2022年春季 复变函数
授课教师:李智强
办公室: 78105W-1
答疑时间: 预约
E-mail: zli at math.pku.edu.cn
地点时间:
理教410,第一周至第十五周,周三(单周)1-2节,周五3-4节
- 助教1:常诚 1901110009 at
pku.edu.cn
- 助教2:张耕瑞 chibasei at 163.com
课程目的:
复变函数是为数学学院各个专业开设的一门重要基础课. 通过课程学习使得同学理解和掌握复变函数的基本理论,进一步加强对数学抽象思维,
逻辑推理和计算能力的训练,体会复变函数所表现的数学理论的优美之处,了解复变函数理论的相关应用。
内容提要:
一. 复数及扩充复平面 (约5学时)
复数的表示和运算,复平面的完备性,复变量, 圆和直线方程及其对称点,扩充复平面,复值连续函数。
二, 解析函数定义及基本性质 (约6学时)
复函数关于复变量的导数, 导数的几何意义,Cauchy-Riemann方程,单连通区域上处处不为零的解析函数的对数和根式,分式线性变换,初等解析函数,简单Riemann面。
三, Cauchy定理和Cauchy公式(约7学时)
路径积分,Green公式与Cauchy定理,Cauchy公式,解析函数局部幂级数展开的存在性,幂级数的简单应用, 解析函数的零点孤立性和解析函数唯一性定理,Morera定理,平均值定理,最大模原理和Schwarz引理,单位圆盘的解析自同胚群,非欧几何简介。
四, Laurent级数(约6学时)
环形区域上解析函数的Laurent级数,孤立奇点分类,亚纯函数,复平面和扩充复平面的解析自同胚群。
五, 留数定理和辐角原理(约6学时)
留数定义及其计算,幅角原理,Rouche定理,解析函数的零点个数估计,单叶解析函数性质, 解析函数的开映射定理,利用留数定理计算某些特殊定积分。
六, 解析开拓(约6学时)
解析开拓的幂级数方法, 延曲线的解析开拓, 解析开拓与路径的关系, 单值性定理, 对称原理。
七, Riemann映射定理(约5学时)
正规族和Montel定理,Riemann映射定理。
八, 调和函数简介(约3学时)
Poisson公式,次调和函数,Dirichlet问题。
参考书目:
1.复变函数,谭小江、伍胜健编著,北京大学出版社。
2.Functions of One
Complex Variable,John B. Conway,Springer
3.Complex Analysis,Lars V. Ahlfors,McGraw-Hill
4.Complex Analysis,Elias M. Stein & Rami Shakarchi,Princeton University Press
5.Real and Complex
Analysis,Walter Rudin,McGraw-Hill
评分方法:
作业(30%),期中考试(30%),期末考试(40%)。
期中考试安排:
时间:第九周周五3-4节
地点:理教208
期末考试安排:
时间:2022秋季学期,具体时间待定
地点:待定
作业布置:
- 作业一(上)
- 参考书目1. 习题一
6, 7, 9, 12, 15, 17.
- 参考书目2. p.4: Ex.3; p.20:
Ex.6, 8; p.24: Ex.4, 6.
- 作业一(下)
- 参考书目1. 习题一 28.
- 参考书目2. p.6: Ex.7; p.10:
Ex.1, 2, 5; p.17: Ex.5; p.28: Ex.2, 4, 8, 9.
- 作业二(上)
- 参考书目1. 习题二 1, 3, 4, 10, 14,
15.
- 参考书目2. p.29: Ex. 1; p.33:
Ex. 1, 3, 6, 7; p.43: 1, 13, 14.
- 作业二(下)
- 参考书目1. 习题二 8, 11, 18, 19, 21, 22.
- 参考书目2. p.55: Ex. 8, 11, 15,
20, 23.
- 作业三(上)
- 参考书目1. 习题二 24, 25; 习题三 3, 6, 7, 9, 10, 11.
- 参考书目2. p.55: Ex. 17, 25,
27; p.67: Ex. 7, 19, 23; p.74: Ex. 4, 6, 7.
- 作业三(下)
- 参考书目1. 习题三 13, 15, 18.
- 参考书目2. p.80: Ex. 1, 3, 4,
10; p.83: Ex. 1, 3, 4.
- 作业四(上)
- 参考书目1. 习题三 19, 22, 27, 31, 33; 习题四 5.
- 参考书目2. p.87: Ex. 5, 8, 9;
p.99: Ex. 1, 4; p.111: 13.
- 作业四(下)
- 参考书目1. 习题四 1, 2, 3, 9, 10.
- 参考书目2. p.111: 7, 8, 9, 15.
- 作业五(上)
- 参考书目1. 习题四 15, 16, 19, 23, 25.
- 作业五(下)
- 参考书目1. 习题五 1, 3, 5, 8.
- 参考书目2. p.121: 1(a)(c),
2(a)(c)(h), 3.
- 作业六(上)
- 参考书目1. 习题五 9, 12, 15
(2)(4)(6)(10).
- 参考书目2. p.126: 2, 4, 9.
- 作业六(下)
- 参考书目1. 习题七
1, 3, 4, 7, 12.
- 作业七(上)
- 参考书目2. p.150: 5, 7; p.154: 1, 4, 5,
7.
- 作业七(下)
- 参考书目1. 习题八
1, 5.
- 参考书目2. p.163: 1, 4, 9.
- 思考题
- 参考书目2. p.255: 4; p.262: 1,
7; p.268: 1.
Last Updated: 6/15/2022