2024年春季 复变函数
授课教师:李智强
办公室: 78105W-1
答疑时间: 预约
E-mail: zli
at math.pku.edu.cn
地点时间:
理教102,第一周至第十六周,周三(单周)1-2节,周五3-4节
- 助教1:张耕瑞 grzhang
at stu.pku.edu.cn
- 助教2:郭若一 guoruoyi at pku.edu.cn
- 助教3:张奕恺 1900010636 at pku.edu.cn
课程目的:
复变函数是为数学学院各个专业开设的一门重要基础课. 通过课程学习使得同学理解和掌握复变函数的基本理论,进一步加强对数学抽象思维, 逻辑推理和计算能力的训练,体会复变函数所表现的数学理论的优美之处,了解复变函数理论的相关应用。
内容提要:
一. 复数及扩充复平面 (约5学时)
复数的表示和运算,复平面的完备性,复变量, 圆和直线方程及其对称点,扩充复平面,复值连续函数。
二, 解析函数定义及基本性质 (约6学时)
复函数关于复变量的导数, 导数的几何意义,Cauchy-Riemann方程,单连通区域上处处不为零的解析函数的对数和根式,分式线性变换,初等解析函数,简单Riemann面。
三, Cauchy定理和Cauchy公式(约7学时)
路径积分,Green公式与Cauchy定理,Cauchy公式,解析函数局部幂级数展开的存在性,幂级数的简单应用, 解析函数的零点孤立性和解析函数唯一性定理,Morera定理,平均值定理,最大模原理和Schwarz引理,单位圆盘的解析自同胚群,非欧几何简介。
四, Laurent级数(约6学时)
环形区域上解析函数的Laurent级数,孤立奇点分类,亚纯函数,复平面和扩充复平面的解析自同胚群。
五, 留数定理和辐角原理(约6学时)
留数定义及其计算,幅角原理,Rouche定理,解析函数的零点个数估计,单叶解析函数性质, 解析函数的开映射定理,利用留数定理计算某些特殊定积分。
六, 解析开拓(约6学时)
解析开拓的幂级数方法, 延曲线的解析开拓, 解析开拓与路径的关系, 单值性定理, 对称原理。
七, Riemann映射定理(约5学时)
正规族和Montel定理,Riemann映射定理。
八, 调和函数简介(约3学时)
Poisson公式,次调和函数,Dirichlet问题。
参考书目:
1.复变函数,谭小江、伍胜健编著,北京大学出版社。
2.Functions of One
Complex Variable,John B. Conway,Springer
3.Complex Analysis,Lars V. Ahlfors,McGraw-Hill
4.Complex Analysis,Elias M. Stein
& Rami Shakarchi,Princeton
University Press
5.Real and Complex
Analysis,Walter Rudin,McGraw-Hill
评分方法:
作业(30%),期中考试(30%),期末考试(40%)。
期中考试安排:
时间:待定
地点:待定
期末考试安排:
时间:2024年6月14日,周五
地点:待定
作业布置:
作业一:Conway p4 Ex.3, p6 Ex.7, p17, Ex.5, p20 Ex.6&8.(3月8日交)
作业二:Conway p24 Ex.6, p28 Ex.4&8, p29, Ex.1, p44, Ex.14 (3月15日交)
作业三:Conway p33 Ex.6,7, p44 Ex.13 (3月22日交)
作业四:Conway p55 Ex.8, 15, 25 (3月29日交)
作业五:Conway p67 Ex.7, 19, 23,p74 Ex.4 (4月3日交)
作业六:Conway p.80: Ex. 1, 3, 4, 10; p.83: Ex. 1 (4月12日交)
作业七:Conway p.87: Ex. 5, 8, 9; p.99: Ex. 1, 4 (4月19日交)
Last Updated: 4/8/2024