1. 尤承业书46页14题:设 α,β,γ,δ 是任意4个向量。证明: (α×β)⋅(γ×δ)+(α×δ)⋅(β×γ)+(α×γ)⋅(δ×β)=0.
2. 关于直线 l1 和 l2 分别作反射变换,何时这两个变换“可交换”(也即 l1∘l2=l2∘l1 )?
3. 设 ϕ1 和 ϕ2 分别是平面上绕 O1 和 O2 点的旋转变换。何时它们俩可交换?
4. 设想平面上有一条水平直线 l,另一对相距为 d 的平行直线 l1,l2 均垂直于它, l1在右侧。再将它们整体向右或向左平移,得到垂直于 l 、间距相同的另一对平行线 l′1,l′2 。滥用直线记号来表示关于对应直线的反射,试证明: l1∘l2=l′1∘l′2. 这样一对反射的复合,是平移,那么平移方向和距离是多少?
5. 设想平面上有一个定点 O , 一对直线 l1,l2 相交于 O 点且夹角为 θ 。再将它们整体绕 O 旋转,得到相交于 O 、夹角仍为 θ 的另一对相交直线 l′1,l′2 。试证明:l1∘l2=l′1∘l′2. 这样一对反射的复合,是旋转,那么旋转角是多少?向哪边旋转?
6. ϕ1,ϕ2 分别是绕定点 O1,O2 的180度角旋转。证明 ϕ2∘ϕ1 是平移。(平移量如何确定?)
7. rθ 是绕 O 的一个旋转(旋转角为 θ) , L 是关于过 O 点的直线 l 的一个反射。试证明 L∘rθ是另一个反射。由此进一步推出: L∘rθ∘L−1=r−θ.
8. ϕ 是绕定点 O 的旋转,旋转角为 θ ; tv 是一个平移,平移量为向量 v 。则 ϕ∘tv和 tv∘ϕ 均为旋转变换。(新的旋转中心和旋转角如何确定?本题和前两题,如果注意利用4 、5两题的结论作为引理,是可以很漂亮地解决的。)
选做题一:给定单位球面上三点 α,β,γ ,构成一个球面三角形。试问这个三角形也有欧氏几何中类似的“垂心”吗?如果有,如何用三个向量 α,β,γ 表示出来?如果把“垂心”改成“外心”“内心”或“重心”呢?
选做题二:给定单位球面上三点 α,β,γ ,构成一个球面三角形。试证明:存在另外一个球面三角形,它以前一个三角形的边长为角度,以前一个三角形的内角为边长。由此证明,把球面三角余弦定理中的边和角互换,可以得到第二余弦定理。再由此证明,球面三角形的三个角如果确定,则三角形唯一确定。(即成立三角形全等的判定定理AAA, 这与欧氏几何完全不同。)