一个集合上元素之间的二元关系 \(\sim\) ，如果满足以下的“自反性”、“对称性”、“传递性”，就称为一种“等价关系”。自反性是指一个元素 \(a\) 总满足 \(a\sim a\) 。 对称性是指如果有 \(a\sim b\) 则必定有 \(b\sim a\) 。传递性是指如果 \(a\sim b,b\sim c\) 则必有 \(a\sim c\) 。彼此等价的元素一起构成一个“等价类”。

（一）（必做）。设想一个二维的世界（可以叫曲面），有通常的直线（射线）、长度、角度概念，而且过任意两点都可以作唯一的一条直线。我们在过各点的各条射线之间，建立一个关系，称为“同向”，定义是：过 \(A\) 点的射线 \(a\) 与过 \(B\) 点的射线 \(b\)，称为“同向”，当且仅当 \(A=B\) 且两条射线重合，或者射线 \(AB\) 与 \(a,b\) 所成的同位角相等（包括零度角和180度角）。证明：“同向”是一个等价关系，当且仅当任何一个三角形的内角和是180度。（此时我们可以谈论“绝对方向”和“平行”的概念。）

（二）（必做）。基于希尔伯特《几何基础》中的公理体系（见文档），对于给定的直线 \(l\) ，我们来定义什么是 \(l\) 的两侧。我们称两点 \(A,B\) 在 \(l\) 的“同侧”，如果连接这两点的直线段与 \(l\) 不相交。证明：对于不在 \(l\) 上的点，
（1）同侧关系是一个等价关系。
（2）恰好有两个不同的等价类（每个等价类称为“一侧”）。（提示：要用帕士公理。）

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（三）关于直线“可以无限延伸”，这个表述很含糊。请看以下质疑：
球面上的大圆，算是可以任意延伸吗？
“任意延伸”这个说法也许好一点，但是如果把北极点挖掉，那经线在接近这个“洞”时，是否还算可以“任意延伸”呢？
如果说“长度可以任意长”，那何时定义了长度呢（基于希尔伯特公理体系）？
请给一个更明确、更合理的说法，并说明你需要用到希尔伯特公理体系中的哪几条公理，又如何用它们来帮助定义“延长”、“长度”、“任意”等概念。

（四）关于“面积”概念，其实满足两条性质，一条是“全等图形必有相同面积“，第二条是“整体等于部分之和”（如果一个图形沿直线或曲线分割成有限块不交、不重叠的区域，则总面积等于各部分面积之和）。请证明：如果欧氏平面上每个图形都有一个度量，满足这两条性质，则这个度量与通常的面积只相差一个常数因子。（这两条性质称为面积公理，其中第二条通常叫作“有限可加性”。）

（五）很多人可能觉得帕士公理是关于连续性的一个命题。但实际上它没有放在“连续公理”那一组里。那么，你能否找出这样一个模型，其中康托尔的区间套原理不成立，而帕士公理（和其它公理）依然成立？（注意课堂上说了，任给《几何基础》中的一条公理，可以找一个模型，其中该公理不成立，而其它公理依然成立。）

（六）请证明三维欧氏空间中的普通三棱锥的三个顶角之间，满足三角不等式。