http://www.math.pku.edu.cn/students/1901210073/TA/geometry20/ 是一个可长期留存的网站备份。
我们打算用周三一次课的时间，简明扼要地讨论莫比乌斯几何。这个任务，往年都是用两次课4课时来完成。现在我略去一些主干以外的内容（例如，三维空间的反演，例如某些动画演示），同时也请大家付出一些特别的努力，才有可能在周三的两课时内作一个相对完整的讨论。计划如下：
详情请看预习文档：20第16周预习安排.pdf。
(补发于 2021/1/7)
各位同学，本周是教学周的最后一周，作业不用交。不用交。有疑问的话，可以在今天周三晚的习题课上讨论。
此外，期末考试时间定在2021年1月22日，上午8:30-10:30，地点是二教203。
(补发于 2021/1/7)
今晚习题课播放的视频直接转载于这个链接，但大家需要点进以下的视频链接 1（需在校园网下观看）或视频链接 2（任何网络环境均可观看）来观看或下载。
原作者 CodeParade 将视频中的所有动画展示的源码以及可执行程序文件上传到了他的 GitHub。此外也可以在此处下载可执行程序的压缩包。
对视频中的计数问题感兴趣的同学，可以看看这篇文章：A. Bashelor et al, Enumerative Algebraic Geometry of Conics.
由志愿者（富润一、詹可尧两位同学）记录的几何笔记会在微信群和北大网盘链接（访问密码：keC2）中持续更新。
从我课上的证明，并不能清楚地看出与“结合律”的必然关系。而Hilbert 的考察思路，其实是更具体的“直尺构图”来把射影平面“算术化”，也就是用作图来构造两个数量的+和×，而这个构造的交换律（或者说域公理）就依赖于一些 coindidence theorem 如笛沙格定理、帕普斯定理。
关于Desargues定理、Pappus定理与直尺构图-射影几何算术化-域公理的超纲讨论，见 Stillwell 的 Four Pillars of Geometry 一书。
周五12.18预习提示:
请大家在周五课前，先预习尤承业老师书154-158页 254-258页，
由于进度原因，以及我的进一步考虑和优化，接下来5次课的主题安排，相对于原来发的进度表，有一点微调，大体如下：
第15次课，11.18周三，会讲矩阵群及其子群，以及二阶、三阶正交矩阵的特征、分类。
当晚习题课（第8次），会讲如何求特征值、特征向量，并由此研究平面仿射变换、空间等距变换。
第16次课，11.20周五，讲解析几何的核心问题和思想方法，其中一个重点是空间平面和直线的描述、彼此关系。由于时间原因，后面这个主题未必会详细讲，建议自己看书为主。有时间可以对照一下尤承业老师课本的这一部分讲法。
第17次课，11.25周三，讲坐标变换和二次曲线的分类。对应到矩阵的“正交相似”关系。
当晚习题课（第9次），会讲二次曲面的平面截线类型，以及所谓“仿射齐性曲线”。
第18次课，11.27周五，讲二次曲线的“仿射”分类，对应于矩阵的“相合”关系。进一步讲二次曲面的分类思路。（最后这个主题，仍然不会详细讲，只讨论最关键情形以及核心思想方法。）
第19次课，12.2周三，讲仿射变换的初步分类（对应于矩阵的“相似”关系）和几何直观。会粗略讲讲圆锥截线的故事、几何直观和结论。
当晚习题课（第10次），讲二次曲线的的仿射性质和欧氏（等距）性质。
从第20次课（12.4周五）开始，我们将进入“射影几何”这一章的学习。而12月5日周六是我们预定的期中考试日期，不要忘记。
各位同学，今天和接下来这周的自主学习内容，要求如下：
各位同学，明天及周五，我们将学习仿射变换诱导的线性变换，及其具体的矩阵表示。从这里开始，我们将由几何变换群，联系到矩阵群。这一周需要大家自主学习的内容是：
这些不要求在明天课前完成，但希望在周五课前能大体阅读和思考过。
（补发于2020/11/13）
各位同学，下周三之前，本周末，请大家做以下的预习工作：
（补发于2020/11/3）
各位同学，请在周五上课之前，预习王长平老师“几何学讲义”的以下部分: 第1.3节，图形的对称群
预习中，有以下小小的提示和学习任务:
以上的正十二面体群，指的是其对称群，也就是有多少个空间等距变换，保持它不变。
平时成绩查询页面已建设完成，请在网页导航栏中查看。
