1. 平面四边形 \(ABCD\) ，对边 \(|AD|=|BC|\) . \(E,F\) 分别是对边 \(AB,CD\) 的中点，试利用向量代数的工具（内积），证明： \(EF\) 与 \(AD\) 的夹角，等于 \(EF\) 与 \(BC\) 的夹角。（背后更广的几何意义：线段 \(AD\) 经过一个滑反射得到线段 \(BC\) ，而滑反射轴恰好是直线 \(EF\) 。）

2. 在平面直角坐标系所确定的整数格点阵 \((m,n)\in \mathbb{Z}^2\subset \mathbb{R}^2\) 中，设点 \(A=(-1,0),B=(-1,-1),C=(-2,0)\) 。经过一个平面等距变换 \(\sigma\in Iso(\mathbb{R}^2)\) 的作用后，格点三角形 \(\triangle ABC\) 映为另一个格点三角形（即顶点都在整数格点上），其中 \(A'=\sigma(A)=(1,0)\)。

1. 满足以上条件的 \(\sigma\) 有多少个？
2. 请描述每一个这样的 \(\sigma\) 是平移、旋转、反射、滑反射中的哪一种，具体特征（如平移向量、旋转中心和旋转角、反射轴等等）是什么。

3. 考虑一个正十二面体。保持它不变的空间等距变换中，保定向的共有多少个？它们一定是绕轴旋转吗？如果包括反定向的变换，它的对称群里一共有多少个元素？

4. 设 \(\phi:l\to l'\) 是两条平面直线之间的一个“等距映射”，即保持直线 \(l\) 上任意一对点的距离在映射后不变。试证明：存在一个平面等距变换\(\tilde\phi:\mathbb{E}^2\to \mathbb{E}^2\) ，使得其限制在 \(l\) 上的作用效果等于 \(\phi\) ，用符号表示即为 \(\tilde\phi|_l=\phi:l\to l'\) 。

5. 整理习题课讨论结果和论证过程：主题：三维欧氏空间的等距变换的分类。请注意，根据“有不动点/无不动点”和“保定向/反定向”来区分并描述对应的变换效果是什么。

6. （选做题，无时间者可以不做。）王长平《几何学讲义》43-44页14-15题，如下：
设 \(\mathbb{P}\) 是一个凸多面体， \(A\) 为 \(\mathbb{P}\) 的一个顶点。记 \(\theta(A)\) 为所有以 \(A\) 为顶点的面在 \(A\) 点的角的总和（以弧度计算）。我们定义多面体在 \(A\) 点的“（离散）曲率” \(K(A)=2\pi-\theta(A).\) 显然，曲率越大， \(\theta(A)\) 越小，顶点 \(A\) 越“尖”。问：

1. 五种正多面体在顶点处的曲率各是多少？
2. 五种正多面体在所有顶点处的曲率之和各是多少？
3. 设 \(\mathbb{P}\) 是一个凸多面体，证明它在所有顶点处的曲率之和为 \(4\pi\) 。

7. 以下对象的自由度是多少？请回答并简要说明你的理由。以下“平面”均指一个固定的平面，空间均指三维欧氏空间。

1. 平面上的全体三角形（位置、形状、大小可任意变）。
2. 平面上的全体正三角形（位置、大小可变）。
3. 平面上的全体椭圆（位置、形状、大小可任意变）。
4. 空间中的全体右手系单位正交标架（基点 \(O\) 可以任意变化，视为不同标架）。
5. 空间中的全体不同平面。
6. 空间中的全体不同直线。
7. 空间中的全体圆周（任意方向、半径和圆心位置）。
8. 空间中的全体正四面体（位置、大小可变）。

8. 设平面上有一个任给的三角形 \(\triangle ABC\) ，试证明可以找到另外两点 \(D,E\) ，使得凸五边形 \(ABCDE\) （顺序五顶点）具有以下“好性质”：任何一条对角线都平行于不相邻的那条边。（有兴趣者可以想想：在平面上允许 \(A,B,C\) 等点任取，全体具有“好性质”的凸五边形 \(ABCDE\) 有多少个自由度？）