1. 尤承业书46页14题：设 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}, \boldsymbol{\delta}$ 是任意4个向量。证明： $$(\boldsymbol{\alpha}\times\boldsymbol{\beta})\cdot(\boldsymbol{\gamma}\times\boldsymbol{\delta})+(\boldsymbol{\alpha}\times\boldsymbol{\delta})\cdot(\boldsymbol{\beta}\times\boldsymbol{\gamma})+(\boldsymbol{\alpha}\times\boldsymbol{\gamma})\cdot(\boldsymbol{\delta}\times\boldsymbol{\beta})=0.$$

2. 关于直线 $l_1$ 和 $l_2$ 分别作反射变换，何时这两个变换“可交换”（也即 $l_1 \circ l_2=l_2 \circ l_1$ )？

3. 设 $\phi_1$ 和 $\phi_2$ 分别是平面上绕 $O_1$ 和 $O_2$ 点的旋转变换。何时它们俩可交换？

4. 设想平面上有一条水平直线 $l$，另一对相距为 $d$ 的平行直线 $l_1, l_2$ 均垂直于它， $l_1$在右侧。再将它们整体向右或向左平移，得到垂直于 $l$ 、间距相同的另一对平行线 $l_1', l_2'$ 。滥用直线记号来表示关于对应直线的反射，试证明： $l_1 \circ l_2 = l_1' \circ l_2'.$ 这样一对反射的复合，是平移，那么平移方向和距离是多少？

5. 设想平面上有一个定点 $O$ , 一对直线 $l_1, l_2$ 相交于 $O$ 点且夹角为 $\theta$ 。再将它们整体绕 $O$ 旋转，得到相交于 $O$ 、夹角仍为 $\theta$ 的另一对相交直线 $l'_1, l'_2$ 。试证明：$l_1 \circ l_2 = l_1' \circ l_2'.$ 这样一对反射的复合，是旋转，那么旋转角是多少？向哪边旋转？

6. $\phi_1, \phi_2$ 分别是绕定点 $O_1, O_2$ 的180度角旋转。证明 $\phi_2 \circ \phi_1$ 是平移。（平移量如何确定？）

7. $r_\theta$ 是绕 $O$ 的一个旋转（旋转角为 $\theta$) , $L$ 是关于过 $O$ 点的直线 $l$ 的一个反射。试证明 $L \circ r_\theta$是另一个反射。由此进一步推出： $L \circ r_\theta \circ L^{-1}=r_{-\theta}.$

8. $\phi$ 是绕定点 $O$ 的旋转，旋转角为 $\theta$ ； $t_{\boldsymbol{v}}$ 是一个平移，平移量为向量 ${\boldsymbol{v}}$ 。则 $\phi \circ t_{\boldsymbol{v}}$和 $t_{\boldsymbol{v}} \circ \phi$ 均为旋转变换。（新的旋转中心和旋转角如何确定？本题和前两题，如果注意利用4 、5两题的结论作为引理，是可以很漂亮地解决的。）

选做题一：给定单位球面上三点 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$ ，构成一个球面三角形。试问这个三角形也有欧氏几何中类似的“垂心”吗？如果有，如何用三个向量 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$ 表示出来？如果把“垂心”改成“外心”“内心”或“重心”呢？

选做题二：给定单位球面上三点 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$ ，构成一个球面三角形。试证明：存在另外一个球面三角形，它以前一个三角形的边长为角度，以前一个三角形的内角为边长。由此证明，把球面三角余弦定理中的边和角互换，可以得到第二余弦定理。再由此证明，球面三角形的三个角如果确定，则三角形唯一确定。（即成立三角形全等的判定定理AAA, 这与欧氏几何完全不同。）