《概率论》期末考试试题

 

1.       一本书共有1,000,000个印刷符号, 排版时每个符号被排错的概率为0.0001, 校对时每个排版错误被改正的概率为0.9, 求在校对后错误不多于15个的概率.

解:

注:可以认为每个字符最终被排错的概率为0.00001,而无须分两步考虑。

完毕

 

 

 

 

2.       某赌庄有资产100,000. 另有一赌徒拥有无穷大的赌资, 试图使该赌庄破产. 他每次压注1000, 每次赢钱的概率为0.49而输钱的概率为0.51. 问该赌徒能使赌庄破产的概率为多大?

解:可以先假设赌徒的赌本为M

赌庄先输光的概率为p

   赌徒先输光的概率为q         p+q=1

该模型可以等价于在Z上的带吸收壁的随机游动:

   X(0)=100

   增加1的概率为0.51   (赌庄赢钱)    减少1的概率为0.49   (赌庄输钱)

   吸收壁为:  100+M(赌徒输光)           0        (赌庄输光)

   (参考《概率论引论》 P216 问题2

M即可得本题所求的概率:赌庄破产的概率为          

完毕

3.       考虑[0,]上的Poisson过程, 参数为λ. T是与该Poisson过程独立的随机变量,服从参数为μ的指数分布. 以表示[0,T]中Poisson过程的增量, 求的概率分布.

解:

完毕

 

 

 

 

4.       ξ1ξ2……ξn是独立同分布随机变量, 且三阶中心矩等于零, 四阶矩存在,求的相关系数.

解:

完毕

 

 

 

 

 

5.       X是连续型随机变量,密度函数fX(x)= (1/2)exp(-|x|), -∞< x < ∞.

a.       证明特征函数φX(t) = 1/(1+t2).

b.     利用上述结果和逆转公式来证明

证明:

 

证毕

 

 

 

 

 

 

 

 

6.       设随机变量序列ξn依概率收敛于非零常数a, 而且ξn0.  证明1/ξn依概率收敛于1/a.

证明:

证毕

 

7.       假设XY是连续型随机变量.Var[Y|X=x]为给定X=x的条件下Y的方差. 如果E[Y|X=x]=μX无关, 证明EY=μ而且VarY=.

证明:

证毕

8.       {ξn}为独立随机变量序列, ξn服从( -n, n)上的均匀分布, 证明对{ξn}中心极限定理成立.

证明:

证毕

 

 

 

 

9.       X,YZ的数学期望均为0, 方差均为1. XY的相关系数为ρ1, YZ的相关系数为ρ2, XZ的相关系数为ρ3. 证明 .

证明:

证毕

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.   用概率方法证明如下Weierstrass定理:对区间[0,1]上任何连续函数f(x), 必存在多项式序列{bn(x)}, 使在区间[0,1]上一致地有bn(x) f(x).

证明:

证毕

 

: 常用正态分布函数值: Φ(1.28)= 0.9,  Φ(2)= 0.977, Φ(2.33)= 0.99, Φ(2.58)= 0.995

Φ(1.64)= 0.95,  Φ(1.96)= 0.975,