1. 平面四边形 \(ABCD\) ,对边 \(|AD|=|BC|\) . \(E,F\) 分别是对边 \(AB,CD\) 的中点,试利用向量代数的工具(内积),证明: \(EF\) 与 \(AD\) 的夹角,等于 \(EF\) 与 \(BC\) 的夹角。(背后更广的几何意义:线段 \(AD\) 经过一个滑反射得到线段 \(BC\) ,而滑反射轴恰好是直线 \(EF\) 。)
2. 在平面直角坐标系所确定的整数格点阵 \((m,n)\in \mathbb{Z}^2\subset \mathbb{R}^2\) 中,设点 \(A=(-1,0),B=(-1,-1),C=(-2,0)\) 。经过一个平面等距变换 \(\sigma\in Iso(\mathbb{R}^2)\) 的作用后,格点三角形 \(\triangle ABC\) 映为另一个格点三角形(即顶点都在整数格点上),其中 \(A'=\sigma(A)=(1,0)\)。
3. 考虑一个正十二面体。保持它不变的空间等距变换中,保定向的共有多少个?它们一定是绕轴旋转吗?如果包括反定向的变换,它的对称群里一共有多少个元素?
4. 设 \(\phi:l\to l'\) 是两条平面直线之间的一个“等距映射”,即保持直线 \(l\) 上任意一对点的距离在映射后不变。试证明:存在一个平面等距变换\(\tilde\phi:\mathbb{E}^2\to \mathbb{E}^2\) ,使得其限制在 \(l\) 上的作用效果等于 \(\phi\) ,用符号表示即为 \(\tilde\phi|_l=\phi:l\to l'\) 。
5. 整理习题课讨论结果和论证过程:主题:三维欧氏空间的等距变换的分类。请注意,根据“有不动点/无不动点”和“保定向/反定向”来区分并描述对应的变换效果是什么。
6. (选做题,无时间者可以不做。)王长平《几何学讲义》43-44页14-15题,如下:
设 \(\mathbb{P}\) 是一个凸多面体, \(A\) 为 \(\mathbb{P}\) 的一个顶点。记 \(\theta(A)\) 为所有以 \(A\) 为顶点的面在 \(A\) 点的角的总和(以弧度计算)。我们定义多面体在 \(A\) 点的“(离散)曲率” \(K(A)=2\pi-\theta(A).\) 显然,曲率越大, \(\theta(A)\) 越小,顶点 \(A\) 越“尖”。问:
7. 以下对象的自由度是多少?请回答并简要说明你的理由。以下“平面”均指一个固定的平面,空间均指三维欧氏空间。
8. 设平面上有一个任给的三角形 \(\triangle ABC\) ,试证明可以找到另外两点 \(D,E\) ,使得凸五边形 \(ABCDE\) (顺序五顶点)具有以下“好性质”:任何一条对角线都平行于不相邻的那条边。(有兴趣者可以想想:在平面上允许 \(A,B,C\) 等点任取,全体具有“好性质”的凸五边形 \(ABCDE\) 有多少个自由度?)