单纯复形

定义：如果欧氏空间 E^N 中的一组点 A₀，．．．，A_n 满足

这等价于要求 n 元向量组 A₁ - A₀，．．．，A_n - A₀ 线性无关。

定义：当 A₀，．．．，A_n 处于一般位置时，它们张成的闭凸集

顶点处于一般位置的条件保证了单形内每个点都有唯一确定的坐标 (x₀，．．．，x_n)。

定义：如果 E^N 中单形的集合 K 满足
(1) 若 t ∈K，则 t 的面也都是 K 中单形；
(2) 若 t，s ∈K 并且相交非空，则 t∩s 也是 K 中单形；
则称 K 为一个（单纯）复形，其中单形的最高维数称为 K 的维数。|K| = ∪{t | t ∈K} 称为 K 的多面体。

Rado 引理：每个闭曲面都同胚于某个 2 维有限单纯复形的多面体。

Euler 数

著名的 Euler 多面体定理指出凸多面体的顶点数 + 面数 - 边数 = 2。这里的 2 实际上是个拓扑不变量。

命题： 记 χ(K) = 偶数维单形数 - 奇数维单形数。 则当 |K| ≌ gT² 时 χ(K) = 2 - 2g，而当 |K| ≌ kP² 时 χ(K) = 2 - k。换言之，这是个拓扑不变量，称为 |K| 的 Euler 数。

事实上可以证明，当 |K| 同胚于紧致连通带边曲面的时候，χ(K) 也由 |K| 的同胚类决定。例如当 |K| 同胚于圆盘时 χ(K) = 1。虽然证明最好放到学过同调论以后再去做，但这不妨碍我们现在就来认识和利用这些结论。

例：环面可以看成是正方形粘合对边所得。把这个正方形均分成 9 个小正方形，再进一步均分成 18 个小三角形，可以验证 这样的分法可以将环面实现为一个单纯复形。数一下可知粘合起来的顶点数为 9，面数为 18，边数为 27，因此 Euler 数为 0。为什么不直接分成两个三角形？当然对分成两个三角形并不导致 Euler 数的计算错误，但是这种分法却无法用欧氏空间中的单纯复形去实现，因为这两个三角形的三个顶点完全相同。

例：χ(M₁#M₂) = χ(M₁) + χ(M₂) - 2。事实上可以用一些比较好的单纯复形实现 M₁，M₂，然后将连通和 M₁#M₂ 看成在多面体 M₁，M₂ 上各挖去一个三角形后沿三角形的边接起来，这样损失了 3 个顶点，3 条边和 2 个三角形，因此 Euler 数共损失了 2。

定向

定义：设 t 是 E^N 中的 n > 0 维单形，称 E^N 中平行于 t 的线性无关 n 元向量组为 t 的 标架。在标架间定义一个等价关系，使得两个标架等价当且仅当它们之间的转移矩阵的行列式为正数。称 t 的标架的等价类为其定向。

定义：设 t 是 E^N 中的 n-1 > 0 维单形，s 是 E^N 中的 n 维单形，并且 t 是 s 的面。若 t 的定向 ρ 可由标架 (e₁，．．．，e_n) 代表，而 s 的定向 σ 可由标架 (e₀，．．．，e_n) 代表，并且 e₀ 是从 s 内部指向 t 内部的向量，则称 ρ 为 σ 在 t 上诱导的定向。若两个 n > 1 维单形 s₁，s₂ 上各有一个定向 σ₁，σ₂，并且它们交于一个公共的 n-1 维面 t，而 σ₁，σ₂ 在 t 上诱导的定向相反，则称 σ₁ 与 σ₂ 定向相容。

如果 σ₁ 可由标架 (e₀，．．．，e_n) 代表，其中 (e₁，．．．，e_n) 构成 s₁∩s₂ 上的标架，而 e₀ 是从 s₁ 内部指向 s₁∩s₂ 内部的向量，则 σ₂ 可由标架 (e₀'，e₁，．．．，e_n) 代表，其中 e₀' 是从 s₁∩s₂ 内部指向 s₂ 内部的向量。

例：线段 AB 上的两个定向分别是 [AB] 和 [BA]，而三角形 ABC 上的两个定向分别是 [ABC] = [BCA] = [CAB] 和 [ACB] = [CBA] = [BAC]。[ABC] 在三边上诱导的定向分别是 [AB]，[BC] 和 [CA]，而 [ACB] 在三边上诱导的定向则完全相反。取两个紧挨着的三角形 ABC 和 BCD，则三角形 BCD 上与 [ABC] 相容的定向是 [CBD]。

命题：若 |K| ≌ gT²，则可以在 K 的每个 2 维单形上取一个定向，使得任何两个有公共边的三角形上的定向均相容。这样的取法称为 K 上的一个（全局）定向，并称 K 可定向。若 |K| ≌ kP²，则不论如何在 K 的每个 2 维单形上选取定向，一定有两个有公共边的三角形上具有不相容的定向。这时我们称 K 不可定向。