根据马老师制定的教学计划，本学期共计十一次作业。再次提醒平时成绩是取最好的十次作业成绩。
各位同学，上面是这学期几何学课的完整进度表，包括了前8次课（和所有习题课）的概要，供大家自学和整理方便使用。当然还可能看情况有微调。请注意期中考试时间放得较迟，在12月初，而且要占用一个周六上午的时间。
各位同学，本周将进入王长平讲义中第二章的学习，主题会是平面和空间等距变换。请预习讲义第二章1-10页。
选做题，没说规则的话，就是自己想做就做，不做也可以。
不过，选做题做得较多、较好的同学，助教会有记录。期末我会根据这个（以及其它表现，尤其是习题课积极贡献程度），给一些奖励。
各位同学：在周三的课前，请大家自学以下内容。
王长平几何学讲义第1章第2节，第17-23页，包括：
第2.2节“向量的外积”，
第2.3节“向量的体积”（在尤承业书中称为“混合积”，会是我们的正式名称）。
也请大家留意作业中提到的阅读材料，项武义《古典几何学》第三章第一节“空间结构的代数化——向量及其运算”（56-61页）。此书电子版见资料下载一栏。这本书的论述很有启发性，可以让你知其然并知其所以然。
项武义还写过另外一本书，题目好像是《基础几何学》，写法与上面的《古典几何学》不同。在这本《基础几何学》中，他更偏重代数，或者说，为几何量（几何关系）寻找精简、方便的代数形式。
于是他花了很大力气，进行推导，证明了内积的“几何定义”可以推出其“双线性”性质。王长平老师讲义和尤承业老师书中，也都专门论证了这件事。
进一步，对于外积，由它的“几何定义”，如何推出它也有“双线性”呢？读书时，这里需要下一点功夫，仔细推敲，看看证明的逻辑是否严密。
勃格莱洛夫公理体系的文档以及希尔伯特《几何基础》一书已上传至资料下载页面。
各位同学，本周我们将进入向量代数的学习，主要参考王长平老师《几何学》讲义第一章，请看PDF文档上的1-17页，是本周预定的阅读和学习范围。
外积、混合积以及球面几何上的应用，是下周内容。
大家在自学这一部分（向量及其加法、数乘运算，内积）时，请带着以下问题思考：
请大家留意我周末发布的自学提示。同时，提醒：明天我们将讨论《几何原本》中的第五公设的地位，也就是有关平行公理和“三角形内角和等于180度”这些性质的真理性和关联。
因此，请大家明天上课前，花一点时间，做以下这件事：
把几何原本第一卷的命题21-47大致浏览一遍，想想中间的逻辑链。我上面的文档中，只列出了比较相关、不繁琐的一部分，可以只看这些，寻求中间的线索。
一个特别的问题是：第五公设与它的逆命题等价吗？ 这是上次课遗留的一个好问题。
第一周习题课文档已上传至资料下载页面。
第3次课（9月30日）前的学习任务：
一，读书自学：
二，笔记分享：
如果你读书有什么心得，欢迎用如下形式分享：
从以下三个角度之一说说，或三者兼有，不拘长短，但请简明扼要，引用请注明出处，并留下自己名字，发在课程微信群中。
王老师的讲义，一直没有来得及编辑完善，这里的第一章图片，曾经有一些同学帮助画了图，后面各章因为我的懈怠，一直没有补充完成图片。这就是现状。——一点好处：根据课上讲授或自己想象来补图，其实理解更深。
几何学2020秋-信息.pdf
各位，以上是我进一步更新后的课程信息，更正了以前的笔误，精简了一些文字，明确了北大教学网上可以回看课堂录像（一般是大课的当晚会由系统生成+上传），第二天可见。
因疫情不能到校的同学，可借助课堂录像补上学习；
因课冲突不能来习题课的同学，可以加郝天泽助教为好友，进入一个单独的小群，提供支持。
几何学2020秋-信息(new)
以上是本学期的课程信息，请下载备查。
不能正常参加习题课的同学，例如冲突选课，或是本人不在学校的，请私下联系郝天泽助教，微信上添加郝天泽助教为好友，并且详细说明一下自己的情况，方便我们安排，谢谢！
欧几里得几何原本-初始命题
各位同学，这是今天晚上习题课讨论的下半场材料，几何原本的开头部分。你们可以在习题课之前有空时，自己研究一下，看看从几条公设出发，如何证明命题1-20？
提醒：如果你觉得，严格证明命题20，需要更多的公理或依据，请补充说明你认为合理的思路。
各位同学请注意：上课教室从本周五25日第二次课起，改到理教206（二楼同一位置）。后天早上不要走错教室哈！
请大家结合成 4 人小组，便于习题课讨论。小组成员需在同一个习题课教室里。
详细的课程信息现已发布。
欢迎选修马翔老师的几何学课程。