作业11 (请于2019年12月18日习题课上交)

第一部分,尤书285页第5,6,10题。

第二部分:补充习题。

1. 证明蝴蝶定理:对于平面上任何一条非退化圆锥曲线,取其一条弦 \(EF\) 的中点 \(M\) ,过 \(M\) 作两条线,分别交 \(\Gamma\) 得弦 \(AC,BD\) 。设 \(AB\) 交 \(EF\) 于 \(L\) , \(CD\) 交 \(EF\) 于 \(R\) ,证明 \(M\) 也是 \(LR\) 的中点。

2. 证明任一凸四边形有内切椭圆,而且不唯一,有一族(尤书216页12题)。

3. 给定仿射平面上 \((x,y)=(\pm 1,\pm 1)\) 这四点。

  1. 画出过这四点的二次曲线族的图示。
  2. 说明过平面上任意一点恰好有其中一条。
  3. 这些二次曲线何时退化?
  4. 证明:给定平面上一般位置的4点,有单参数的一族二次曲线,可以写成 \(\Gamma_0+t\Gamma_1\) ,其中 \(\Gamma_0,\Gamma_1\) 过这四点,而且恰好有三次退化。

4. 读尤书281页例5.10。其中的 \(E,F,G\) 三点称为“配极三角形”。请完成以下任务。

  1. 证明:如果取图中的 \(EF\) 直线为无穷远直线(可以理解为用中心投影将它投到 \(l_\infty\) ),则 \(\Gamma\) 是中心型曲线(椭圆),中心恰好是 \(G\) 。
  2. 固定图中 \(\Gamma\) 上三点 \(A,B,C\) 并令 \(D\) 在 \(\Gamma\) 上自由变动,\(EF\) 有没有可能与 \(\Gamma\) 相切或相交?此时“配极三角形”变成了什么形态?
  3. 给定射影平面上一条非退化圆锥曲线 \(\Gamma\) ,最多可以有几个点同时关于 \(\Gamma\) 彼此两两调和共轭?证明你的结论。
  4. 设一条直线与 \(\Gamma\) 交于两点,证明:只要将这条直线取为无穷远直线,则 \(\Gamma\) 还是中心型曲线(双曲线),中心恰为两个交点处的切线的交点。
  5. 看似(1)和(4)中的结论有不同。如果想统一,似乎可以猜想:圆 \(\tilde{x}^2+\tilde{y}^2=1\) 的圆心到这个圆也有两条切线,而且切点连线就是无穷远直线。这个猜想靠谱吗?

5. 选做题:请给Brianchon(布里安松)定理一个初等的证明,即:圆锥曲线外切六边形的三条主对角线交于一点。提示:可以考虑把 \(\Gamma\) 映为圆,把其中两条对角线的交点映为该圆圆心,再来证明。

6. 选做题:利用Steiner定理,可以给“ \(\Gamma\) 上四点的交比”一个良好的定义。证明:

  1. 在 \(\Gamma\) 内取一点 \(O\) ,把 \(\Gamma\) 上任意一点 \(p\) 映为 \(Op\) 与 \(\Gamma\) 的交点 \(f(p)=p'\) 。证明:这个映射保持(1)中合理定义的“交比”。
  2. 同上,但这一次 \(O\) 取在 \(\Gamma\) 外部,请问结论照样成立吗?
  3. 把 \(O\) 点取在 \(\Gamma\) 上,再另取一条直线 \(l\) ,将 \(\Gamma\) 上任意一点 \(p\) 映为 \(Op\) 与 \(l\) 的交点 \(g(p)=p'\) 。试证明这是一个保持交比的映射,即:\(\Gamma\) 上四点交比,在对应下保持不变,成为 \(l\) 上共线四点的交比。
  4. 取 \(\Gamma\) 为平面直角坐标系中的单位圆, \(O\) 为 \((0,1)\) ,按上面的方式投影到 \(x\) 轴上,请写出具体的参数表达式。这称为圆锥曲线的“有理参数化”。