事实上不难看出，如果有一串互不相同的三角形 t₁，．．．，t_m，使得每个 t_k 和 t_k+1 有一条公共边，而 t_m 和 t₁ 有公共边，记与这些三角形和公共边相应的开单形的并集为 M，则在这组三角形上无相容的定向当且仅当 M 同胚于不含边界的 Mobius 带。我们可以用这个方法判断 2 维复形的不可定向性。

闭曲面类型的识别

推论：设 2 维复形 K₁，K₂ 的多面体是两个闭曲面，则 |K₁| ≌ |K₂| 当且仅当它们的 Euler 数和可定向性相同。

有限生成交换群的直和分解

有限生成交换群基本定理： 有限生成交换群 H 可以分解为

关于这个定理的讨论并不应当是本课程中要做的功课，但是我们需要掌握一两种实用的算法去计算有限表出群的交换化的秩和挠系数。下面设 < a₁，．．．，a_m | r₁，．．．，r_n > 是群 G 的一个有限表出。记 a₁，．．．，a_m 生成的自由群为 F_m，记它们生成的自由交换群为 Z^m (其中群的运算用加法表示)，并考虑同态 f: F_m → Z^m，满足 f(a_k) = a_k。则 f 将 F_m 中含约化字 r₁，．．．，r_n 的最小正规子群送到 Z^m 中含 f(r₁)，．．．，f(r_n) 的最小交换子群 H，而 Z^m/H 就是 G 的交换化。设 f(r_k) = F_k1a₁ + ．．．+ F_kma_m，于是群 G 的每个有限表出对应于一个整系数矩阵 F = (F_ij)。

秩和挠系数的计算

定义：设 F 是一个整系数矩阵，F 上的整系数初等行 [列] 变换是指如下几类变换：
(1) 将 F 的某一行 [列] 乘以 -1；
(2) 将 F 的某一行 [列] 乘以某个整数倍后加到另一行 [列]；
(3) 交换 F 的某两行 [列] 的位置。

命题：设 H(F) 是 Z^m 中含 F₁₁a₁ + ．．．+ F_1ma_m，．．．，F_n1a₁ + ．．．+ F_nma_m 的最小交换子群，则在系数矩阵 F = (F_ij) 的整系数初等变换下，相应的 H 及商群 Z^m/H 的同构型不会改变（事实上整系数初等行变换根本不改变 H）。

于是可以用整系数初等变换将 F 化成标准型，然后计算标准型对应的商群 Z^m/H，从而得到 G 的交换化的秩和挠系数。我们要求标准型的 F = (F_ij) 满足
(1) 当 i ≠ j 时 F_ij = 0；
(2) 每个 F_ii 是非负整数且 F_ii | F_{i+1, i+1}。
对于标准型的 F，H = {(F₁₁x₁，．．．，F_mmx_m) ∈Z^m | 每个 x_i ∈Z} （F 如果行数比列数少则其中没有的 F_ii 取零）。因此 G 的交换化的挠系数就是 F_ii 中大于 1 的那些数字，而其秩为 F 的列数减去非零行数。

化标准型的算法如下。第一步先我们把 F 化简成 diag(F₁₁, F') 的形式，这里 F₁₁ 为非负整数并且整除 F' 的所有系数。先挑出绝对值最小的非零系数换到左上角，不妨设就是 F₁₁ > 0，若此时的矩阵不符合要求，有两种情况：
情形 1：F₁₁ 不整除第一行或第一列中的某项，不妨设为就是 F₂₁，此时可以用第一行去消第二行而产生绝对值更小的非零系数，再将这个系数换到左上角；
情形 2: F₁₁ 整除第一行第一列的其它项，但并不整除剩下的所有项，不妨设 F = diag(F₁₁, F') 但 F₁₁ 不整除 F₂₂，此时将第一列加到第二列，再用所得第一行去消第二行可以产生绝对值更小的非零系数，再将这个系数换到左上角。
由于每一步调整都使得 F₁₁ 的最小绝对值变得更小，因此有限步后即可达到要求。

完成第一步后再对 F' 同样处理，从而把 F 化简成 diag(F₁₁, F₂₂, F'') 的形式，然后再归纳地做下去，最后就会化简成希望的标准形式。

例：考虑正五边形的对称群 G，设 a 为 1/5 圈的旋转，b 为关于某个对称轴的反射，则 G 有表出 < a, b | a⁵, b², (ab)² >，f: F₂ → Z² 将 a⁵ 送到 5a + 0b，将 b² 送到 0a + 2b，将 (ab)² 送到 2a + 2b，因此相应系数矩阵为

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