作业5 (请于2019年10月30日习题课上交)

尤承业书195-196页5、10、11题,208-211页4、15题(15题第二行 \(y'\) 的公式中,系数分母有误,应该是 \(a\) ,图上已经纠正过来了)。215-216页1、2、6、8、9题。加上以下几题:

1. 在平面上一个幺正标架之下(也就是直角坐标系当中),考虑变换\[\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos t & -\sin t\\ \sin t & \cos t\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}.\]

  1. 试验证这是一个绕原点逆时针的旋转,转角为实参数 \(t\) 。
  2. 记其中的二乘二矩阵为 \(A(t)\) ,试按矩阵乘法法则验证 \(A(t_1)\cdot A(t_2)=A(t_1+t_2)\) 。

2. 在平面上一个幺正标架之下(也就是直角坐标系当中),考虑变换\[\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cosh t & \sinh t\\ \sinh t & \cosh t\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix},\]其中 \(\cosh t=(e^t+e^{-t})/2, \sinh t=(e^t-e^{-t})/2\) 分别称为双曲余弦和双曲正弦函数。

  1. 试证明它作用下, 等轴双曲线族 \(x^2-y^2=a\) (包括 \(a=0\) 情形)中的任意一条仍然映为自身。
  2. 记其中的二乘二矩阵为 \(H(t)\) ,试按矩阵乘法法则验证 \(H(t_1)\cdot H(t_2)=H(t_1+t_2)\) 。

3. 一般情况, 一个二阶方阵 \(\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}\) ,如果行列式不为 \(0\) ,则有逆矩阵。试求出其逆矩阵的表达式,并写出以上的矩阵 \(A (t)\) 和 \(H(t)\) 的逆矩阵是什么。

4. 对于平面上以直线 \(l\) 为不动点集(错切轴)的错切变换,我们选择它的一个不动点为基点 \(O\), \(e_1\) 平行于 \(l\) 方向,建立仿射标架。试写出这样一个错切变换的表达式,并证明:全体这样的错切变换只依赖于一个实参数 \(t\) ,它们对应的矩阵构成一个群 \(f(t)\) ,而且对于适当选择的参数 \(t\) ,同样成立 \(f(t_1)\cdot f(t_2)=f(t_1+t_2)\) 。

5. (选做):平面到自身的相似变换(相似比 \(k\ne 1\) )一定有不动点吗?

6. (选做):用复数(复函数)来描述平面上的相似变换, 给出其表达式。(如果自学了尤承业书中有关平面等距变换的矩阵表示,会对这两道附加题有帮助。)