1. 尤承业书46页14题：设 \(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}, \boldsymbol{\delta}\) 是任意4个向量。证明： \[(\boldsymbol{\alpha}\times\boldsymbol{\beta})\cdot(\boldsymbol{\gamma}\times\boldsymbol{\delta})+(\boldsymbol{\alpha}\times\boldsymbol{\delta})\cdot(\boldsymbol{\beta}\times\boldsymbol{\gamma})+(\boldsymbol{\alpha}\times\boldsymbol{\gamma})\cdot(\boldsymbol{\delta}\times\boldsymbol{\beta})=0.\]

2. 关于直线 \(l_1\) 和 \(l_2\) 分别作反射变换，何时这两个变换“可交换”（也即 \(l_1 \circ l_2=l_2 \circ l_1\) )？

3. 设 \(\phi_1\) 和 \(\phi_2\) 分别是平面上绕 \(O_1\) 和 \(O_2\) 点的旋转变换。何时它们俩可交换？

4. 设想平面上有一条水平直线 \(l\)，另一对相距为 \(d\) 的平行直线 \(l_1, l_2\) 均垂直于它， \(l_1\)在右侧。再将它们整体向右或向左平移，得到垂直于 \(l\) 、间距相同的另一对平行线 \(l_1', l_2'\) 。滥用直线记号来表示关于对应直线的反射，试证明： \(l_1 \circ l_2 = l_1' \circ l_2'.\) 这样一对反射的复合，是平移，那么平移方向和距离是多少？

5. 设想平面上有一个定点 \(O\) , 一对直线 \(l_1, l_2\) 相交于 \(O\) 点且夹角为 \(\theta\) 。再将它们整体绕 \(O\) 旋转，得到相交于 \(O\) 、夹角仍为 \(\theta\) 的另一对相交直线 \(l'_1, l'_2\) 。试证明：\(l_1 \circ l_2 = l_1' \circ l_2'.\) 这样一对反射的复合，是旋转，那么旋转角是多少？向哪边旋转？

6. \(\phi_1, \phi_2\) 分别是绕定点 \(O_1, O_2\) 的180度角旋转。证明 \(\phi_2 \circ \phi_1\) 是平移。（平移量如何确定？）

7. \(r_\theta\) 是绕 \(O\) 的一个旋转（旋转角为 \(\theta\)) , \(L\) 是关于过 \(O\) 点的直线 \(l\) 的一个反射。试证明 \(L \circ r_\theta\)是另一个反射。由此进一步推出： \(L \circ r_\theta \circ L^{-1}=r_{-\theta}.\)

8. \(\phi\) 是绕定点 \(O\) 的旋转，旋转角为 \(\theta\) ； \(t_{\boldsymbol{v}}\) 是一个平移，平移量为向量 \({\boldsymbol{v}}\) 。则 \(\phi \circ t_{\boldsymbol{v}}\)和 \(t_{\boldsymbol{v}} \circ \phi\) 均为旋转变换。（新的旋转中心和旋转角如何确定？本题和前两题，如果注意利用4 、5两题的结论作为引理，是可以很漂亮地解决的。）

选做题一：给定单位球面上三点 \(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}\) ，构成一个球面三角形。试问这个三角形也有欧氏几何中类似的“垂心”吗？如果有，如何用三个向量 \(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}\) 表示出来？如果把“垂心”改成“外心”“内心”或“重心”呢？

选做题二：给定单位球面上三点 \(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}\) ，构成一个球面三角形。试证明：存在另外一个球面三角形，它以前一个三角形的边长为角度，以前一个三角形的内角为边长。由此证明，把球面三角余弦定理中的边和角互换，可以得到第二余弦定理。再由此证明，球面三角形的三个角如果确定，则三角形唯一确定。（即成立三角形全等的判定定理AAA, 这与欧氏几何完全不同。）