第一部分，尤书285页第5,6,10题。
第二部分：补充习题。
1. 证明蝴蝶定理：对于平面上任何一条非退化圆锥曲线，取其一条弦 \(EF\) 的中点 \(M\) ，过 \(M\) 作两条线，分别交 \(\Gamma\) 得弦 \(AC,BD\) 。设 \(AB\) 交 \(EF\) 于 \(L\) ， \(CD\) 交 \(EF\) 于 \(R\) ，证明 \(M\) 也是 \(LR\) 的中点。
2. 证明任一凸四边形有内切椭圆，而且不唯一，有一族（尤书216页12题）。
3. 给定仿射平面上 \((x,y)=(\pm 1,\pm 1)\) 这四点。
- 画出过这四点的二次曲线族的图示。
- 说明过平面上任意一点恰好有其中一条。
- 这些二次曲线何时退化？
- 证明：给定平面上一般位置的4点，有单参数的一族二次曲线，可以写成 \(\Gamma_0+t\Gamma_1\) ，其中 \(\Gamma_0,\Gamma_1\) 过这四点，而且恰好有三次退化。
4. 读尤书281页例5.10。其中的 \(E,F,G\) 三点称为“配极三角形”。请完成以下任务。
- 证明：如果取图中的 \(EF\) 直线为无穷远直线（可以理解为用中心投影将它投到 \(l_\infty\) ），则 \(\Gamma\) 是中心型曲线（椭圆），中心恰好是 \(G\) 。
- 固定图中 \(\Gamma\) 上三点 \(A,B,C\) 并令 \(D\) 在 \(\Gamma\) 上自由变动，\(EF\) 有没有可能与 \(\Gamma\) 相切或相交？此时“配极三角形”变成了什么形态？
- 给定射影平面上一条非退化圆锥曲线 \(\Gamma\) ，最多可以有几个点同时关于 \(\Gamma\) 彼此两两调和共轭？证明你的结论。
- 设一条直线与 \(\Gamma\) 交于两点，证明：只要将这条直线取为无穷远直线，则 \(\Gamma\) 还是中心型曲线（双曲线），中心恰为两个交点处的切线的交点。
- 看似（1）和（4）中的结论有不同。如果想统一，似乎可以猜想：圆 \(\tilde{x}^2+\tilde{y}^2=1\) 的圆心到这个圆也有两条切线，而且切点连线就是无穷远直线。这个猜想靠谱吗？
5. 选做题：请给Brianchon（布里安松）定理一个初等的证明，即：圆锥曲线外切六边形的三条主对角线交于一点。提示：可以考虑把 \(\Gamma\) 映为圆，把其中两条对角线的交点映为该圆圆心，再来证明。
6. 选做题：利用Steiner定理，可以给“ \(\Gamma\) 上四点的交比”一个良好的定义。证明：
- 在 \(\Gamma\) 内取一点 \(O\) ，把 \(\Gamma\) 上任意一点 \(p\) 映为 \(Op\) 与 \(\Gamma\) 的交点 \(f(p)=p'\) 。证明：这个映射保持(1)中合理定义的“交比”。
- 同上，但这一次 \(O\) 取在 \(\Gamma\) 外部，请问结论照样成立吗？
- 把 \(O\) 点取在 \(\Gamma\) 上，再另取一条直线 \(l\) ，将 \(\Gamma\) 上任意一点 \(p\) 映为 \(Op\) 与 \(l\) 的交点 \(g(p)=p'\) 。试证明这是一个保持交比的映射，即：\(\Gamma\) 上四点交比，在对应下保持不变，成为 \(l\) 上共线四点的交比。
- 取 \(\Gamma\) 为平面直角坐标系中的单位圆， \(O\) 为 \((0,1)\) ，按上面的方式投影到 \(x\) 轴上，请写出具体的参数表达式。这称为圆锥曲线的“有理参数化”。