尤书246页12、13题，260页10题。

补充题1：给出Pappus的对偶定理的表述，并给出至少两种不同的证明（不包括利用对偶原理的证明）。你可以考虑射影坐标法、中心投影法、点线交比法等等。

补充题2：试构造从一条直线到另一条直线的“中心投影”，使得相对于两直线上各自的适当仿射坐标，这个投影的函数表达式为 \(y(x)=1/x\) .

补充题3：请在作业中整理完成“一维射影几何的基本定理”的证明，见习题课安排的第五部分的表述，摘录如下：

1. 证实：任意两个共线三点组射影等价。
2. 证明：一个共线四点组可以射影映射为另一个给定共线四点组的充分必要条件是对应交比相等。
3. 射影对应 \(\phi: P(l)\to P(l')\) 如果定义为保持交比的一一对应，则在两直线的仿射坐标下必定恰好表示为分式线性函数 \(x\mapsto \frac{ax+b}{cx+d}\) .
4. 推论：射影变换 \(\phi\) 在一条射影线 \(P(l)\) 上的作用效果由三点 \(\{A,B,C\}\) 的像决定。
5. 推论：共线四点组的任何射影不变量，都必然是交比的一个函数。（这意味着交比是共线四点组在射影变换下的“全系不变量”。 “四点顺序改变时，交比一般有6种取值（ \(x,1-x,1/x \cdots\) 等）”恰好是这一事实的体现。）

以上为必做题，以下为选做的思考题。

思考题1：对于平面上一般位置五点，你能构造出什么样的射影不变量？陈钇冰同学告诉我，他利用其中不同的三点组的三角形面积的乘积和比值，可以构造出这样的不变量来，你可以试试吗？这样的不变量可能有多少？

思考题2：如果已知平面上四点(其中三点共线)在一个射影变换下的像，这个射影变换是否唯一确定？特别的，如果上述四个点都是不动点，这个变换一定是恒同变换吗？如果是，请证明。如果不是，有多少变化余地？（这道题有一个特别好的几何直观，就是习题课上曾经讨论过一个投影问题，在墙上有一个三角形的洞口，背后的一根柱子上有一个可以上下升降的光源，看三角形洞在地板上的投影，你能看出这与上面问题的联系吗？）