1. 从单位球面 \(S:x^2+y^2+z^2=1\) 的北极点 \((0,0,1)\) 向平面 \(z=0\) 作球极投影,记球面上的点为 \((\xi,\eta,\zeta)\) ,平面上的点为 \((u,v,0)\) (或用复坐标 \(w=u+vi\) )。
2. 看知乎专栏——连杆机构中第四个设计“波塞利连杆”,证明:图中的动点如果绕定点 \(B\) 走一个固定半径的圆周(其中 \(A\) 也是定点, \(AD=AE\) 为定长, \(P,D,C,E\) 构成边长固定的菱形),则动点 \(P\) 的轨迹是一条直线,并且垂直于 \(AB\) .
3. 给定平面上两个定点 \(A,B\) ,考虑到两定点距离之比为定值 \(c\in \mathbb{R}\) 的点的轨迹,证明:这条轨迹必定是一个圆(或一条直线),而且 \(A,B\) 两点关于此圆(此直线)构成反演对称(反射对称)。这样的圆叫作Apollonius 圆。