尤承业书195-196页5、10、11题，208-211页4、15题（15题第二行 \(y'\) 的公式中，系数分母有误，应该是 \(a\) ，图上已经纠正过来了）。215-216页1、2、6、8、9题。加上以下几题：

1. 在平面上一个幺正标架之下（也就是直角坐标系当中），考虑变换\[\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos t & -\sin t\\ \sin t & \cos t\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}.\]

1. 试验证这是一个绕原点逆时针的旋转，转角为实参数 \(t\) 。
2. 记其中的二乘二矩阵为 \(A(t)\) ，试按矩阵乘法法则验证 \(A(t_1)\cdot A(t_2)=A(t_1+t_2)\) 。

2. 在平面上一个幺正标架之下（也就是直角坐标系当中），考虑变换\[\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cosh t & \sinh t\\ \sinh t & \cosh t\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix},\]其中 \(\cosh t=(e^t+e^{-t})/2, \sinh t=(e^t-e^{-t})/2\) 分别称为双曲余弦和双曲正弦函数。

1. 试证明它作用下， 等轴双曲线族 \(x^2-y^2=a\) （包括 \(a=0\) 情形）中的任意一条仍然映为自身。
2. 记其中的二乘二矩阵为 \(H(t)\) ，试按矩阵乘法法则验证 \(H(t_1)\cdot H(t_2)=H(t_1+t_2)\) 。

3. 一般情况， 一个二阶方阵 \(\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}\) ，如果行列式不为 \(0\) ，则有逆矩阵。试求出其逆矩阵的表达式，并写出以上的矩阵 \(A (t)\) 和 \(H(t)\) 的逆矩阵是什么。

4. 对于平面上以直线 \(l\) 为不动点集（错切轴）的错切变换，我们选择它的一个不动点为基点 \(O\)， \(e_1\) 平行于 \(l\) 方向，建立仿射标架。试写出这样一个错切变换的表达式，并证明：全体这样的错切变换只依赖于一个实参数 \(t\) ，它们对应的矩阵构成一个群 \(f(t)\) ，而且对于适当选择的参数 \(t\) ，同样成立 \(f(t_1)\cdot f(t_2)=f(t_1+t_2)\) 。

5. （选做）：平面到自身的相似变换（相似比 \(k\ne 1\) ）一定有不动点吗？

6. （选做）：用复数（复函数）来描述平面上的相似变换， 给出其表达式。（如果自学了尤承业书中有关平面等距变换的矩阵表示，会对这两道附加题有帮助。）