练习12 (无需上交)

1. 从单位球面 \(S:x^2+y^2+z^2=1\) 的北极点 \((0,0,1)\) 向平面 \(z=0\) 作球极投影,记球面上的点为 \((\xi,\eta,\zeta)\) ,平面上的点为 \((u,v,0)\) (或用复坐标 \(w=u+vi\) )。

  1. 试给出该投影 \(\pi\) 及其逆映射 \(\pi^{-1}\) 的坐标表示,并用解析几何方法验证其保圆性。(提示:注意球面上的圆周是该球面与一个平面的截线, \(x,y,z\) 满足一个线性方程。
  2. 设球面 \(S\) 上给定一圆 \(\sigma\) 。球面上两点,若其连线恰通过与此球相切于 \(\sigma\) 的圆锥面顶点,则称此两点关于此圆 \(\sigma\) 对称。试用初等几何或解析几何方法验证:在通常的球极投影下,球面上关于 \(\sigma\) 对称的两点,其投影像也关于 \(\sigma\) 的投影像 \(\pi(\sigma)\) 为对称(互为反演像)。
  3. 球面 \(S\) 上由竖直的一族平行平面 \(x=t\) (参数 \(t\) 在 \((-1,1)\) 之间取值)截出的圆周(球面上的同心圆族),在球极投影下,映为一族什么样的圆周?

2. 看知乎专栏——连杆机构中第四个设计“波塞利连杆”,证明:图中的动点如果绕定点 \(B\) 走一个固定半径的圆周(其中 \(A\) 也是定点, \(AD=AE\) 为定长, \(P,D,C,E\) 构成边长固定的菱形),则动点 \(P\) 的轨迹是一条直线,并且垂直于 \(AB\) .

3. 给定平面上两个定点 \(A,B\) ,考虑到两定点距离之比为定值 \(c\in \mathbb{R}\) 的点的轨迹,证明:这条轨迹必定是一个圆(或一条直线),而且 \(A,B\) 两点关于此圆(此直线)构成反演对称(反射对称)。这样的圆叫作Apollonius 圆。