理体系）？
请给一个更明确、更合理的说法，用希尔伯特公理体系中的哪几条公理，来帮助定义“延长”、“长度”、“任意”等概念。

（四）“面积”满足两条性质，一是“全等图形必有相同面积”，二是“整体等于部分之和”（若图形沿直线或曲线分割成有限块不交、不叠的区域，则总面积等于各部分面积之和）。（这两条称为面积公理，第二条通常叫“有限可加性”。）

请证明：如果欧氏平面上每个图形都有一个赋值，取值为非负实数，且满足这两条性质，则它与通常的面积只相差一个常数倍。

（五）很多人可能觉得，帕士公理是关于连续性的一个命题。但在希尔伯特公理体系中，它没有放在“连续公理”那一组里。你觉得奇怪吗？其实，存在这样一个模型，其中康托尔的区间套原理不成立，而帕士公理（和其它公理）依然成立。你能找到这样一个模型吗？试构造并论证它有所说性质。

（六）请证明三维欧氏空间中的普通三棱锥的三个顶角之间，满足三角不等式。

这里是作业 1 的PDF版。