1. 从单位球面 \(S:x^2+y^2+z^2=1\) 的北极点 \((0,0,1)\) 向平面 \(z=0\) 作球极投影，记球面上的点为 \((\xi,\eta,\zeta)\) ，平面上的点为 \((u,v,0)\) （或用复坐标 \(w=u+vi\) ）。

1. 试给出该投影 \(\pi\) 及其逆映射 \(\pi^{-1}\) 的坐标表示，并用解析几何方法验证其保圆性。（提示：注意球面上的圆周是该球面与一个平面的截线， \(x,y,z\) 满足一个线性方程。）
2. 设球面 \(S\) 上给定一圆 \(\sigma\) 。球面上两点，若其连线恰通过与此球相切于 \(\sigma\) 的圆锥面顶点，则称此两点关于此圆 \(\sigma\) 对称。试用初等几何或解析几何方法验证：在通常的球极投影下，球面上关于 \(\sigma\) 对称的两点，其投影像也关于 \(\sigma\) 的投影像 \(\pi(\sigma)\) 为对称（互为反演像）。
3. 球面 \(S\) 上由竖直的一族平行平面 \(x=t\) （参数 \(t\) 在 \((-1,1)\) 之间取值）截出的圆周（球面上的同心圆族），在球极投影下，映为一族什么样的圆周？

2. 看知乎专栏——连杆机构中第四个设计“波塞利连杆”，证明：图中的动点如果绕定点 \(B\) 走一个固定半径的圆周（其中 \(A\) 也是定点， \(AD=AE\) 为定长， \(P,D,C,E\) 构成边长固定的菱形），则动点 \(P\) 的轨迹是一条直线，并且垂直于 \(AB\) .

3. 给定平面上两个定点 \(A,B\) ，考虑到两定点距离之比为定值 \(c\in \mathbb{R}\) 的点的轨迹，证明：这条轨迹必定是一个圆（或一条直线），而且 \(A,B\) 两点关于此圆（此直线）构成反演对称（反射对称）。这样的圆叫作Apollonius 圆。